Theorem circlevma 34799

Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
circlevma.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlevma	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlevma.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12224	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		vmaf 27085	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5		ax-resscn 11083	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		fss 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℂ
8		cnex 11107	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		nnex 12151	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8776	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
12	7, 11	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ)
13	12	fconst6 6724	. . . 4 ⊢ ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
15	1, 3, 14	circlemeth 34797	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16		c0ex 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4725	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18		fzo0to3tp 13668	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eleqtrri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
20		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
22	12	elexi 3463	. . . . . . 7 ⊢ Λ ∈ V
23	22	fvconst2 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
26	24, 25	fveq12d 6841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27		1ex 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
28	27	tpid2 4727	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
29	28, 18	eleqtrri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
30		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
32	31, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
34	32, 33	fveq12d 6841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35		2ex 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
36	35	tpid3 4730	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
37	36, 18	eleqtrri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
38		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
39	37, 38	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
40	39, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
42	40, 41	fveq12d 6841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
43	23	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
45	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46		ssidd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
47	1	nn0zd 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
49	2	nnnn0i 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
51		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
52	46, 48, 50, 51	reprf 34769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
53	52	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
54	45, 53	ffvelcdmd 7030	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
55	44, 54	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
56	26, 34, 42, 55	prodfzo03 34760	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
57	56	sumeq2dv 15625	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
58	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
59	58	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
60	59	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
61	60	prodeq2dv 15845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
62		fzofi 13897	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
64	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65		ioossre 13323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
66	65, 5	sstri 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
68	67	sselda 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
70	64, 68, 69	vtscl 34795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
71		fprodconst 15901	. . . . . 6 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
72	63, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
73		hashfzo0 14353	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
74	49, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
76	75	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
77	61, 72, 76	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
78	77	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
79	78	itgeq2dv 25739	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
80	15, 57, 79	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580  {ctp 4584   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   · cmul 11031  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  (,)cioo 13261  ..^cfzo 13570  ↑cexp 13984  ♯chash 14253  Σcsu 15609  ∏cprod 15826  expce 15984  πcpi 15989  ∫citg 25575  Λcvma 27058  reprcrepr 34765  vtscvts 34792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-prod 15827  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-vma 27064  df-repr 34766  df-vts 34793

This theorem is referenced by: (None)