Theorem circlevma 34655

Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
circlevma.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlevma	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlevma.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12204	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		vmaf 27056	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5		ax-resscn 11063	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		fss 6667	. . . . . . 7 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℂ
8		cnex 11087	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		nnex 12131	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		elmapg 8763	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
12	7, 11	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ)
13	12	fconst6 6713	. . . 4 ⊢ ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
15	1, 3, 14	circlemeth 34653	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16		c0ex 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4718	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18		fzo0to3tp 13652	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eleqtrri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
20		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
22	12	elexi 3459	. . . . . . 7 ⊢ Λ ∈ V
23	22	fvconst2 7138	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
26	24, 25	fveq12d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27		1ex 11108	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
28	27	tpid2 4720	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
29	28, 18	eleqtrri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
30		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
32	31, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
34	32, 33	fveq12d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35		2ex 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
36	35	tpid3 4723	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
37	36, 18	eleqtrri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
38		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
39	37, 38	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
40	39, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
42	40, 41	fveq12d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
43	23	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘𝑎)))
45	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46		ssidd 3953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
47	1	nn0zd 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
49	2	nnnn0i 12389	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
51		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
52	46, 48, 50, 51	reprf 34625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
53	52	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
54	45, 53	ffvelcdmd 7018	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
55	44, 54	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
56	26, 34, 42, 55	prodfzo03 34616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
57	56	sumeq2dv 15609	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
58	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
59	58	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
60	59	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
61	60	prodeq2dv 15829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
62		fzofi 13881	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
64	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65		ioossre 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
66	65, 5	sstri 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
68	67	sselda 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
70	64, 68, 69	vtscl 34651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
71		fprodconst 15885	. . . . . 6 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
72	63, 70, 71	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
73		hashfzo0 14337	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
74	49, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
76	75	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
77	61, 72, 76	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
78	77	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
79	78	itgeq2dv 25710	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
80	15, 57, 79	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4573  {ctp 4577   × cxp 5612  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  ici 11008   · cmul 11011  -cneg 11345  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  (,)cioo 13245  ..^cfzo 13554  ↑cexp 13968  ♯chash 14237  Σcsu 15593  ∏cprod 15810  expce 15968  πcpi 15973  ∫citg 25546  Λcvma 27029  reprcrepr 34621  vtscvts 34648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-mbf 25547  df-itg1 25548  df-itg2 25549  df-ibl 25550  df-itg 25551  df-0p 25598  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-vma 27035  df-repr 34622  df-vts 34649

This theorem is referenced by: (None)