Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlmdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlmdim 33660
Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) Generalize to division rings. (Revised by SN, 22-Mar-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
rlmdim.1 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
rlmdim (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rlmdim
StepHypRef Expression
1 rlmdim.1 . . . 4 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
2 rlmlvec 21211 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝐹) ∈ LVec)
31, 2eqeltrid 2845 . . 3 (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ LVec)
4 ssid 4006 . . . . . . . 8 (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)
5 rlmval 21198 . . . . . . . . . 10 (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
61, 5eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
7 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
86, 7sradrng 33633 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
94, 8mpan2 691 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ DivRing)
109drngringd 20737 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ Ring)
11 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝑉) = (1r𝑉)
1311, 12ringidcl 20262 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Ring → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
1410, 13syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑉) = (0g𝑉)
1615, 12drngunz 20747 . . . . . 6 (𝑉 ∈ DivRing → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
179, 16syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
1811, 15lindssn 33406 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r𝑉) ≠ (0g𝑉)) → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
193, 14, 17, 18syl3anc 1373 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
20 drngring 20736 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
211fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
22 rspval 21221 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
2321, 22eqtr4i 2768 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑉) = (RSpan‘𝐹)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
2523, 7, 24rsp1 21247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
2620, 25syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
276a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
28 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) = (1r𝐹))
29 ssidd 4007 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
3027, 28, 29sra1r 33632 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) = (1r𝑉))
3130sneqd 4638 . . . . . 6 (𝐹 ∈ DivRing → {(1r𝐹)} = {(1r𝑉)})
3231fveq2d 6910 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}))
3327, 29srabase 21177 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
3426, 32, 333eqtr3d 2785 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉))
35 eqid 2737 . . . . 5 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
36 eqid 2737 . . . . 5 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
3711, 35, 36islbs4 21852 . . . 4 ({(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
3819, 34, 37sylanbrc 583 . . 3 (𝐹 ∈ DivRing → {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
3935dimval 33651 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
403, 38, 39syl2anc 584 . 2 (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
41 fvex 6919 . . 3 (1r𝑉) ∈ V
42 hashsng 14408 . . 3 ((1r𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r𝑉)}) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . 2 (♯‘{(1r𝑉)}) = 1
4440, 43eqtrdi 2793 1 (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  1c1 11156  chash 14369  Basecbs 17247  0gc0g 17484  1rcur 20178  Ringcrg 20230  DivRingcdr 20729  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  subringAlg csra 21170  ringLModcrglmod 21171  RSpancrsp 21217  LIndSclinds 21825  dimcldim 33649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-dim 33650
This theorem is referenced by:  extdgid  33711
  Copyright terms: Public domain W3C validator