Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlevma Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem circlevma 33654
Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
circlevma.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
circlevma (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ∫(0(,)1)((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Proof of Theorem circlevma
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlevma.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 3nn 12291 . . . 4 3 ∈ β„•
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•)
4 vmaf 26623 . . . . . . 7 Ξ›:β„•βŸΆβ„
5 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
6 fss 6735 . . . . . . 7 ((Ξ›:β„•βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
74, 5, 6mp2an 691 . . . . . 6 Ξ›:β„•βŸΆβ„‚
8 cnex 11191 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
9 nnex 12218 . . . . . . 7 β„• ∈ V
10 elmapg 8833 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ (Ξ› ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚))
118, 9, 10mp2an 691 . . . . . 6 (Ξ› ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
127, 11mpbir 230 . . . . 5 Ξ› ∈ (β„‚ ↑m β„•)
1312fconst6 6782 . . . 4 ((0..^3) Γ— {Ξ›}):(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•)
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^3) Γ— {Ξ›}):(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•))
151, 3, 14circlemeth 33652 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
16 c0ex 11208 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1716tpid1 4773 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
18 fzo0to3tp 13718 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eleqtrri 2833 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
20 eleq1 2822 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
2212elexi 3494 . . . . . . 7 Ξ› ∈ V
2322fvconst2 7205 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0..^3) β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
2421, 23syl 17 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
25 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜0))
2624, 25fveq12d 6899 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
27 1ex 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2827tpid2 4775 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 18eleqtrri 2833 . . . . . . 7 1 ∈ (0..^3)
30 eleq1 2822 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘Ž ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
3129, 30mpbiri 258 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
3231, 23syl 17 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
33 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜1))
3432, 33fveq12d 6899 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
35 2ex 12289 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
3635tpid3 4778 . . . . . . . 8 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 18eleqtrri 2833 . . . . . . 7 2 ∈ (0..^3)
38 eleq1 2822 . . . . . . 7 (π‘Ž = 2 β†’ (π‘Ž ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
3937, 38mpbiri 258 . . . . . 6 (π‘Ž = 2 β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
4039, 23syl 17 . . . . 5 (π‘Ž = 2 β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
41 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = 2 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜2))
4240, 41fveq12d 6899 . . . 4 (π‘Ž = 2 β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
4323fveq1d 6894 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0..^3) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)))
4443adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)))
457a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
46 ssidd 4006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ β„• βŠ† β„•)
471nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
492nnnn0i 12480 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
5049a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 3 ∈ β„•0)
51 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
5246, 48, 50, 51reprf 33624 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
5352ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) ∈ β„•)
5445, 53ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
5544, 54eqeltrd 2834 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
5626, 34, 42, 55prodfzo03 33615 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5756sumeq2dv 15649 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5823adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž) = Ξ›)
5958oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁) = (Ξ›vts𝑁))
6059fveq1d 6894 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯))
6160prodeq2dv 15867 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯))
62 fzofi 13939 . . . . . . 7 (0..^3) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (0..^3) ∈ Fin)
641adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65 ioossre 13385 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) βŠ† ℝ
6665, 5sstri 3992 . . . . . . . . 9 (0(,)1) βŠ† β„‚
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0(,)1) βŠ† β„‚)
6867sselda 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
697a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
7064, 68, 69vtscl 33650 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
71 fprodconst 15922 . . . . . 6 (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(0..^3))))
7263, 70, 71syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(0..^3))))
73 hashfzo0 14390 . . . . . . . 8 (3 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
7449, 73ax-mp 5 . . . . . . 7 (β™―β€˜(0..^3)) = 3
7574a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
7675oveq2d 7425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(0..^3))) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3))
7761, 72, 763eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3))
7877oveq1d 7424 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) = ((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))))
7978itgeq2dv 25299 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((((0..^3) Γ— {Ξ›})β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
8015, 57, 793eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ∫(0(,)1)((((Ξ›vts𝑁)β€˜π‘₯)↑3) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {ctp 4633   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115  -cneg 11445  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849  expce 16005  Ο€cpi 16010  βˆ«citg 25135  Ξ›cvma 26596  reprcrepr 33620  vtscvts 33647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602  df-repr 33621  df-vts 33648
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator