Theorem reprle 32602

Description: Upper bound to the terms in the representations of 𝑀 as the sum of 𝑆 nonnegative integers from set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
reprle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))

Assertion

Ref	Expression
reprle	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem reprle

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6766	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝐶‘𝑎) = (𝐶‘𝑋))
2		fzofi 13704	. . 3 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑆) ∈ Fin)
4		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
7		reprf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(repr‘𝑆)𝑀))
8	4, 5, 6, 7	reprsum 32601	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝐶‘𝑎) = 𝑀)
9	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
10	4, 5, 6, 7	reprf 32600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0..^𝑆)⟶𝐴)
11	10	ffvelrnda 6953	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝐴)
12	9, 11	sseldd 3921	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐶‘𝑎) ∈ ℝ+)
14		reprle.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝑆))
15	1, 3, 8, 13, 14	fsumub 31150	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) ≤ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3886   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  Fincfn 8720  0cc0 10881   ≤ cle 11020  ℕcn 11983  ℕ₀cn0 12243  ℤcz 12329  ..^cfzo 13392  reprcrepr 32596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-ico 13095  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-sum 15408  df-repr 32597

This theorem is referenced by:  hgt750lemb  32644