MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqreu 15146
Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqreu ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem resqreu
StepHypRef Expression
1 resqrex 15144 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
2 recn 11149 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
32adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4 simprr 772 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)
5 rere 15016 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
65breq2d 5121 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
76biimpar 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ))
87adantrr 716 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ))
9 rennim 15133 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)
109adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)
114, 8, 103jca 1129 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
123, 11jca 513 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
1312reximi2 3079 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
141, 13syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
15 recn 11149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1615adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 sqrmo 15145 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
1816, 17syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
19 reu5 3354 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
2014, 18, 19sylanbrc 584 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ‰ wnel 3046  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350  โˆƒ*wrmo 3351   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  2c2 12216  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โ„œcre 14991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995
This theorem is referenced by:  resqrtcl  15147  resqrtthlem  15148
  Copyright terms: Public domain W3C validator