Theorem reprsum 34751

Description: Sums of values of the members of the representation of 𝑀 equal 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))

Assertion

Ref	Expression
reprsum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝑀(𝑎)

Proof of Theorem reprsum

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
2		reprval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		reprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		reprval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	reprval 34748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
6	1, 5	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fveq1 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘𝑎) = (𝐶‘𝑎))
8	7	sumeq2sdv 15630	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎))
9	8	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀 ↔ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
10	9	elrab 3647	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} ↔ (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
11	6, 10	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀))
12	11	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  0cc0 11030  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ..^cfzo 13574  Σcsu 15613  reprcrepr 34746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-neg 11371  df-nn 12150  df-z 12493  df-seq 13929  df-sum 15614  df-repr 34747

This theorem is referenced by:  reprle  34752  reprsuc  34753  reprpmtf1o  34764  hgt750lemb  34794  tgoldbachgt  34801