Theorem reprsum 35121

Description: Sums of values of the members of the representation of 𝑀 equal 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprsum

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 35118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fveq1 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘𝑎) = (𝐶‘𝑎))
8	7	sumeq2sdv 15790	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎))
9	8	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
10	9	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ↔ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
11	6, 10	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
12	11	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  0cc0 11124  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ..^cfzo 13709  Σcsu 15773  reprcrepr 35116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-neg 11468  df-nn 12258  df-z 12616  df-seq 14066  df-sum 15774  df-repr 35117

This theorem is used by:  reprle  35122  reprsuc  35123  reprpmtf1o  35134  hgt750lemb  35164  tgoldbachgt  35171