Theorem rlmdim 34325

Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) Generalize to division rings. (Revised by SN, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlmdim	⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rlmdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmdim.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
2		rlmlvec 21512	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝐹) ∈ LVec)
3	1, 2	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ LVec)
4		ssid 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)
5		rlmval 21499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
6	1, 5	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
7		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	sradrng 34297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
9	4, 8	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ DivRing)
10	9	drngringd 21021	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ Ring)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
13	11, 12	ringidcl 20527	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
14	10, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
16	15, 12	drngunz 21034	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
17	9, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
18	11, 15	lindssn 34017	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
20		drngring 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
21	1	fveq2i 6914	. . . . . . . 8 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
22		rspval 21522	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
23	21, 22	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (RSpan‘𝐹)
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	23, 7, 24	rsp1 21553	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
26	20, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
27	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
28		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
29		ssidd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
30	27, 28, 29	sra1r 34296	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
31	30	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
32	31	fveq2d 6915	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
33	27, 29	srabase 21485	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
34	26, 32, 33	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
35		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
36		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
37	11, 35, 36	islbs4 22171	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
38	19, 34, 37	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
39	35	dimval 34316	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
40	3, 38, 39	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
41		fvex 6924	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
42		hashsng 14543	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6561  1c1 11231  ♯chash 14504  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  DivRingcdr 21013  LSpanclspn 21279  LBasisclbs 21382  LVecclvec 21410  subringAlg csra 21479  ringLModcrglmod 21480  RSpancrsp 21518  LIndSclinds 22144  dimcldim 34314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-ac2 10571  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-oi 9534  df-card 10050  df-acn 10053  df-ac 10225  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ocomp 17481  df-0g 17644  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-mri 17790  df-acs 17791  df-proset 18500  df-drs 18501  df-poset 18519  df-ipo 18734  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lbs 21383  df-lvec 21411  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520  df-lindf 22145  df-linds 22146  df-dim 34315

This theorem is used by:  extdgid  34375