Theorem rlmdim 33643

Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) Generalize to division rings. (Revised by SN, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlmdim	⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rlmdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmdim.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
2		rlmlvec 21140	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝐹) ∈ LVec)
3	1, 2	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ LVec)
4		ssid 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)
5		rlmval 21127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
6	1, 5	eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
7		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	sradrng 33615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
9	4, 8	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ DivRing)
10	9	drngringd 20654	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ Ring)
11		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
13	11, 12	ringidcl 20185	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
15		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
16	15, 12	drngunz 20664	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
17	9, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
18	11, 15	lindssn 33350	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
20		drngring 20653	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
21	1	fveq2i 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
22		rspval 21150	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
23	21, 22	eqtr4i 2759	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (RSpan‘𝐹)
24		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	23, 7, 24	rsp1 21176	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
27	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
28		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
29		ssidd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
30	27, 28, 29	sra1r 33614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
31	30	sneqd 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
32	31	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
33	27, 29	srabase 21113	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
34	26, 32, 33	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
35		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
36		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
37	11, 35, 36	islbs4 21771	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
38	19, 34, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
39	35	dimval 33634	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
40	3, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
41		fvex 6841	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
42		hashsng 14278	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2784	1 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4575  ‘cfv 6486  1c1 11014  ♯chash 14239  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  DivRingcdr 20646  LSpanclspn 20906  LBasisclbs 21010  LVecclvec 21038  subringAlg csra 21107  ringLModcrglmod 21108  RSpancrsp 21146  LIndSclinds 21744  dimcldim 33632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-oi 9403  df-r1 9664  df-rank 9665  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ocomp 17184  df-0g 17347  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-mri 17492  df-acs 17493  df-proset 18202  df-drs 18203  df-poset 18221  df-ipo 18436  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-subrg 20487  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lbs 21011  df-lvec 21039  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-rsp 21148  df-lindf 21745  df-linds 21746  df-dim 33633

This theorem is referenced by:  extdgid  33694