Theorem reprf 34496

Description: Members of the representation of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴 as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprf	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Proof of Theorem reprf

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 34494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		elrabi 3687	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} → 𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
8		elmapi 8886	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  {crab 3428   ⊆ wss 3959  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8863  0cc0 11165  ℕcn 12274  ℕ₀cn0 12534  ℤcz 12620  ..^cfzo 13691  Σcsu 15711  reprcrepr 34492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-addcl 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-map 8865  df-neg 11504  df-nn 12275  df-z 12621  df-seq 14033  df-sum 15712  df-repr 34493

This theorem is referenced by:  reprle  34498  reprsuc  34499  hashreprin  34504  reprpmtf1o  34510  reprdifc  34511  breprexplema  34514  breprexplemc  34516  breprexpnat  34518  circlemeth  34524  circlevma  34526  circlemethhgt  34527  hgt750lemb  34540  hgt750lema  34541  hgt750leme  34542  tgoldbachgtde  34544  tgoldbachgt  34547