Theorem elrsp 33310

Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrsp.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrsp.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrsp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 21212	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2757	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4		elrsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rlmbas 21191	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	4, 5	eqtri 2757	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10		elrsp.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21198	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2757	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		elrsp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		rlmlmod 21201	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16		elrsp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16	ellspds 33306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
18		rlmsca 21196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
20	19	fveq2d 6907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
21	4, 20	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
22	21	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23		elrsp.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	19	fveq2d 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	23, 24	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	breq2d 5166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
27	4	fvexi 6917	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29	28, 16	ssexd 5330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
30	29	mptexd 7243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
31	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32		rlmplusg 21192	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
34	30, 13, 15, 31, 33	gsumpropd 18684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))
35	34	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))))
36	26, 35	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
37	22, 36	rexeqbidv 3340	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
38	17, 37	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ∃wrex 3063  Vcvv 3472   ⊆ wss 3958   class class class wbr 5154   ↦ cmpt 5237  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8859   finSupp cfsupp 9406  Basecbs 17226  +_gcplusg 17279  ._rcmulr 17280  Scalarcsca 17282   ·_𝑠 cvsca 17283  0_gc0g 17467   Σ_g cgsu 17468  Ringcrg 20228  LModclmod 20848  LSpanclspn 20960  ringLModcrglmod 21162  RSpancrsp 21208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4917  df-int 4958  df-iun 5006  df-iin 5007  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7692  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8180  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-1o 8500  df-2o 8501  df-er 8738  df-map 8861  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9407  df-sup 9486  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12529  df-z 12615  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13543  df-fzo 13686  df-seq 14027  df-hash 14354  df-struct 17162  df-sets 17179  df-slot 17197  df-ndx 17209  df-base 17227  df-ress 17256  df-plusg 17292  df-mulr 17293  df-sca 17295  df-vsca 17296  df-ip 17297  df-tset 17298  df-ple 17299  df-ds 17301  df-hom 17303  df-cco 17304  df-0g 17469  df-gsum 17470  df-prds 17475  df-pws 17477  df-mre 17612  df-mrc 17613  df-acs 17615  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18786  df-submnd 18787  df-grp 18944  df-minusg 18945  df-sbg 18946  df-mulg 19076  df-subg 19131  df-ghm 19221  df-cntz 19325  df-cmn 19792  df-abl 19793  df-mgp 20130  df-rng 20148  df-ur 20177  df-ring 20230  df-nzr 20507  df-subrg 20565  df-lmod 20850  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lmhm 21012  df-lbs 21065  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-rsp 21210  df-dsmm 21743  df-frlm 21758  df-uvc 21794

This theorem is referenced by:  elrspunidl  33366  elrspunsn  33367