Theorem elrsp 33793

Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrsp.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrsp.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrsp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖, 𝑎)

Proof of Theorem elrsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2		rspval 21399	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4		elrsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rlmbas 21378	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6	4, 5	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10		elrsp.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rlmvsca 21385	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12	10, 11	eqtri 2785	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13		elrsp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		rlmlmod 21388	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16		elrsp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16	ellspds 33790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
18		rlmsca 21383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
19	13, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
20	19	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
21	4, 20	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
22	21	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23		elrsp.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	19	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	23, 24	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
27	4	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29	28, 16	ssexd 5293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
30	29	mptexd 7226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
31	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32		rlmplusg 21379	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
34	30, 13, 15, 31, 33	gsumpropd 18782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))
35	34	eqeq2d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))))
36	26, 35	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
37	22, 36	rexeqbidv 3337	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))
38	17, 37	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑖) · 𝑖))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  LSpanclspn 21156  ringLModcrglmod 21357  RSpancrsp 21395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-nzr 20674  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lmhm 21207  df-lbs 21260  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-rsp 21397  df-dsmm 21946  df-frlm 21961  df-uvc 21997

This theorem is used by:  elrspunidl  33843  elrspunsn  33844