Theorem rspsnel 32472

Description: Membership in a principal ideal. Analogous to lspsnel 20606. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspsnel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsnel.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
rspsnel.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspsnel	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Proof of Theorem rspsnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 20819	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		rspsnel.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2843	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
5		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7		rlmbas 20809	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		rspsnel.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		rlmvsca 20816	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
11		rspsnel.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
12		rspval 20807	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	5, 6, 7, 10, 13	lspsnel 20606	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
15	1, 4, 14	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
16		rlmsca 20814	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
19	3, 18	eqtr2id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = 𝐵)
20	19	rexeqdv 3326	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
21	15, 20	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  ringLModcrglmod 20774  RSpancrsp 20776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-rsp 20780

This theorem is referenced by:  dvdsrspss  32479  lsmsnpridl  32496  unitpidl1  32530  drngidl  32539  isprmidlc  32554  mxidlirredi  32575  mxidlirred  32576