Theorem reprf 34623

Description: Members of the representation of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴 as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprf	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Proof of Theorem reprf

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 34621	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		elrabi 3643	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8		elmapi 8773	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3902  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  Σcsu 15593  reprcrepr 34619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-map 8752  df-neg 11347  df-nn 12126  df-z 12469  df-seq 13909  df-sum 15594  df-repr 34620

This theorem is referenced by:  reprle  34625  reprsuc  34626  hashreprin  34631  reprpmtf1o  34637  reprdifc  34638  breprexplema  34641  breprexplemc  34643  breprexpnat  34645  circlemeth  34651  circlevma  34653  circlemethhgt  34654  hgt750lemb  34667  hgt750lema  34668  hgt750leme  34669  tgoldbachgtde  34671  tgoldbachgt  34674