Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrsp 33098
Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrsp.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
elrsp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
elrsp.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
elrsp.x Β· = (.rβ€˜π‘…)
elrsp.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
elrsp (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜πΌ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))))))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘Ž,𝑖   𝐡,π‘Ž   𝐼,π‘Ž,𝑖   𝑁,π‘Ž   𝑅,π‘Ž,𝑖   𝑋,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,π‘Ž)

Proof of Theorem elrsp
StepHypRef Expression
1 elrsp.n . . . 4 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
2 rspval 21107 . . . 4 (RSpanβ€˜π‘…) = (LSpanβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
31, 2eqtri 2756 . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
4 elrsp.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 rlmbas 21086 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
64, 5eqtri 2756 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
7 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
8 eqid 2728 . . 3 (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)) = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
9 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
10 elrsp.x . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
11 rlmvsca 21093 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜π‘…))
1210, 11eqtri 2756 . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜π‘…))
13 elrsp.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 rlmlmod 21096 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
16 elrsp.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
173, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16ellspds 33093 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜πΌ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) ↑m 𝐼)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) ∧ 𝑋 = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))))))
18 rlmsca 21091 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
2019fveq2d 6901 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))))
214, 20eqtrid 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))))
2221oveq1d 7435 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) ↑m 𝐼))
23 elrsp.1 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
2419fveq2d 6901 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))))
2523, 24eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))))
2625breq2d 5160 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž finSupp 0 ↔ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))))
274fvexi 6911 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
2928, 16ssexd 5324 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
3029mptexd 7236 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖)) ∈ V)
315a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
32 rlmplusg 21087 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
3332a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
3430, 13, 15, 31, 33gsumpropd 18638 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))) = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))))
3534eqeq2d 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖)))))
3626, 35anbi12d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖)))) ↔ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) ∧ 𝑋 = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))))))
3722, 36rexeqbidv 3340 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖)))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) ↑m 𝐼)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))) ∧ 𝑋 = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))))))
3817, 37bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜πΌ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘–) Β· 𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845   finSupp cfsupp 9386  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421   Ξ£g cgsu 17422  Ringcrg 20173  LModclmod 20743  LSpanclspn 20855  ringLModcrglmod 21057  RSpancrsp 21103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-nzr 20452  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lmhm 20907  df-lbs 20960  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-rsp 21105  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-uvc 21717
This theorem is referenced by:  elrspunidl  33157  elrspunsn  33158
  Copyright terms: Public domain W3C validator