Theorem elrsp 31569

Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrsp.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrsp.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrsp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 20463	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4		elrsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rlmbas 20465	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	4, 5	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10		elrsp.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 20472	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2766	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		elrsp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		rlmlmod 20475	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16		elrsp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16	ellspds 31564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
18		rlmsca 20470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
19	13, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
20	19	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
21	4, 20	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
22	21	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23		elrsp.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	19	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	23, 24	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
27	4	fvexi 6788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29	28, 16	ssexd 5248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
30	29	mptexd 7100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
31	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32		rlmplusg 20466	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
34	30, 13, 15, 31, 33	gsumpropd 18362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))
35	34	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))))
36	26, 35	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
37	22, 36	rexeqbidv 3337	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
38	17, 37	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  ringLModcrglmod 20431  RSpancrsp 20433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lbs 20337  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-rsp 20437  df-nzr 20529  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-uvc 20990

This theorem is referenced by:  elrspunidl  31606