Theorem resqreu 15271

Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqreu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem resqreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 15269	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
2		recn 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → (𝑥↑2) = 𝐴)
5		rere 15141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑥) = 𝑥)
6	5	breq2d 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑥))
7	6	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
8	7	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
9		rennim 15258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
11	4, 8, 10	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
12	3, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
13	12	reximi2 3069	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
15		recn 11219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		sqrmo 15270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
19		reu5 3361	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
20	14, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357  ∃*wrmo 3358   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  ici 11131   · cmul 11134   ≤ cle 11270  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008  ↑cexp 14079  ℜcre 15116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120

This theorem is referenced by:  resqrtcl  15272  resqrtthlem  15273