Theorem reprle 31906

Description: Upper bound to the terms in the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
reprle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))

Assertion

Ref	Expression
reprle	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem reprle

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6663	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐶‘𝑎) = (𝐶‘𝑋))
2		fzofi 13339	. . 3 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑆) ∈ Fin)
4		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
7		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
8	4, 5, 6, 7	reprsum 31905	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)
9	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
10	4, 5, 6, 7	reprf 31904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
11	10	ffvelrnda 6844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝐴)
12	9, 11	sseldd 3961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12423	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ ℝ+)
14		reprle.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
15	1, 3, 8, 13, 14	fsumub 30544	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ≤ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3929   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Fincfn 8502  0cc0 10530   ≤ cle 10669  ℕcn 11631  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ..^cfzo 13030  reprcrepr 31900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-repr 31901

This theorem is referenced by:  hgt750lemb  31948