Theorem rlmdim 33202

Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) Generalize to division rings. (Revised by SN, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlmdim	⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rlmdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmdim.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
2		rlmlvec 21056	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝐹) ∈ LVec)
3	1, 2	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ LVec)
4		ssid 3997	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)
5		rlmval 21043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
6	1, 5	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
7		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	sradrng 33178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
9	4, 8	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ DivRing)
10	9	drngringd 20591	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ Ring)
11		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
13	11, 12	ringidcl 20161	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
15		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
16	15, 12	drngunz 20602	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
17	9, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
18	11, 15	lindssn 32990	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
20		drngring 20590	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
21	1	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
22		rspval 21066	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
23	21, 22	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (RSpan‘𝐹)
24		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	23, 7, 24	rsp1 21092	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
27	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
28		eqidd 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
29		ssidd 3998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
30	27, 28, 29	sra1r 33177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
31	30	sneqd 4633	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
32	31	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
33	27, 29	srabase 21022	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
34	26, 32, 33	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
35		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
36		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
37	11, 35, 36	islbs4 21716	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
38	19, 34, 37	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
39	35	dimval 33193	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
40	3, 38, 39	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
41		fvex 6895	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
42		hashsng 14330	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941  {csn 4621  ‘cfv 6534  1c1 11108  ♯chash 14291  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  DivRingcdr 20583  LSpanclspn 20814  LBasisclbs 20918  LVecclvec 20946  subringAlg csra 21015  ringLModcrglmod 21016  RSpancrsp 21062  LIndSclinds 21689  dimcldim 33191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-mri 17537  df-acs 17538  df-proset 18256  df-drs 18257  df-poset 18274  df-ipo 18489  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lbs 20919  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-rsp 21064  df-lindf 21690  df-linds 21691  df-dim 33192

This theorem is referenced by:  extdgid  33247