Theorem reprsum 35235

Description: Sums of values of the members of the representation of 𝑀 equal 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprsum

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 35232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fveq1 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘𝑎) = (𝐶‘𝑎))
8	7	sumeq2sdv 15863	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎))
9	8	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
10	9	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ↔ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
11	6, 10	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
12	11	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  0cc0 11193  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ..^cfzo 13781  Σcsu 15846  reprcrepr 35230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addcl 11253

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-neg 11537  df-nn 12329  df-z 12687  df-seq 14138  df-sum 15847  df-repr 35231

This theorem is used by:  reprle  35236  reprsuc  35237  reprpmtf1o  35248  hgt750lemb  35278  tgoldbachgt  35285