Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrsp 30989
 Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrsp.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1 0 = (0g𝑅)
elrsp.x · = (.r𝑅)
elrsp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i (𝜑𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrsp (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp
StepHypRef Expression
1 elrsp.n . . . 4 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 rspval 19958 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2821 . . 3 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4 elrsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rlmbas 19960 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
64, 5eqtri 2821 . . 3 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7 eqid 2798 . . 3 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8 eqid 2798 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9 eqid 2798 . . 3 (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10 elrsp.x . . . 4 · = (.r𝑅)
11 rlmvsca 19967 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
1210, 11eqtri 2821 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13 elrsp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
14 rlmlmod 19970 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16 elrsp.i . . 3 (𝜑𝐼𝐵)
173, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16ellspds 30984 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
18 rlmsca 19965 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
2019fveq2d 6649 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
214, 20syl5eq 2845 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2221oveq1d 7150 . . 3 (𝜑 → (𝐵m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23 elrsp.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
2419fveq2d 6649 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2523, 24syl5eq 2845 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2625breq2d 5042 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 finSupp 0𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
274fvexi 6659 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ V)
2928, 16ssexd 5192 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
3029mptexd 6964 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
315a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32 rlmplusg 19961 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
3430, 13, 15, 31, 33gsumpropd 17880 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))
3534eqeq2d 2809 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))))
3626, 35anbi12d 633 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3722, 36rexeqbidv 3355 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3817, 37bitr4d 285 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8389   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  ringLModcrglmod 19934  RSpancrsp 19936 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lmhm 19787  df-lbs 19840  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-rsp 19940  df-nzr 20024  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-uvc 20472 This theorem is referenced by:  elrspunidl  31014
 Copyright terms: Public domain W3C validator