Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos2sgn 15303
 Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 11432 . . . 4 2 ∈ ℝ
2 2pos 11468 . . . 4 0 < 2
31leidi 10893 . . . 4 2 ≤ 2
4 0xr 10410 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
5 elioc2 12531 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
64, 1, 5mp2an 683 . . . 4 (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
71, 2, 3, 6mpbir3an 1445 . . 3 2 ∈ (0(,]2)
8 sin02gt0 15301 . . 3 (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
97, 8ax-mp 5 . 2 0 < (sin‘2)
10 cos2bnd 15297 . . . 4 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
1110simpri 481 . . 3 (cos‘2) < -(1 / 9)
12 9re 11463 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 9pos 11478 . . . . 5 0 < 9
1412, 13recgt0ii 11266 . . . 4 0 < (1 / 9)
1512, 13gt0ne0ii 10895 . . . . . 6 9 ≠ 0
1612, 15rereccli 11123 . . . . 5 (1 / 9) ∈ ℝ
17 lt0neg2 10866 . . . . 5 ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
1914, 18mpbi 222 . . 3 -(1 / 9) < 0
20 recoscl 15250 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
211, 20ax-mp 5 . . . 4 (cos‘2) ∈ ℝ
2216renegcli 10670 . . . 4 -(1 / 9) ∈ ℝ
23 0re 10365 . . . 4 0 ∈ ℝ
2421, 22, 23lttri 10489 . . 3 (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
2511, 19, 24mp2an 683 . 2 (cos‘2) < 0
269, 25pm3.2i 464 1 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260  ℝ*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  -cneg 10593   / cdiv 11016  2c2 11413  7c7 11418  9c9 11420  (,]cioc 12471  sincsin 15173  cosccos 15174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180 This theorem is referenced by:  sin4lt0  15304  pilem3  24613  pilem3OLD  24614
 Copyright terms: Public domain W3C validator