Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprdifc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprdifc 33937
Description: Express the representations as a sum of integers in a difference of sets using conditions on each of the indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprdifc.c 𝐢 = {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡}
reprdifc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
reprdifc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
reprdifc.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
reprdifc.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
reprdifc (πœ‘ β†’ ((𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) βˆ– (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,π‘₯   𝐡,𝑐,π‘₯   𝑀,𝑐,π‘₯   𝑆,𝑐,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   𝐢(π‘₯,𝑐)

Proof of Theorem reprdifc
Dummy variables 𝑑 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
2 nfrab1 3449 . . 3 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀}
3 nfcv 2901 . . 3 Ⅎ𝑑βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆){𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡}
4 reprdifc.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
5 reprdifc.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
65nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 reprdifc.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
84, 6, 7reprval 33920 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) = {𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
98eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ 𝑑 ∈ {𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀}))
10 rabid 3450 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ {𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} ↔ (𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀))
119, 10bitrdi 286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
1211anbi1d 628 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ↔ ((𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)))))
13 eldif 3957 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))))
1413anbi1i 622 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ ((𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀))
15 an32 642 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ ((𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))))
1614, 15bitri 274 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ ((𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))))
1716a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ ((𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)))))
1812, 17bitr4d 281 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ↔ (𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
19 nnex 12222 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
21 reprdifc.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
2220, 21ssexd 5323 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
23 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0..^𝑆) ∈ V)
24 elmapg 8835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) β†’ (𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑑:(0..^𝑆)⟢𝐡))
2522, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑑:(0..^𝑆)⟢𝐡))
2625adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑑:(0..^𝑆)⟢𝐡))
27 ffnfv 7119 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:(0..^𝑆)⟢𝐡 ↔ (𝑑 Fn (0..^𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
284adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
296adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
307adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀))
3228, 29, 30, 31reprf 33922 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑑:(0..^𝑆)⟢𝐴)
3332ffnd 6717 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ 𝑑 Fn (0..^𝑆))
3433biantrurd 531 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ (𝑑 Fn (0..^𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)))
3527, 34bitr4id 289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (𝑑:(0..^𝑆)⟢𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3626, 35bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3736notbid 317 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
38 rexnal 3098 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
3937, 38bitr4di 288 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) β†’ (Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4039pm5.32da 577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)))
4118, 40bitr3d 280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)))
42 fveq1 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (π‘‘β€˜π‘₯))
4342eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4443notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 β†’ (Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4544elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡} ↔ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4645rexbii 3092 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆)(𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
47 r19.42v 3188 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆)(𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4846, 47bitri 274 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡} ↔ (𝑑 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆) Β¬ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4941, 48bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡}))
50 rabid 3450 . . . 4 (𝑑 ∈ {𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} ↔ (𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∧ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀))
51 eliun 5000 . . . 4 (𝑑 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆){𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡})
5249, 50, 513bitr4g 313 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} ↔ 𝑑 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆){𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡}))
531, 2, 3, 52eqrd 4000 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} = βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆){𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡})
5421, 6, 7reprval 33920 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀) = {𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
558, 54difeq12d 4122 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) βˆ– (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = ({𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} βˆ– {𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀}))
56 difrab2 32005 . . 3 ({𝑑 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀} βˆ– {𝑑 ∈ (𝐡 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀}) = {𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀}
5755, 56eqtrdi 2786 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) βˆ– (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = {𝑑 ∈ ((𝐴 ↑m (0..^𝑆)) βˆ– (𝐡 ↑m (0..^𝑆))) ∣ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^𝑆)(π‘‘β€˜π‘Ž) = 𝑀})
58 reprdifc.c . . . 4 𝐢 = {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡}
5958a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡})
6059iuneq2d 5025 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝐢 = βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆){𝑐 ∈ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘₯) ∈ 𝐡})
6153, 57, 603eqtr4d 2780 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) βˆ– (𝐡(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = βˆͺ π‘₯ ∈ (0..^𝑆)𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆͺ ciun 4996   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ..^cfzo 13631  Ξ£csu 15636  reprcrepr 33918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-map 8824  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-seq 13971  df-sum 15637  df-repr 33919
This theorem is referenced by:  hgt750lema  33967
  Copyright terms: Public domain W3C validator