Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrsp 33365
Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrsp.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1 0 = (0g𝑅)
elrsp.x · = (.r𝑅)
elrsp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i (𝜑𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrsp (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp
StepHypRef Expression
1 elrsp.n . . . 4 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 rspval 21244 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2768 . . 3 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4 elrsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rlmbas 21223 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
64, 5eqtri 2768 . . 3 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7 eqid 2740 . . 3 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8 eqid 2740 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9 eqid 2740 . . 3 (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10 elrsp.x . . . 4 · = (.r𝑅)
11 rlmvsca 21230 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
1210, 11eqtri 2768 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13 elrsp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
14 rlmlmod 21233 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16 elrsp.i . . 3 (𝜑𝐼𝐵)
173, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16ellspds 33361 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
18 rlmsca 21228 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
2019fveq2d 6924 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
214, 20eqtrid 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2221oveq1d 7463 . . 3 (𝜑 → (𝐵m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23 elrsp.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
2419fveq2d 6924 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2523, 24eqtrid 2792 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2625breq2d 5178 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 finSupp 0𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
274fvexi 6934 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ V)
2928, 16ssexd 5342 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
3029mptexd 7261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
315a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32 rlmplusg 21224 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
3430, 13, 15, 31, 33gsumpropd 18716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))
3534eqeq2d 2751 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))))
3626, 35anbi12d 631 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3722, 36rexeqbidv 3355 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3817, 37bitr4d 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  Vcvv 3488  wss 3976   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  m cmap 8884   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  .rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·𝑠 cvsca 17315  0gc0g 17499   Σg cgsu 17500  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  LSpanclspn 20992  ringLModcrglmod 21194  RSpancrsp 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-nzr 20539  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lmhm 21044  df-lbs 21097  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-rsp 21242  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-uvc 21826
This theorem is referenced by:  elrspunidl  33421  elrspunsn  33422
  Copyright terms: Public domain W3C validator