Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprf 31782
Description: Members of the representation of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴 as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
Assertion
Ref Expression
reprf (𝜑𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Proof of Theorem reprf
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprf.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2 reprval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 reprval.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 reprval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
52, 3, 4reprval 31780 . . 3 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
61, 5eleqtrd 2912 . 2 (𝜑𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
7 elrabi 3672 . 2 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} → 𝐶 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
8 elmapi 8417 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
96, 7, 83syl 18 1 (𝜑𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  wss 3933  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  0cc0 10525  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  ..^cfzo 13021  Σcsu 15030  reprcrepr 31778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-map 8397  df-neg 10861  df-nn 11627  df-z 11970  df-seq 13358  df-sum 15031  df-repr 31779
This theorem is referenced by:  reprle  31784  reprsuc  31785  hashreprin  31790  reprpmtf1o  31796  reprdifc  31797  breprexplema  31800  breprexplemc  31802  breprexpnat  31804  circlemeth  31810  circlevma  31812  circlemethhgt  31813  hgt750lemb  31826  hgt750lema  31827  hgt750leme  31828  tgoldbachgtde  31830  tgoldbachgt  31833
  Copyright terms: Public domain W3C validator