Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lema 31083
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemb.2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
hgt750lema.f 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑑 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
Assertion
Ref Expression
hgt750lema (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑑,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑐,𝑛   𝑛,𝐹   𝑁,𝑎,𝑑,𝑐,𝑛   𝑂,𝑎,𝑐,𝑑,𝑛   𝜑,𝑎,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧,𝑎)   𝐹(𝑧,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750lema
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13017 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
3 hgt750leme.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11637 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 3nn0 11597 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
7 ssidd 3832 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
84, 6, 7reprfi2 31049 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
9 ssrab2 3895 . . . . . 6 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
118, 10ssfid 8432 . . . 4 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
1211adantr 468 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
13 vmaf 25082 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
1413a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
15 ssidd 3832 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
164nn0zd 11766 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1716ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
185a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
19 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
209, 19sseldi 3807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
2115, 17, 18, 20reprf 31038 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
22 c0ex 10329 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2322tpid1 4505 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 12798 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2895 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelrnd 6592 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2814, 27ffvelrnd 6592 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
29 1ex 10331 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3029tpid2 4506 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
3130, 24eleqtrri 2895 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
3321, 32ffvelrnd 6592 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3414, 33ffvelrnd 6592 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
35 2ex 11390 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3635tpid3 4508 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 24eleqtrri 2895 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
3921, 38ffvelrnd 6592 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
4014, 39ffvelrnd 6592 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
4134, 40remulcld 10365 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
4228, 41remulcld 10365 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
43 vmage0 25084 . . . . 5 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
4427, 43syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
45 vmage0 25084 . . . . . 6 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
47 vmage0 25084 . . . . . 6 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
4839, 47syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
4934, 40, 46, 48mulge0d 10899 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
5028, 41, 44, 49mulge0d 10899 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
512, 12, 42, 50fsumiunle 29925 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
52 eqid 2817 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
53 inss2 4041 . . . . . 6 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
54 prmssnn 15628 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
5553, 54sstri 3818 . . . . 5 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
5752, 7, 56, 4, 6reprdifc 31053 . . 3 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) = 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
5857sumeq1d 14674 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59 ssrab2 3895 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
618, 60ssfid 8432 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
6213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
63 ssidd 3832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
6416adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
655a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
6660sselda 3809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
6763, 64, 65, 66reprf 31038 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
6825a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
6967, 68ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
7062, 69ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
7131a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
7267, 71ffvelrnd 6592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
7362, 72ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
7567, 74ffvelrnd 6592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
7662, 75ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
7773, 76remulcld 10365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
7870, 77remulcld 10365 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
7961, 78fsumrecl 14708 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
8079recnd 10363 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
81 fsumconst 14764 . . . 4 (((0..^3) ∈ Fin ∧ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
822, 80, 81syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
83 fveq1 6417 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘0) = ((𝐹𝑒)‘0))
8483fveq2d 6422 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘0)))
85 fveq1 6417 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘1) = ((𝐹𝑒)‘1))
8685fveq2d 6422 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘1)))
87 fveq1 6417 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘2) = ((𝐹𝑒)‘2))
8887fveq2d 6422 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))
8986, 88oveq12d 6902 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹𝑒) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) = ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2))))
9084, 89oveq12d 6902 . . . . . 6 (𝑛 = (𝐹𝑒) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))))
91 3nn 11392 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
9392ralrimivw 3166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^3)3 ∈ ℕ)
9493r19.21bi 3131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 3 ∈ ℕ)
9516adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝑁 ∈ ℤ)
96 ssidd 3832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → ℕ ⊆ ℕ)
97 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
98 fveq1 6417 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
9998eleq1d 2881 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
10099notbid 309 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
101100cbvrabv 3400 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
102 fveq1 6417 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑎) = (𝑑𝑎))
103102eleq1d 2881 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
104103notbid 309 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
105104cbvrabv 3400 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
106 eqid 2817 . . . . . . 7 if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})) = if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))
107 hgt750lema.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑑 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
10894, 95, 96, 97, 101, 105, 106, 107reprpmtf1o 31052 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝐹:{𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}–1-1-onto→{𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
109 eqidd 2818 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑒))
11078adantlr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
111110recnd 10363 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
11290, 12, 108, 109, 111fsumf1o 14697 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))))
113 fveq2 6418 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑛))
114113fveq1d 6420 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘0) = ((𝐹𝑛)‘0))
115114fveq2d 6422 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘0)))
116113fveq1d 6420 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘1) = ((𝐹𝑛)‘1))
117116fveq2d 6422 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘1)))
118113fveq1d 6420 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘2) = ((𝐹𝑛)‘2))
119118fveq2d 6422 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))
120117, 119oveq12d 6902 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 → ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2))) = ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2))))
121115, 120oveq12d 6902 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑛 → ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))))
122121cbvsumv 14669 . . . . . 6 Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2))))
123122a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))))
124 ovexd 6918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (0..^3) ∈ V)
12597adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126124, 125, 26, 106pmtridf1o 30204 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})):(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
127107, 126, 21, 14, 19hgt750lemg 31080 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
128127sumeq2dv 14676 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
129112, 123, 1283eqtrrd 2856 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
130129sumeq2dv 14676 . . 3 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
131 hashfzo0 13454 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
1325, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘(0..^3)) = 3
133132a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
134133eqcomd 2823 . . . 4 (𝜑 → 3 = (♯‘(0..^3)))
135 hgt750lemb.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
136135a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
137136sumeq1d 14674 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
138134, 137oveq12d 6902 . . 3 (𝜑 → (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
13982, 130, 1383eqtr4rd 2862 . 2 (𝜑 → (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
14051, 58, 1393brtr4d 4887 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  {crab 3111  Vcvv 3402  cdif 3777  cin 3779  wss 3780  ifcif 4290  {cpr 4383  {ctp 4385   ciun 4723   class class class wbr 4855  cmpt 4934   I cid 5231  cres 5326  ccom 5328  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  Fincfn 8202  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   · cmul 10236  cle 10370  cn 11315  2c2 11368  3c3 11369  0cn0 11579  cz 11663  ..^cfzo 12709  chash 13357  Σcsu 14659  cdvds 15223  cprime 15623  pmTrspcpmtr 18082  Λcvma 25055  reprcrepr 31034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-reg 8746  ax-inf2 8795  ax-ac2 9580  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-r1 8884  df-rank 8885  df-card 9058  df-ac 9232  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ioc 12418  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-fac 13301  df-bc 13330  df-hash 13358  df-shft 14050  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-limsup 14445  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-prod 14877  df-ef 15038  df-sin 15040  df-cos 15041  df-pi 15043  df-dvds 15224  df-gcd 15456  df-prm 15624  df-pc 15779  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-submnd 17561  df-mulg 17766  df-cntz 17971  df-pmtr 18083  df-cmn 18416  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-lp 21175  df-perf 21176  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-haus 21354  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cncf 22915  df-limc 23867  df-dv 23868  df-log 24540  df-vma 25061  df-repr 31035
This theorem is referenced by:  hgt750leme  31084
  Copyright terms: Public domain W3C validator