Theorem rlmdim 34224

Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) Generalize to division rings. (Revised by SN, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlmdim	⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rlmdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmdim.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
2		rlmlvec 21459	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝐹) ∈ LVec)
3	1, 2	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ LVec)
4		ssid 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)
5		rlmval 21446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
6	1, 5	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
7		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	sradrng 34196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
9	4, 8	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ DivRing)
10	9	drngringd 20968	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ Ring)
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
13	11, 12	ringidcl 20474	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
14	10, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
16	15, 12	drngunz 20981	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
17	9, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
18	11, 15	lindssn 33915	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
20		drngring 20967	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
21	1	fveq2i 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
22		rspval 21469	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
23	21, 22	eqtr4i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (RSpan‘𝐹)
24		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	23, 7, 24	rsp1 21500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
26	20, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
27	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
28		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
29		ssidd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
30	27, 28, 29	sra1r 34195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
31	30	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
32	31	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
33	27, 29	srabase 21432	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
34	26, 32, 33	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
35		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
36		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
37	11, 35, 36	islbs4 22118	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
38	19, 34, 37	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
39	35	dimval 34215	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
40	3, 38, 39	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
41		fvex 6890	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
42		hashsng 14493	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  1c1 11182  ♯chash 14454  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  DivRingcdr 20960  LSpanclspn 21226  LBasisclbs 21329  LVecclvec 21357  subringAlg csra 21426  ringLModcrglmod 21427  RSpancrsp 21465  LIndSclinds 22091  dimcldim 34213

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-reg 9570  ax-inf2 9626  ax-ac2 10522  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9488  df-r1 9752  df-rank 9753  df-scott 9910  df-card 10001  df-acn 10004  df-ac 10176  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ocomp 17429  df-0g 17592  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-mri 17738  df-acs 17739  df-proset 18448  df-drs 18449  df-poset 18467  df-ipo 18682  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lbs 21330  df-lvec 21358  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-lindf 22092  df-linds 22093  df-dim 34214

This theorem is used by:  extdgid  34274