Theorem resqreu 15237

Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqreu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem resqreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 15235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
2		recn 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → (𝑥↑2) = 𝐴)
5		rere 15107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
6	5	breq2d 5162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑥))
7	6	biimpar 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
8	7	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
9		rennim 15224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
10	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
11	4, 8, 10	3jca 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
12	3, 11	jca 510	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
13	12	reximi2 3075	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
15		recn 11234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		sqrmo 15236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
19		reu5 3374	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
20	14, 18, 19	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3042  ∃wrex 3066  ∃!wreu 3370  ∃*wrmo 3371   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  ℝcr 11143  0cc0 11144  ici 11146   · cmul 11149   ≤ cle 11285  2c2 12303  ℝ⁺crp 13012  ↑cexp 14064  ℜcre 15082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086

This theorem is referenced by:  resqrtcl  15238  resqrtthlem  15239