Theorem rsp0 21127

Description: The span of the zero element is the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsp0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Proof of Theorem rsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21089	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rsp0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		rlm0 21081	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
5		rspcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6		rspval 21100	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
7	5, 6	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
8	4, 7	lspsn0 20885	. 2 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
9	1, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624  ‘cfv 6542  0_gc0g 17414  Ringcrg 20166  LModclmod 20736  LSpanclspn 20848  ringLModcrglmod 21050  RSpancrsp 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-rsp 21098

This theorem is referenced by:  lpi0  21209  pidlnzb  33131