Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprsum 32893
Description: Sums of values of the members of the representation of 𝑀 equal 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
reprval.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
reprval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
reprf.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀))
Assertion
Ref Expression
reprsum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(πΆβ€˜π‘Ž) = 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑆,π‘Ž   𝐢,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž)   𝐴(π‘Ž)   𝑀(π‘Ž)

Proof of Theorem reprsum
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprf.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀))
2 reprval.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
3 reprval.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 reprval.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
52, 3, 4reprval 32890 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
61, 5eleqtrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
7 fveq1 6824 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (πΆβ€˜π‘Ž))
87sumeq2sdv 15515 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(πΆβ€˜π‘Ž))
98eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑐 = 𝐢 β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(πΆβ€˜π‘Ž) = 𝑀))
109elrab 3634 . . 3 (𝐢 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} ↔ (𝐢 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(πΆβ€˜π‘Ž) = 𝑀))
116, 10sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(πΆβ€˜π‘Ž) = 𝑀))
1211simprd 496 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(πΆβ€˜π‘Ž) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   βŠ† wss 3898  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   ↑m cmap 8686  0cc0 10972  β„•cn 12074  β„•0cn0 12334  β„€cz 12420  ..^cfzo 13483  Ξ£csu 15496  reprcrepr 32888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-seq 13823  df-sum 15497  df-repr 32889
This theorem is referenced by:  reprle  32894  reprsuc  32895  reprpmtf1o  32906  hgt750lemb  32936  tgoldbachgt  32943
  Copyright terms: Public domain W3C validator