Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlevma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlevma 33643
Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
circlevma.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
circlevma (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlevma.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 3nn 12288 . . . 4 3 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4 vmaf 26613 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
5 ax-resscn 11164 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
6 fss 6732 . . . . . . 7 ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
74, 5, 6mp2an 691 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℂ
8 cnex 11188 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 nnex 12215 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
10 elmapg 8830 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
118, 9, 10mp2an 691 . . . . . 6 (Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
127, 11mpbir 230 . . . . 5 Λ ∈ (ℂ ↑m ℕ)
1312fconst6 6779 . . . 4 ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ)
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
151, 3, 14circlemeth 33641 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16 c0ex 11205 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1716tpid1 4772 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
18 fzo0to3tp 13715 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eleqtrri 2833 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
20 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
2212elexi 3494 . . . . . . 7 Λ ∈ V
2322fvconst2 7202 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
2421, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25 fveq2 6889 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘0))
2624, 25fveq12d 6896 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27 1ex 11207 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2827tpid2 4774 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 18eleqtrri 2833 . . . . . . 7 1 ∈ (0..^3)
30 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
3129, 30mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
3231, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33 fveq2 6889 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘1))
3432, 33fveq12d 6896 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35 2ex 12286 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
3635tpid3 4777 . . . . . . . 8 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 18eleqtrri 2833 . . . . . . 7 2 ∈ (0..^3)
38 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
3937, 38mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
4039, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41 fveq2 6889 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘2))
4240, 41fveq12d 6896 . . . 4 (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
4323fveq1d 6891 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛𝑎)))
4443adantl 483 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛𝑎)))
457a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46 ssidd 4005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
471nn0zd 12581 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
492nnnn0i 12477 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
51 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
5246, 48, 50, 51reprf 33613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
5352ffvelcdmda 7084 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛𝑎) ∈ ℕ)
5445, 53ffvelcdmd 7085 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5544, 54eqeltrd 2834 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5626, 34, 42, 55prodfzo03 33604 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5756sumeq2dv 15646 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5823adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
5958oveq1d 7421 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
6059fveq1d 6891 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
6160prodeq2dv 15864 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
62 fzofi 13936 . . . . . . 7 (0..^3) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
641adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65 ioossre 13382 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ ℝ
6665, 5sstri 3991 . . . . . . . . 9 (0(,)1) ⊆ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
6867sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
697a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7064, 68, 69vtscl 33639 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
71 fprodconst 15919 . . . . . 6 (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
7263, 70, 71syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
73 hashfzo0 14387 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7449, 73ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(0..^3)) = 3
7574a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
7675oveq2d 7422 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
7761, 72, 763eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
7877oveq1d 7421 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
7978itgeq2dv 25291 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
8015, 57, 793eqtr3d 2781 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3948  {csn 4628  {ctp 4632   × cxp 5674  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  m cmap 8817  Fincfn 8936  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   · cmul 11112  -cneg 11442  cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  0cn0 12469  cz 12555  (,)cioo 13321  ..^cfzo 13624  cexp 14024  chash 14287  Σcsu 15629  cprod 15846  expce 16002  πcpi 16007  citg 25127  Λcvma 26586  reprcrepr 33609  vtscvts 33636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-prod 15847  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16767  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-ibl 25131  df-itg 25132  df-0p 25179  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-vma 26592  df-repr 33610  df-vts 33637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator