Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprsum 34607
Description: Sums of values of the members of the representation of 𝑀 equal 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
Assertion
Ref Expression
reprsum (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐶,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprsum
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprf.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2 reprval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 reprval.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 reprval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
52, 3, 4reprval 34604 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
61, 5eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
7 fveq1 6906 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑎) = (𝐶𝑎))
87sumeq2sdv 15736 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎))
98eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀))
109elrab 3695 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} ↔ (𝐶 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀))
116, 10sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀))
1211simprd 495 1 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶𝑎) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691  Σcsu 15719  reprcrepr 34602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-seq 14040  df-sum 15720  df-repr 34603
This theorem is referenced by:  reprle  34608  reprsuc  34609  reprpmtf1o  34620  hgt750lemb  34650  tgoldbachgt  34657
  Copyright terms: Public domain W3C validator