Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrsp 33400
Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrsp.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1 0 = (0g𝑅)
elrsp.x · = (.r𝑅)
elrsp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i (𝜑𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrsp (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp
StepHypRef Expression
1 elrsp.n . . . 4 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 rspval 21221 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2765 . . 3 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4 elrsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rlmbas 21200 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
64, 5eqtri 2765 . . 3 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7 eqid 2737 . . 3 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9 eqid 2737 . . 3 (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10 elrsp.x . . . 4 · = (.r𝑅)
11 rlmvsca 21207 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
1210, 11eqtri 2765 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13 elrsp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
14 rlmlmod 21210 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16 elrsp.i . . 3 (𝜑𝐼𝐵)
173, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16ellspds 33396 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
18 rlmsca 21205 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
2019fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
214, 20eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2221oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (𝐵m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23 elrsp.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
2419fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2523, 24eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2625breq2d 5155 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 finSupp 0𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
274fvexi 6920 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ V)
2928, 16ssexd 5324 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
3029mptexd 7244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
315a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32 rlmplusg 21201 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
3430, 13, 15, 31, 33gsumpropd 18691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))
3534eqeq2d 2748 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))))
3626, 35anbi12d 632 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3722, 36rexeqbidv 3347 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3817, 37bitr4d 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  ringLModcrglmod 21171  RSpancrsp 21217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-rsp 21219  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803
This theorem is referenced by:  elrspunidl  33456  elrspunsn  33457
  Copyright terms: Public domain W3C validator