Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlevma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlevma 31060
Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
circlevma.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
circlevma (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlevma.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 3nn 11393 . . . 4 3 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4 vmaf 25066 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
5 ax-resscn 10199 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
6 fss 6197 . . . . . . 7 ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
74, 5, 6mp2an 672 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℂ
8 cnex 10223 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 nnex 11232 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
10 elmapg 8026 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . 6 (Λ ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
127, 11mpbir 221 . . . . 5 Λ ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ)
1312fconst6 6236 . . . 4 ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ)
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
151, 3, 14circlemeth 31058 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16 c0ex 10240 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1716tpid1 4440 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
18 fzo0to3tp 12762 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eleqtrri 2849 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
20 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
2119, 20mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
2212elexi 3365 . . . . . . 7 Λ ∈ V
2322fvconst2 6616 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
2421, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘0))
2624, 25fveq12d 6340 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27 1ex 10241 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2827tpid2 4441 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 18eleqtrri 2849 . . . . . . 7 1 ∈ (0..^3)
30 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
3129, 30mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
3231, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘1))
3432, 33fveq12d 6340 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35 2ex 11298 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
3635tpid3 4443 . . . . . . . 8 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 18eleqtrri 2849 . . . . . . 7 2 ∈ (0..^3)
38 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
3937, 38mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
4039, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘2))
4240, 41fveq12d 6340 . . . 4 (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
4323fveq1d 6335 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛𝑎)))
4443adantl 467 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛𝑎)))
457a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46 ssid 3773 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℕ
4746a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
481nn0zd 11687 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4948adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
502nnnn0i 11507 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
5150a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
52 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
5347, 49, 51, 52reprf 31030 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
5453ffvelrnda 6504 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛𝑎) ∈ ℕ)
5545, 54ffvelrnd 6505 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5644, 55eqeltrd 2850 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5726, 34, 42, 56prodfzo03 31021 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5857sumeq2dv 14641 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5923adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
6059oveq1d 6811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
6160fveq1d 6335 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
6261prodeq2dv 14860 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
63 fzofi 12981 . . . . . . 7 (0..^3) ∈ Fin
6463a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
651adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
66 ioossre 12440 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ ℝ
6766, 5sstri 3761 . . . . . . . . 9 (0(,)1) ⊆ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
6968sselda 3752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
707a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7165, 69, 70vtscl 31056 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
72 fprodconst 14915 . . . . . 6 (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
7364, 71, 72syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
74 hashfzo0 13419 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7550, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(0..^3)) = 3
7675a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
7776oveq2d 6812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
7862, 73, 773eqtrd 2809 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
7978oveq1d 6811 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
8079itgeq2dv 23768 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
8115, 58, 803eqtr3d 2813 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  {csn 4317  {ctp 4321   × cxp 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  ici 10144   · cmul 10147  -cneg 10473  cn 11226  2c2 11276  3c3 11277  0cn0 11499  cz 11584  (,)cioo 12380  ..^cfzo 12673  cexp 13067  chash 13321  Σcsu 14624  cprod 14842  expce 14998  πcpi 15003  citg 23606  Λcvma 25039  reprcrepr 31026  vtscvts 31053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-vma 25045  df-repr 31027  df-vts 31054
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator