Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lema 32101
 Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemb.2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
hgt750lema.f 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑑 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
Assertion
Ref Expression
hgt750lema (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑑,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑐,𝑛   𝑛,𝐹   𝑁,𝑎,𝑑,𝑐,𝑛   𝑂,𝑎,𝑐,𝑑,𝑛   𝜑,𝑎,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧,𝑎)   𝐹(𝑧,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750lema
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13354 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
3 hgt750leme.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11960 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 3nn0 11918 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
7 ssidd 3939 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
84, 6, 7reprfi2 32067 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
9 ssrab2 4008 . . . . . 6 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
118, 10ssfid 8740 . . . 4 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
1211adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
13 vmaf 25745 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
1413a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
15 ssidd 3939 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
164nn0zd 12090 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
185a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
209, 19sseldi 3914 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
2115, 17, 18, 20reprf 32056 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
22 c0ex 10639 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2322tpid1 4666 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 13135 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2889 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelrnd 6836 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2814, 27ffvelrnd 6836 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
29 1ex 10641 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3029tpid2 4668 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
3130, 24eleqtrri 2889 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
3321, 32ffvelrnd 6836 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3414, 33ffvelrnd 6836 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
35 2ex 11717 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3635tpid3 4671 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 24eleqtrri 2889 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
3921, 38ffvelrnd 6836 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
4014, 39ffvelrnd 6836 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
4134, 40remulcld 10675 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
4228, 41remulcld 10675 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
43 vmage0 25747 . . . . 5 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
4427, 43syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
45 vmage0 25747 . . . . . 6 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
47 vmage0 25747 . . . . . 6 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
4839, 47syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
4934, 40, 46, 48mulge0d 11221 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
5028, 41, 44, 49mulge0d 11221 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
512, 12, 42, 50fsumiunle 30612 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
52 eqid 2798 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
53 inss2 4158 . . . . . 6 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
54 prmssnn 16027 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
5553, 54sstri 3925 . . . . 5 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
5752, 7, 56, 4, 6reprdifc 32071 . . 3 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) = 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
5857sumeq1d 15067 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59 ssrab2 4008 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
618, 60ssfid 8740 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
6213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
63 ssidd 3939 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
6416adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
655a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
6660sselda 3916 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
6763, 64, 65, 66reprf 32056 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
6825a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
6967, 68ffvelrnd 6836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
7062, 69ffvelrnd 6836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
7131a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
7267, 71ffvelrnd 6836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
7362, 72ffvelrnd 6836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
7567, 74ffvelrnd 6836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
7662, 75ffvelrnd 6836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
7773, 76remulcld 10675 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
7870, 77remulcld 10675 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
7961, 78fsumrecl 15100 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
8079recnd 10673 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
81 fsumconst 15154 . . . 4 (((0..^3) ∈ Fin ∧ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
822, 80, 81syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
83 fveq1 6651 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘0) = ((𝐹𝑒)‘0))
8483fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘0)))
85 fveq1 6651 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘1) = ((𝐹𝑒)‘1))
8685fveq2d 6656 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘1)))
87 fveq1 6651 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘2) = ((𝐹𝑒)‘2))
8887fveq2d 6656 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))
8986, 88oveq12d 7160 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹𝑒) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) = ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2))))
9084, 89oveq12d 7160 . . . . . 6 (𝑛 = (𝐹𝑒) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))))
91 3nn 11719 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
