Theorem circlevma 34635

Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
circlevma.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlevma	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlevma.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		vmaf 27176	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5		ax-resscn 11209	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		fss 6752	. . . . . . 7 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℂ
8		cnex 11233	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		nnex 12269	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8877	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
12	7, 11	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ)
13	12	fconst6 6798	. . . 4 ⊢ ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
15	1, 3, 14	circlemeth 34633	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16		c0ex 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4772	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18		fzo0to3tp 13787	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eleqtrri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
20		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
22	12	elexi 3500	. . . . . . 7 ⊢ Λ ∈ V
23	22	fvconst2 7223	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
26	24, 25	fveq12d 6913	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27		1ex 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
28	27	tpid2 4774	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
29	28, 18	eleqtrri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
30		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
32	31, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
34	32, 33	fveq12d 6913	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35		2ex 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
36	35	tpid3 4777	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
37	36, 18	eleqtrri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
38		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
39	37, 38	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
40	39, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
42	40, 41	fveq12d 6913	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
43	23	fveq1d 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
45	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46		ssidd 4018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
47	1	nn0zd 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
49	2	nnnn0i 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
51		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
52	46, 48, 50, 51	reprf 34605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
53	52	ffvelcdmda 7103	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
54	45, 53	ffvelcdmd 7104	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
55	44, 54	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
56	26, 34, 42, 55	prodfzo03 34596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
57	56	sumeq2dv 15734	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
58	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
59	58	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
60	59	fveq1d 6908	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
61	60	prodeq2dv 15954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
62		fzofi 14011	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
64	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65		ioossre 13444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
66	65, 5	sstri 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
68	67	sselda 3994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
70	64, 68, 69	vtscl 34631	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
71		fprodconst 16010	. . . . . 6 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
72	63, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
73		hashfzo0 14465	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
74	49, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
76	75	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
77	61, 72, 76	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
78	77	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
79	78	itgeq2dv 25831	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
80	15, 57, 79	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  {csn 4630  {ctp 4634   × cxp 5686  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  ici 11154   · cmul 11157  -cneg 11490  ℕcn 12263  2c2 12318  3c3 12319  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  (,)cioo 13383  ..^cfzo 13690  ↑cexp 14098  ♯chash 14365  Σcsu 15718  ∏cprod 15935  expce 16093  πcpi 16098  ∫citg 25666  Λcvma 27149  reprcrepr 34601  vtscvts 34628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-vma 27155  df-repr 34602  df-vts 34629

This theorem is referenced by: (None)