Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lema 31827
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemb.2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
hgt750lema.f 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑑 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
Assertion
Ref Expression
hgt750lema (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑑,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑐,𝑛   𝑛,𝐹   𝑁,𝑎,𝑑,𝑐,𝑛   𝑂,𝑎,𝑐,𝑑,𝑛   𝜑,𝑎,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧,𝑎)   𝐹(𝑧,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750lema
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13330 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
3 hgt750leme.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11943 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 3nn0 11903 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
7 ssidd 3987 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
84, 6, 7reprfi2 31793 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
9 ssrab2 4053 . . . . . 6 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
118, 10ssfid 8729 . . . 4 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
1211adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
13 vmaf 25623 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
1413a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
15 ssidd 3987 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
164nn0zd 12073 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1716ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
185a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
209, 19sseldi 3962 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
2115, 17, 18, 20reprf 31782 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
22 c0ex 10623 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2322tpid1 4696 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
24 fzo0to3tp 13111 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2523, 24eleqtrri 2909 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2625a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
2721, 26ffvelrnd 6844 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2814, 27ffvelrnd 6844 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
29 1ex 10625 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3029tpid2 4698 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
3130, 24eleqtrri 2909 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
3321, 32ffvelrnd 6844 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3414, 33ffvelrnd 6844 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
35 2ex 11702 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3635tpid3 4701 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 24eleqtrri 2909 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
3921, 38ffvelrnd 6844 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
4014, 39ffvelrnd 6844 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
4134, 40remulcld 10659 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
4228, 41remulcld 10659 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
43 vmage0 25625 . . . . 5 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
4427, 43syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
45 vmage0 25625 . . . . . 6 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
4633, 45syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
47 vmage0 25625 . . . . . 6 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
4839, 47syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
4934, 40, 46, 48mulge0d 11205 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
5028, 41, 44, 49mulge0d 11205 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
512, 12, 42, 50fsumiunle 30472 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
52 eqid 2818 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
53 inss2 4203 . . . . . 6 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
54 prmssnn 16008 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
5553, 54sstri 3973 . . . . 5 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
5752, 7, 56, 4, 6reprdifc 31797 . . 3 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) = 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
5857sumeq1d 15046 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 𝑎 ∈ (0..^3){𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59 ssrab2 4053 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
618, 60ssfid 8729 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
6213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
63 ssidd 3987 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
6416adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
655a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
6660sselda 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
6763, 64, 65, 66reprf 31782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
6825a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
6967, 68ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
7062, 69ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
7131a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
7267, 71ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
7362, 72ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
7567, 74ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
7662, 75ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
7773, 76remulcld 10659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
7870, 77remulcld 10659 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
7961, 78fsumrecl 15079 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
8079recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
81 fsumconst 15133 . . . 4 (((0..^3) ∈ Fin ∧ Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
822, 80, 81syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
83 fveq1 6662 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘0) = ((𝐹𝑒)‘0))
8483fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘0)))
85 fveq1 6662 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘1) = ((𝐹𝑒)‘1))
8685fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘1)))
87 fveq1 6662 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (𝑛‘2) = ((𝐹𝑒)‘2))
8887fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐹𝑒) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))
8986, 88oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐹𝑒) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) = ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2))))
9084, 89oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑛 = (𝐹𝑒) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))))
91 3nn 11704 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
9392ralrimivw 3180 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^3)3 ∈ ℕ)
9493r19.21bi 3205 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 3 ∈ ℕ)
9516adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝑁 ∈ ℤ)
96 ssidd 3987 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → ℕ ⊆ ℕ)
97 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
98 fveq1 6662 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
9998eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
10099notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
101100cbvrabv 3489 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
102 fveq1 6662 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑎) = (𝑑𝑎))
103102eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
104103notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
105104cbvrabv 3489 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
106 eqid 2818 . . . . . . 7 if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})) = if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))
107 hgt750lema.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑑 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
10894, 95, 96, 97, 101, 105, 106, 107reprpmtf1o 31796 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → 𝐹:{𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}–1-1-onto→{𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
109 eqidd 2819 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑒))
11078adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
111110recnd 10657 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
11290, 12, 108, 109, 111fsumf1o 15068 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))))
113 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑛))
114113fveq1d 6665 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘0) = ((𝐹𝑛)‘0))
115114fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘0)))
116113fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘1) = ((𝐹𝑛)‘1))
117116fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘1)))
118113fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 → ((𝐹𝑒)‘2) = ((𝐹𝑛)‘2))
119118fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 → (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)) = (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))
120117, 119oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 → ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2))) = ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2))))
121115, 120oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑛 → ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))))
122121cbvsumv 15041 . . . . . 6 Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2))))
123122a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑒)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑒)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑒)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))))
124 ovexd 7180 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (0..^3) ∈ V)
12597adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126124, 125, 26, 106pmtridf1o 30663 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})):(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
127107, 126, 21, 14, 19hgt750lemg 31824 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
128127sumeq2dv 15048 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘((𝐹𝑛)‘0)) · ((Λ‘((𝐹𝑛)‘1)) · (Λ‘((𝐹𝑛)‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
129112, 123, 1283eqtrrd 2858 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^3)) → Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
130129sumeq2dv 15048 . . 3 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
131 hashfzo0 13779 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
1325, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘(0..^3)) = 3
133132a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
134133eqcomd 2824 . . . 4 (𝜑 → 3 = (♯‘(0..^3)))
135 hgt750lemb.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
136135a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)})
137136sumeq1d 15046 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
138134, 137oveq12d 7163 . . 3 (𝜑 → (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = ((♯‘(0..^3)) · Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
13982, 130, 1383eqtr4rd 2864 . 2 (𝜑 → (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑎 ∈ (0..^3)Σ𝑛 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
14051, 58, 1393brtr4d 5089 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  ifcif 4463  {cpr 4559  {ctp 4561   ciun 4910   class class class wbr 5057  cmpt 5137   I cid 5452  cres 5550  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969  ..^cfzo 13021  chash 13678  Σcsu 15030  cdvds 15595  cprime 16003  pmTrspcpmtr 18498  Λcvma 25596  reprcrepr 31778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-dju 9318  df-card 9356  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-prod 15248  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-pmtr 18499  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-vma 25602  df-repr 31779
This theorem is referenced by:  hgt750leme  31828
  Copyright terms: Public domain W3C validator