Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrsp 33380
Description: Write the elements of a ring span as finite linear combinations. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrsp.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrsp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrsp.1 0 = (0g𝑅)
elrsp.x · = (.r𝑅)
elrsp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrsp.i (𝜑𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrsp (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Distinct variable groups:   · ,𝑎,𝑖   𝐵,𝑎   𝐼,𝑎,𝑖   𝑁,𝑎   𝑅,𝑎,𝑖   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖,𝑎)

Proof of Theorem elrsp
StepHypRef Expression
1 elrsp.n . . . 4 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 rspval 21239 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2763 . . 3 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4 elrsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rlmbas 21218 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
64, 5eqtri 2763 . . 3 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7 eqid 2735 . . 3 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8 eqid 2735 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
9 eqid 2735 . . 3 (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
10 elrsp.x . . . 4 · = (.r𝑅)
11 rlmvsca 21225 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
1210, 11eqtri 2763 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13 elrsp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
14 rlmlmod 21228 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
16 elrsp.i . . 3 (𝜑𝐼𝐵)
173, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16ellspds 33376 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
18 rlmsca 21223 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
2019fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
214, 20eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2221oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (𝐵m 𝐼) = ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼))
23 elrsp.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
2419fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2523, 24eqtrid 2787 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2625breq2d 5160 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 finSupp 0𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
274fvexi 6921 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ V)
2928, 16ssexd 5330 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
3029mptexd 7244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)) ∈ V)
315a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
32 rlmplusg 21219 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
3430, 13, 15, 31, 33gsumpropd 18704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))
3534eqeq2d 2746 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))) ↔ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))))
3626, 35anbi12d 632 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3722, 36rexeqbidv 3345 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖)))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ↑m 𝐼)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑋 = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
3817, 37bitr4d 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁𝐼) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝐼)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑎𝑖) · 𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  ringLModcrglmod 21189  RSpancrsp 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-rsp 21237  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821
This theorem is referenced by:  elrspunidl  33436  elrspunsn  33437
  Copyright terms: Public domain W3C validator