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Theorem hgt750lema 33964
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
hgt750leme.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
hgt750lemb.2 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
hgt750lema.f 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ↦ (𝑑 ∘ if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0}))))
Assertion
Ref Expression
hgt750lema (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑑,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   πœ‘,𝑐,𝑛   𝑛,𝐹   𝑁,π‘Ž,𝑑,𝑐,𝑛   𝑂,π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑛   πœ‘,π‘Ž,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧,π‘Ž)   𝐹(𝑧,π‘Ž,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750lema
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13944 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^3) ∈ Fin)
3 hgt750leme.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
43nnnn0d 12537 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 3nn0 12495 . . . . . . 7 3 ∈ β„•0
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•0)
7 ssidd 4006 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† β„•)
84, 6, 7reprfi2 33930 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
9 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁)
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
118, 10ssfid 9270 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ∈ Fin)
1211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ∈ Fin)
13 vmaf 26856 . . . . . 6 Ξ›:β„•βŸΆβ„
1413a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
15 ssidd 4006 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ β„• βŠ† β„•)
164nn0zd 12589 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
185a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 3 ∈ β„•0)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
209, 19sselid 3981 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
2115, 17, 18, 20reprf 33919 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
22 c0ex 11213 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2322tpid1 4773 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 13723 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2831 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
2814, 27ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
29 1ex 11215 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3029tpid2 4775 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
3130, 24eleqtrri 2831 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 1 ∈ (0..^3))
3321, 32ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
3414, 33ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
35 2ex 12294 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3635tpid3 4778 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 24eleqtrri 2831 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 2 ∈ (0..^3))
3921, 38ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
4014, 39ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
4134, 40remulcld 11249 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
4228, 41remulcld 11249 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
43 vmage0 26858 . . . . 5 ((π‘›β€˜0) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
4427, 43syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
45 vmage0 26858 . . . . . 6 ((π‘›β€˜1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
47 vmage0 26858 . . . . . 6 ((π‘›β€˜2) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
4839, 47syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
4934, 40, 46, 48mulge0d 11796 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))
5028, 41, 44, 49mulge0d 11796 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
512, 12, 42, 50fsumiunle 32299 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ βˆͺ π‘Ž ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
52 eqid 2731 . . . 4 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
53 inss2 4230 . . . . . 6 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„™
54 prmssnn 16618 . . . . . 6 β„™ βŠ† β„•
5553, 54sstri 3992 . . . . 5 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•
5655a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•)
5752, 7, 56, 4, 6reprdifc 33934 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) = βˆͺ π‘Ž ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
5857sumeq1d 15652 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ βˆͺ π‘Ž ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
59 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁)
6059a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
618, 60ssfid 9270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ∈ Fin)
6213a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
63 ssidd 4006 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ β„• βŠ† β„•)
6416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
655a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 3 ∈ β„•0)
6660sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
6763, 64, 65, 66reprf 33919 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
6825a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ∈ (0..^3))
6967, 68ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
7062, 69ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
7131a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 1 ∈ (0..^3))
7267, 71ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
7362, 72ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 2 ∈ (0..^3))
7567, 74ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
7662, 75ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
7773, 76remulcld 11249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
7870, 77remulcld 11249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
7961, 78fsumrecl 15685 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
8079recnd 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
81 fsumconst 15741 . . . 4 (((0..^3) ∈ Fin ∧ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ((β™―β€˜(0..^3)) Β· Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
822, 80, 81syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ((β™―β€˜(0..^3)) Β· Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
83 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘›β€˜0) = ((πΉβ€˜π‘’)β€˜0))
8483fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)))
85 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘›β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘’)β€˜1))
8685fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)))
87 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘›β€˜2) = ((πΉβ€˜π‘’)β€˜2))
8887fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))
8986, 88oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2))))
9084, 89oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))))
91 3nn 12296 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„•
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•)
9392ralrimivw 3149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (0..^3)3 ∈ β„•)
9493r19.21bi 3247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ 3 ∈ β„•)
9516adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
96 ssidd 4006 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ β„• βŠ† β„•)
97 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
98 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
9998eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ (π‘‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
10099notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 β†’ (Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ Β¬ (π‘‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
101100cbvrabv 3441 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} = {𝑑 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
102 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘‘β€˜π‘Ž))
103102eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ (π‘‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
104103notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 β†’ (Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ Β¬ (π‘‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
105104cbvrabv 3441 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} = {𝑑 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
106 eqid 2731 . . . . . . 7 if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0})) = if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0}))
107 hgt750lema.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ↦ (𝑑 ∘ if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0}))))
10894, 95, 96, 97, 101, 105, 106, 107reprpmtf1o 33933 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ 𝐹:{𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}–1-1-ontoβ†’{𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
109 eqidd 2732 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘’))
11078adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
111110recnd 11247 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
11290, 12, 108, 109, 111fsumf1o 15674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))))
113 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘›))
114113fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)β€˜0) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜0))
115114fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 β†’ (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)))
116113fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜1))
117116fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)))
118113fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)β€˜2) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜2))
119118fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))
120117, 119oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2))))
121115, 120oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))))
122121cbvsumv 15647 . . . . . 6 Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2))))
123122a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))))
124 ovexd 7447 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (0..^3) ∈ V)
12597adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
126124, 125, 26, 106pmtridf1o 32520 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0})):(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3))
127107, 126, 21, 14, 19hgt750lemg 33961 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
128127sumeq2dv 15654 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
129112, 123, 1283eqtrrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
130129sumeq2dv 15654 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
131 hashfzo0 14395 . . . . . . 7 (3 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
1325, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (β™―β€˜(0..^3)) = 3
133132a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
134133eqcomd 2737 . . . 4 (πœ‘ β†’ 3 = (β™―β€˜(0..^3)))
135 hgt750lemb.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
136135a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
137136sumeq1d 15652 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
138134, 137oveq12d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = ((β™―β€˜(0..^3)) Β· Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
13982, 130, 1383eqtr4rd 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
14051, 58, 1393brtr4d 5181 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631  {ctp 4633  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Ξ£csu 15637   βˆ₯ cdvds 16202  β„™cprime 16613  pmTrspcpmtr 19351  Ξ›cvma 26829  reprcrepr 33915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-reg 9590  ax-inf2 9639  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-r1 9762  df-rank 9763  df-dju 9899  df-card 9937  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-pmtr 19352  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-vma 26835  df-repr 33916
This theorem is referenced by:  hgt750leme  33965
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