9392ralrimivw 3150 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^3)3 ∈ ℕ)
9493r19.21bi 3173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 3 ∈ ℕ)
9516adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝑁 ∈ ℤ)
96 ssidd 3939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → ℕ ⊆ ℕ)
97 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
98 fveq1 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
9998eleq1d 2874 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
10099notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
101100cbvrabv 3439 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
102 fveq1 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑎) = (𝑑𝑎))
103102eleq1d 2874 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
104103notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
105104cbvrabv 3439 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
106 eqid 2798 . . . . . . 7 if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})) = if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))
107 hgt750lema.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑑 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
10894, 95, 96, 97, 101, 105, 106, 107reprpmtf1o 32070 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝐹:{𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}–1-1-onto→{𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
109 eqidd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑒))
11078adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
111110recnd 10673 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
11290, 12, 108, 109, 111fsumf1o 15089 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))))
113 fveq2 6652 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑛))
114113fveq1d 6654 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘0) = ((𝐹𝑛)‘0))
115114fveq2d 6656 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘0)))
116113fveq1d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘1) = ((𝐹𝑛)‘1))
117116fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘1)))
118113fveq1d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘2) = ((𝐹𝑛)‘2))
119118fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))
120117, 119oveq12d 7160 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 → ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2))) = ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2))))
121115, 120oveq12d 7160 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑛 → ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))))
122121cbvsumv 15062 . . . . . 6 Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2))))
123122a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))))
124 ovexd 7177 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (0..^3) ∈ V)
12597adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126124, 125, 26, 106pmtridf1o 30832 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})):(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
127107, 126, 21, 14, 19hgt750lemg 32098 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
128127sumeq2dv 15069 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
129112, 123, 1283eqtrrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
130129sumeq2dv 15069 . . 3 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
131 hashfzo0 13804 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
1325, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘(0..^3)) = 3
133132a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
134133eqcomd 2804 . . . 4 (𝜑 → 3 = (♯‘(0..^3)))
135 hgt750lemb.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
136135a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
137136sumeq1d 15067 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
138134, 137oveq12d 7160 . . 3 (𝜑 → (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
13982, 130, 1383eqtr4rd 2844 . 2 (𝜑 → (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
14051, 58, 1393brtr4d 5065 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3879   ∩ cin 3881   ⊆ wss 3882  ifcif 4427  {cpr 4529  {ctp 4531  ∪ ciun 4884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   ↾ cres 5524   ∘ ccom 5526  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  Fincfn 8507  ℂcc 10539  ℝcr 10540  0cc0 10541  1c1 10542   · cmul 10546   ≤ cle 10680  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11986  ..^cfzo 13045  ♯chash 13703  Σcsu 15051   ∥ cdvds 15616  ℙcprime 16022  pmTrspcpmtr 18579  Λcvma 25718  reprcrepr 32052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-reg 9055  ax-inf2 9103  ax-ac2 9889  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619  ax-addf 10620  ax-mulf 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-r1 9192  df-rank 9193  df-dju 9329  df-card 9367  df-ac 9542  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-q 12354  df-rp 12395  df-xneg 12512  df-xadd 12513  df-xmul 12514  df-ioo 12747  df-ioc 12748  df-ico 12749  df-icc 12750  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-fl 13174  df-mod 13250  df-seq 13382  df-exp 13443  df-fac 13647  df-bc 13676  df-hash 13704  df-shft 14435  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-limsup 14837  df-clim 14854  df-rlim 14855  df-sum 15052  df-prod 15269  df-ef 15430  df-sin 15432  df-cos 15433  df-pi 15435  df-dvds 15617  df-gcd 15851  df-prm 16023  df-pc 16181  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-starv 16589  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-unif 16597  df-hom 16598  df-cco 16599  df-rest 16705  df-topn 16706  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-topgen 16726  df-pt 16727  df-prds 16730  df-xrs 16784  df-qtop 16789  df-imas 16790  df-xps 16792  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-submnd 17966  df-mulg 18235  df-cntz 18457  df-pmtr 18580  df-cmn 18918  df-psmet 20101  df-xmet 20102  df-met 20103  df-bl 20104  df-mopn 20105  df-fbas 20106  df-fg 20107  df-cnfld 20110  df-top 21537  df-topon 21554  df-topsp 21576  df-bases 21589  df-cld 21662  df-ntr 21663  df-cls 21664  df-nei 21741  df-lp 21779  df-perf 21780  df-cn 21870  df-cnp 21871  df-haus 21958  df-tx 22205  df-hmeo 22398  df-fil 22489  df-fm 22581  df-flim 22582  df-flf 22583  df-xms 22965  df-ms 22966  df-tms 22967  df-cncf 23521  df-limc 24507  df-dv 24508  df-log 25189  df-vma 25724  df-repr 32053 This theorem is referenced by:  hgt750leme  32102
 Copyright terms: Public domain W3C validator