Theorem circlevma 32622

Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
circlevma.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlevma	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlevma.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12052	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		vmaf 26268	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5		ax-resscn 10928	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		fss 6617	. . . . . . 7 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℂ
8		cnex 10952	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		nnex 11979	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8628	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
11	8, 9, 10	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
12	7, 11	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ)
13	12	fconst6 6664	. . . 4 ⊢ ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
15	1, 3, 14	circlemeth 32620	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16		c0ex 10969	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4704	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18		fzo0to3tp 13473	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
20		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
21	19, 20	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
22	12	elexi 3451	. . . . . . 7 ⊢ Λ ∈ V
23	22	fvconst2 7079	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
26	24, 25	fveq12d 6781	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27		1ex 10971	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
28	27	tpid2 4706	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
29	28, 18	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
30		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
31	29, 30	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
32	31, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
34	32, 33	fveq12d 6781	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35		2ex 12050	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
36	35	tpid3 4709	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
37	36, 18	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
38		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
39	37, 38	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
40	39, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
42	40, 41	fveq12d 6781	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
43	23	fveq1d 6776	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
44	43	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
45	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46		ssidd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
47	1	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
49	2	nnnn0i 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
51		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
52	46, 48, 50, 51	reprf 32592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
53	52	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
54	45, 53	ffvelrnd 6962	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
55	44, 54	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
56	26, 34, 42, 55	prodfzo03 32583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
57	56	sumeq2dv 15415	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
58	23	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
59	58	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
60	59	fveq1d 6776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
61	60	prodeq2dv 15633	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
62		fzofi 13694	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
64	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65		ioossre 13140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
66	65, 5	sstri 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
68	67	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
70	64, 68, 69	vtscl 32618	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
71		fprodconst 15688	. . . . . 6 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
72	63, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
73		hashfzo0 14145	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
74	49, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
76	75	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
77	61, 72, 76	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
78	77	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
79	78	itgeq2dv 24946	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
80	15, 57, 79	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {ctp 4565   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   · cmul 10876  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  (,)cioo 13079  ..^cfzo 13382  ↑cexp 13782  ♯chash 14044  Σcsu 15397  ∏cprod 15615  expce 15771  πcpi 15776  ∫citg 24782  Λcvma 26241  reprcrepr 32588  vtscvts 32615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-vma 26247  df-repr 32589  df-vts 32616

This theorem is referenced by: (None)