Theorem reprf 35291

Description: Members of the representation of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴 as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprf	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Proof of Theorem reprf

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 35289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		elrabi 3640	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8		elmapi 8876	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3896  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  0cc0 11207  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ..^cfzo 13795  Σcsu 15862  reprcrepr 35287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-addcl 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-map 8856  df-neg 11551  df-nn 12343  df-z 12701  df-seq 14152  df-sum 15863  df-repr 35288

This theorem is used by:  reprle  35293  reprsuc  35294  hashreprin  35299  reprpmtf1o  35305  reprdifc  35306  breprexplema  35309  breprexplemc  35311  breprexpnat  35313  circlemeth  35319  circlevma  35321  circlemethhgt  35322  hgt750lemb  35335  hgt750lema  35336  hgt750leme  35337  tgoldbachgtde  35339  tgoldbachgt  35342