Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlevma Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem circlevma 33952
Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
circlevma.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
circlevma (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ∫(0(,)1)((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Proof of Theorem circlevma
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlevma.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 3nn 12295 . . . 4 3 ∈ β„•
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•)
4 vmaf 26859 . . . . . . 7 Ξ›:β„•βŸΆβ„
5 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
6 fss 6733 . . . . . . 7 ((Ξ›:β„•βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
74, 5, 6mp2an 688 . . . . . 6 Ξ›:β„•βŸΆβ„‚
8 cnex 11193 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
9 nnex 12222 . . . . . . 7 β„• ∈ V
10 elmapg 8835 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ (Ξ› ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚))
118, 9, 10mp2an 688 . . . . . 6 (Ξ› ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
127, 11mpbir 230 . . . . 5 Ξ› ∈ (β„‚ ↑m β„•)
1312fconst6 6780 . . . 4 ((0..^3) Γ— {Ξ›}):(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•)
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^3) Γ— {Ξ›}):(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•))
151, 3, 14circlemeth 33950 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
16 c0ex 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1716tpid1 4771 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
18 fzo0to3tp 13722 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eleqtrri 2830 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
20 eleq1 2819 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
2119, 20mpbiri 257 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
2212elexi 3492 . . . . . . 7 Ξ› ∈ V
2322fvconst2 7206 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0..^3) β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
2421, 23syl 17 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
25 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜0))
2624, 25fveq12d 6897 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
27 1ex 11214 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2827tpid2 4773 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 18eleqtrri 2830 . . . . . . 7 1 ∈ (0..^3)
30 eleq1 2819 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘Ž ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
3129, 30mpbiri 257 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
3231, 23syl 17 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
33 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜1))
3432, 33fveq12d 6897 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
35 2ex 12293 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
3635tpid3 4776 . . . . . . . 8 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 18eleqtrri 2830 . . . . . . 7 2 ∈ (0..^3)
38 eleq1 2819 . . . . . . 7 (π‘Ž = 2 β†’ (π‘Ž ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
3937, 38mpbiri 257 . . . . . 6 (π‘Ž = 2 β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
4039, 23syl 17 . . . . 5 (π‘Ž = 2 β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
41 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 2 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜2))
4240, 41fveq12d 6897 . . . 4 (π‘Ž = 2 β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
4323fveq1d 6892 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0..^3) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)))
4443adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)))
457a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
46 ssidd 4004 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ β„• βŠ† β„•)
471nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4847adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
492nnnn0i 12484 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
5049a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 3 ∈ β„•0)
51 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
5246, 48, 50, 51reprf 33922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
5352ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) ∈ β„•)
5445, 53ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
5544, 54eqeltrd 2831 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
5626, 34, 42, 55prodfzo03 33913 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5756sumeq2dv 15653 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5823adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
5958oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁) = (Ξ›vts𝑁))
6059fveq1d 6892 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯))
6160prodeq2dv 15871 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯))
62 fzofi 13943 . . . . . . 7 (0..^3) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (0..^3) ∈ Fin)
641adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65 ioossre 13389 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) βŠ† ℝ
6665, 5sstri 3990 . . . . . . . . 9 (0(,)1) βŠ† β„‚
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0(,)1) βŠ† β„‚)
6867sselda 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
697a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
7064, 68, 69vtscl 33948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
71 fprodconst 15926 . . . . . 6 (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(0..^3))))
7263, 70, 71syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(0..^3))))
73 hashfzo0 14394 . . . . . . . 8 (3 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
7449, 73ax-mp 5 . . . . . . 7 (β™―β€˜(0..^3)) = 3
7574a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
7675oveq2d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(0..^3))) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3))
7761, 72, 763eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3))
7877oveq1d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) = ((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))))
7978itgeq2dv 25531 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
8015, 57, 793eqtr3d 2778 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ∫(0(,)1)((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {ctp 4631   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   Β· cmul 11117  -cneg 11449  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  (,)cioo 13328  ..^cfzo 13631  β†‘cexp 14031  β™―chash 14294  Ξ£csu 15636  βˆcprod 15853  expce 16009  Ο€cpi 16014  βˆ«citg 25367  Ξ›cvma 26832  reprcrepr 33918  vtscvts 33945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-vma 26838  df-repr 33919  df-vts 33946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator