Theorem reprf 34789

Description: Members of the representation of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴 as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprf	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Proof of Theorem reprf

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 34787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		elrabi 3644	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8		elmapi 8798	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582  Σcsu 15621  reprcrepr 34785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-map 8777  df-neg 11379  df-nn 12158  df-z 12501  df-seq 13937  df-sum 15622  df-repr 34786

This theorem is referenced by:  reprle  34791  reprsuc  34792  hashreprin  34797  reprpmtf1o  34803  reprdifc  34804  breprexplema  34807  breprexplemc  34809  breprexpnat  34811  circlemeth  34817  circlevma  34819  circlemethhgt  34820  hgt750lemb  34833  hgt750lema  34834  hgt750leme  34835  tgoldbachgtde  34837  tgoldbachgt  34840