Theorem reprf 35120

Description: Members of the representation of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴 as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprf	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Proof of Theorem reprf

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 35118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		elrabi 3641	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8		elmapi 8848	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  0cc0 11124  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ..^cfzo 13709  Σcsu 15773  reprcrepr 35116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-map 8828  df-neg 11468  df-nn 12258  df-z 12616  df-seq 14066  df-sum 15774  df-repr 35117

This theorem is used by:  reprle  35122  reprsuc  35123  hashreprin  35128  reprpmtf1o  35134  reprdifc  35135  breprexplema  35138  breprexplemc  35140  breprexpnat  35142  circlemeth  35148  circlevma  35150  circlemethhgt  35151  hgt750lemb  35164  hgt750lema  35165  hgt750leme  35166  tgoldbachgtde  35168  tgoldbachgt  35171