MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos2sgn 16171
Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 12317 . . . 4 2 ∈ ℝ
2 2pos 12346 . . . 4 0 < 2
31leidi 11779 . . . 4 2 ≤ 2
4 0xr 11292 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
5 elioc2 13420 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
64, 1, 5mp2an 691 . . . 4 (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
71, 2, 3, 6mpbir3an 1339 . . 3 2 ∈ (0(,]2)
8 sin02gt0 16169 . . 3 (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
97, 8ax-mp 5 . 2 0 < (sin‘2)
10 cos2bnd 16165 . . . 4 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
1110simpri 485 . . 3 (cos‘2) < -(1 / 9)
12 9re 12342 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 9pos 12356 . . . . 5 0 < 9
1412, 13recgt0ii 12151 . . . 4 0 < (1 / 9)
1512, 13gt0ne0ii 11781 . . . . . 6 9 ≠ 0
1612, 15rereccli 12010 . . . . 5 (1 / 9) ∈ ℝ
17 lt0neg2 11752 . . . . 5 ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
1914, 18mpbi 229 . . 3 -(1 / 9) < 0
20 recoscl 16118 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
211, 20ax-mp 5 . . . 4 (cos‘2) ∈ ℝ
2216renegcli 11552 . . . 4 -(1 / 9) ∈ ℝ
23 0re 11247 . . . 4 0 ∈ ℝ
2421, 22, 23lttri 11371 . . 3 (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
2511, 19, 24mp2an 691 . 2 (cos‘2) < 0
269, 25pm3.2i 470 1 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  *cxr 11278   < clt 11279  cle 11280  -cneg 11476   / cdiv 11902  2c2 12298  7c7 12303  9c9 12305  (,]cioc 13358  sincsin 16040  cosccos 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047
This theorem is referenced by:  sin4lt0  16172  pilem3  26403
  Copyright terms: Public domain W3C validator