Theorem rereccli 11597

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
rereccl.2	⊢ 𝐴 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
rereccli	⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ

Proof of Theorem rereccli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rereccl.2	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ 0
2		redivcl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	rerecclzi 11596	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   / cdiv 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490

This theorem is referenced by:  recgt0ii  11738  halfre  12044  fldiv4p1lem1div2  13410  0.999...  15445  ef01bndlem  15745  cos2bnd  15749  sincos2sgn  15755  log2tlbnd  25828  bposlem8  26172  chebbnd1  26353  stoweidlem13  43229  stoweidlem34  43250  stoweidlem59  43275  stoweidlem62  43278  stoweid  43279  stirlinglem11  43300  stirlinglem12  43301  stirlinglem13  43302  sepfsepc  45894