Theorem elrsp 33420

Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrsp.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrsp.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrsp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 21198	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4		elrsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rlmbas 21177	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	4, 5	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10		elrsp.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21184	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2758	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		elrsp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		rlmlmod 21187	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16		elrsp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16	ellspds 33416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
18		rlmsca 21182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
20	19	fveq2d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
21	4, 20	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
22	21	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23		elrsp.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	19	fveq2d 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	23, 24	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
27	4	fvexi 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29	28, 16	ssexd 5254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
30	29	mptexd 7168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
31	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32		rlmplusg 21178	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
34	30, 13, 15, 31, 33	gsumpropd 18635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))
35	34	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))))
36	26, 35	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
37	22, 36	rexeqbidv 3310	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
38	17, 37	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762   finSupp cfsupp 9263  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391   Σ_g cgsu 17392  Ringcrg 20203  LModclmod 20844  LSpanclspn 20955  ringLModcrglmod 21156  RSpancrsp 21194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-nzr 20479  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lmhm 21006  df-lbs 21059  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-rsp 21196  df-dsmm 21701  df-frlm 21716  df-uvc 21752

This theorem is referenced by:  elrspunidl  33476  elrspunsn  33477