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Theorem hgt750lema 33967
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
hgt750leme.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
hgt750lemb.2 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
hgt750lema.f 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ↦ (𝑑 ∘ if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0}))))
Assertion
Ref Expression
hgt750lema (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑑,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   πœ‘,𝑐,𝑛   𝑛,𝐹   𝑁,π‘Ž,𝑑,𝑐,𝑛   𝑂,π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑛   πœ‘,π‘Ž,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧,π‘Ž)   𝐹(𝑧,π‘Ž,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750lema
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13943 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^3) ∈ Fin)
3 hgt750leme.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
43nnnn0d 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 3nn0 12494 . . . . . . 7 3 ∈ β„•0
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•0)
7 ssidd 4004 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† β„•)
84, 6, 7reprfi2 33933 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
9 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁)
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
118, 10ssfid 9269 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ∈ Fin)
1211adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ∈ Fin)
13 vmaf 26859 . . . . . 6 Ξ›:β„•βŸΆβ„
1413a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
15 ssidd 4004 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ β„• βŠ† β„•)
164nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
185a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 3 ∈ β„•0)
19 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
209, 19sselid 3979 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
2115, 17, 18, 20reprf 33922 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
22 c0ex 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2322tpid1 4771 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 13722 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2830 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
2814, 27ffvelcdmd 7086 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
29 1ex 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3029tpid2 4773 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
3130, 24eleqtrri 2830 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 1 ∈ (0..^3))
3321, 32ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
3414, 33ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
35 2ex 12293 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3635tpid3 4776 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 24eleqtrri 2830 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 2 ∈ (0..^3))
3921, 38ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
4014, 39ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
4134, 40remulcld 11248 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
4228, 41remulcld 11248 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
43 vmage0 26861 . . . . 5 ((π‘›β€˜0) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
4427, 43syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
45 vmage0 26861 . . . . . 6 ((π‘›β€˜1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
47 vmage0 26861 . . . . . 6 ((π‘›β€˜2) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
4839, 47syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
4934, 40, 46, 48mulge0d 11795 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))
5028, 41, 44, 49mulge0d 11795 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
512, 12, 42, 50fsumiunle 32302 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ βˆͺ π‘Ž ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
52 eqid 2730 . . . 4 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
53 inss2 4228 . . . . . 6 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„™
54 prmssnn 16617 . . . . . 6 β„™ βŠ† β„•
5553, 54sstri 3990 . . . . 5 (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•
5655a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∩ β„™) βŠ† β„•)
5752, 7, 56, 4, 6reprdifc 33937 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)) = βˆͺ π‘Ž ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
5857sumeq1d 15651 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ βˆͺ π‘Ž ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
59 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁)
6059a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
618, 60ssfid 9269 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ∈ Fin)
6213a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
63 ssidd 4004 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ β„• βŠ† β„•)
6416adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
655a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 3 ∈ β„•0)
6660sselda 3981 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
6763, 64, 65, 66reprf 33922 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
6825a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 0 ∈ (0..^3))
6967, 68ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
7062, 69ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
7131a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 1 ∈ (0..^3))
7267, 71ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
7362, 72ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ 2 ∈ (0..^3))
7567, 74ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
7662, 75ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
7773, 76remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
7870, 77remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
7961, 78fsumrecl 15684 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
8079recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
81 fsumconst 15740 . . . 4 (((0..^3) ∈ Fin ∧ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ((β™―β€˜(0..^3)) Β· Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
822, 80, 81syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ((β™―β€˜(0..^3)) Β· Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
83 fveq1 6889 . . . . . . . 8 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘›β€˜0) = ((πΉβ€˜π‘’)β€˜0))
8483fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)))
85 fveq1 6889 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘›β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘’)β€˜1))
8685fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)))
87 fveq1 6889 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (π‘›β€˜2) = ((πΉβ€˜π‘’)β€˜2))
8887fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))
8986, 88oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2))))
9084, 89oveq12d 7429 . . . . . 6 (𝑛 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))))
91 3nn 12295 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„•
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•)
9392ralrimivw 3148 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (0..^3)3 ∈ β„•)
9493r19.21bi 3246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ 3 ∈ β„•)
9516adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
96 ssidd 4004 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ β„• βŠ† β„•)
97 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
98 fveq1 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
9998eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ (π‘‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
10099notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 β†’ (Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ Β¬ (π‘‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
101100cbvrabv 3440 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} = {𝑑 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
102 fveq1 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘‘β€˜π‘Ž))
103102eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ (π‘‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
104103notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 β†’ (Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™) ↔ Β¬ (π‘‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
105104cbvrabv 3440 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} = {𝑑 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
106 eqid 2730 . . . . . . 7 if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0})) = if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0}))
107 hgt750lema.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ↦ (𝑑 ∘ if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0}))))
10894, 95, 96, 97, 101, 105, 106, 107reprpmtf1o 33936 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ 𝐹:{𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}–1-1-ontoβ†’{𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
109 eqidd 2731 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘’))
11078adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
111110recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
11290, 12, 108, 109, 111fsumf1o 15673 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))))
113 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘›))
114113fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)β€˜0) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜0))
115114fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 β†’ (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)))
116113fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜1))
117116fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)))
118113fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)β€˜2) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜2))
119118fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)) = (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))
120117, 119oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2))))
121115, 120oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))) = ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))))
122121cbvsumv 15646 . . . . . 6 Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2))))
123122a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘’)β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))))
124 ovexd 7446 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ (0..^3) ∈ V)
12597adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
126124, 125, 26, 106pmtridf1o 32523 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ if(π‘Ž = 0, ( I β†Ύ (0..^3)), ((pmTrspβ€˜(0..^3))β€˜{π‘Ž, 0})):(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3))
127107, 126, 21, 14, 19hgt750lemg 33964 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}) β†’ ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
128127sumeq2dv 15653 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜((πΉβ€˜π‘›)β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
129112, 123, 1283eqtrrd 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
130129sumeq2dv 15653 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
131 hashfzo0 14394 . . . . . . 7 (3 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
1325, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (β™―β€˜(0..^3)) = 3
133132a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
134133eqcomd 2736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 3 = (β™―β€˜(0..^3)))
135 hgt750lemb.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
136135a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)})
137136sumeq1d 15651 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
138134, 137oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = ((β™―β€˜(0..^3)) Β· Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
13982, 130, 1383eqtr4rd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = Ξ£π‘Ž ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ (𝑂 ∩ β„™)} ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
14051, 58, 1393brtr4d 5179 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ ((β„•(reprβ€˜3)𝑁) βˆ– ((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁))((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (3 Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {cpr 4629  {ctp 4631  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Ξ£csu 15636   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612  pmTrspcpmtr 19350  Ξ›cvma 26832  reprcrepr 33918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-r1 9761  df-rank 9762  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-pmtr 19351  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-vma 26838  df-repr 33919
This theorem is referenced by:  hgt750leme  33968
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