Theorem circlevma 35341

Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
circlevma.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlevma	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlevma.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12449	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		vmaf 27476	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5		ax-resscn 11284	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		fss 6748	. . . . . . 7 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℂ
8		cnex 11308	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		nnex 12368	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8887	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
12	7, 11	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ)
13	12	fconst6 6794	. . . 4 ⊢ ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
15	1, 3, 14	circlemeth 35339	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16		c0ex 11327	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4729	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18		fzo0to3tp 13914	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
20		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
21	19, 20	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
22	12	elexi 3476	. . . . . . 7 ⊢ Λ ∈ V
23	22	fvconst2 7233	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
24	21, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
26	24, 25	fveq12d 6915	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27		1eltp012 12440	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
28	27, 18	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
29		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
30	28, 29	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
31	30, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
32		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
33	31, 32	fveq12d 6915	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
34		2ex 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
35	34	tpid3 4734	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
36	35, 18	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
37		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
38	36, 37	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
39	38, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
40		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
41	39, 40	fveq12d 6915	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
42	23	fveq1d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
43	42	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
44	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
45		ssidd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
46	1	nn0zd 12745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	2	nnnn0i 12641	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
50		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
51	45, 47, 49, 50	reprf 35311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
52	51	ffvelcdmda 7108	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
53	44, 52	ffvelcdmd 7109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
54	43, 53	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
55	26, 33, 41, 54	prodfzo03 35302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
56	55	sumeq2dv 15898	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
57	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
58	57	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
59	58	fveq1d 6910	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
60	59	prodeq2dv 16119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
61		fzofi 14144	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
63	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64		ioossre 13565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
65	64, 5	sstri 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
67	66	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
68	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
69	63, 67, 68	vtscl 35337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
70		fprodconst 16174	. . . . . 6 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
71	62, 69, 70	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
72		hashfzo0 14602	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
73	48, 72	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
75	74	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
76	60, 71, 75	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
77	76	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))))
78	77	itgeq2dv 26132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
79	15, 56, 78	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {ctp 4592   × cxp 5653  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  ici 11229   · cmul 11232   -cneg 11569  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  (,)cioo 13503  ..^cfzo 13815  ↑cexp 14231  ♯chash 14501  Σcsu 15882  ∏cprod 16101  expce 16256  πcpi 16261  ∫citg 25969  Λcvma 27449  reprcrepr 35307  vtscvts 35334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-symdif 4201  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-prod 16102  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-pc 17044  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-cmp 23735  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971  df-itg2 25972  df-ibl 25973  df-itg 25974  df-0p 26021  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-vma 27455  df-repr 35308  df-vts 35335

This theorem is used by: (None)