Theorem reprle 35123

Description: Upper bound to the terms in the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
reprle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))

Assertion

Ref	Expression
reprle	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem reprle

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6879	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐶‘𝑎) = (𝐶‘𝑋))
2		fzofi 14039	. . 3 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑆) ∈ Fin)
4		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
7		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
8	4, 5, 6, 7	reprsum 35122	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)
9	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
10	4, 5, 6, 7	reprf 35121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
11	10	ffvelcdmda 7078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝐴)
12	9, 11	sseldd 3932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 13085	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ ℝ+)
14		reprle.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
15	1, 3, 8, 13, 14	fsumub 33299	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ≤ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cc0 11125   ≤ cle 11269  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ..^cfzo 13710  reprcrepr 35117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-sum 15775  df-repr 35118

This theorem is used by:  hgt750lemb  35165