MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimrecl 15617
Description: The limit of a real sequence is real. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimcld2.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimrecl.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimrecl (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rlimrecl
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2 rlimcld2.2 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
3 ax-resscn 11213 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
5 eldifi 4130 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
76imcld 15235 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
87recnd 11290 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℂ)
9 eldifn 4131 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
11 reim0b 15159 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑦) = 0))
126, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑦) = 0))
1312necon3bbid 2977 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑦) ≠ 0))
1410, 13mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑦) ≠ 0)
158, 14absrpcld 15488 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) → (abs‘(ℑ‘𝑦)) ∈ ℝ+)
166adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
17 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1817recnd 11290 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1916, 18subcld 11621 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
20 absimle 15349 . . . 4 ((𝑦𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑦𝑧))) ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
2119, 20syl 17 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑦𝑧))) ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
2216, 18imsubd 15257 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑦𝑧)) = ((ℑ‘𝑦) − (ℑ‘𝑧)))
23 reim0 15158 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑧) = 0)
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑧) = 0)
2524oveq2d 7448 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑦) − (ℑ‘𝑧)) = ((ℑ‘𝑦) − 0))
268adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℂ)
2726subid1d 11610 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑦) − 0) = (ℑ‘𝑦))
2822, 25, 273eqtrrd 2781 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝑦𝑧)))
2928fveq2d 6909 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑦)) = (abs‘(ℑ‘(𝑦𝑧))))
3018, 16abssubd 15493 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3121, 29, 303brtr4d 5174 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
32 rlimrecl.3 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
331, 2, 4, 15, 31, 32rlimcld2 15615 1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cdif 3947  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  supcsup 9481  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  cim 15138  abscabs 15274  𝑟 crli 15522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-rlim 15526
This theorem is referenced by:  rlimge0  15618  climrecl  15620  rlimle  15685  divsqrtsumo1  27028  mulog2sumlem1  27579
  Copyright terms: Public domain W3C validator