Theorem elrsp 33994

Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrsp.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrsp.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrsp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖, 𝑎)

Proof of Theorem elrsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 21516	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4		elrsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rlmbas 21495	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	4, 5	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10		elrsp.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21502	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2786	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		elrsp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		rlmlmod 21505	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16		elrsp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16	ellspds 33991	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
18		rlmsca 21500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
19	13, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
20	19	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
21	4, 20	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
22	21	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23		elrsp.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	19	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	23, 24	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	breq2d 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
27	4	fvexi 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29	28, 16	ssexd 5290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
30	29	mptexd 7250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
31	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32		rlmplusg 21496	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
34	30, 13, 15, 31, 33	gsumpropd 18893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))
35	34	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))))
36	26, 35	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
37	22, 36	rexeqbidv 3339	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
38	17, 37	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  Ringcrg 20486  LModclmod 21162  LSpanclspn 21273  ringLModcrglmod 21474  RSpancrsp 21512

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-nzr 20790  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lmhm 21324  df-lbs 21377  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-rsp 21514  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-uvc 22116

This theorem is used by:  elrspunidl  34045  elrspunsn  34046