Theorem sincos2sgn 15831

Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos2sgn	⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11977	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 12006	. . . 4 ⊢ 0 < 2
3	1	leidi 11439	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 2
4		0xr 10953	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		elioc2 13071	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
6	4, 1, 5	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1339	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0(,]2)
8		sin02gt0 15829	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 < (sin‘2)
10		cos2bnd 15825	. . . 4 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
11	10	simpri 485	. . 3 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
12		9re 12002	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		9pos 12016	. . . . 5 ⊢ 0 < 9
14	12, 13	recgt0ii 11811	. . . 4 ⊢ 0 < (1 / 9)
15	12, 13	gt0ne0ii 11441	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
16	12, 15	rereccli 11670	. . . . 5 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
17		lt0neg2 11412	. . . . 5 ⊢ ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
19	14, 18	mpbi 229	. . 3 ⊢ -(1 / 9) < 0
20		recoscl 15778	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
22	16	renegcli 11212	. . . 4 ⊢ -(1 / 9) ∈ ℝ
23		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	21, 22, 23	lttri 11031	. . 3 ⊢ (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
25	11, 19, 24	mp2an 688	. 2 ⊢ (cos‘2) < 0
26	9, 25	pm3.2i 470	1 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  7c7 11963  9c9 11965  (,]cioc 13009  sincsin 15701  cosccos 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708

This theorem is referenced by:  sin4lt0  15832  pilem3  25517