Theorem rlmdim 33581

Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) Generalize to division rings. (Revised by SN, 22-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlmdim	⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rlmdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmdim.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
2		rlmlvec 21126	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝐹) ∈ LVec)
3	1, 2	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ LVec)
4		ssid 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)
5		rlmval 21113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
6	1, 5	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
7		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	sradrng 33554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
9	4, 8	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ DivRing)
10	9	drngringd 20640	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 ∈ Ring)
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
13	11, 12	ringidcl 20168	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
16	15, 12	drngunz 20650	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
17	9, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
18	11, 15	lindssn 33325	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
20		drngring 20639	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
21	1	fveq2i 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
22		rspval 21136	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
23	21, 22	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (RSpan‘𝐹)
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	23, 7, 24	rsp1 21162	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
27	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
28		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
29		ssidd 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
30	27, 28, 29	sra1r 33553	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
31	30	sneqd 4591	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
32	31	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
33	27, 29	srabase 21099	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
34	26, 32, 33	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
35		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
37	11, 35, 36	islbs4 21757	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
38	19, 34, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
39	35	dimval 33572	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
40	3, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
41		fvex 6839	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
42		hashsng 14294	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
43	41, 42	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
44	40, 43	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (dim‘𝑉) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  1c1 11029  ♯chash 14255  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  DivRingcdr 20632  LSpanclspn 20892  LBasisclbs 20996  LVecclvec 21024  subringAlg csra 21093  ringLModcrglmod 21094  RSpancrsp 21132  LIndSclinds 21730  dimcldim 33570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9421  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-mri 17508  df-acs 17509  df-proset 18218  df-drs 18219  df-poset 18237  df-ipo 18452  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lbs 20997  df-lvec 21025  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-lindf 21731  df-linds 21732  df-dim 33571

This theorem is referenced by:  extdgid  33632