Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigardiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigardiv 42995
Description: If signed area between vectors 𝐵𝐴 and 𝐶𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = 0)
Assertion
Ref Expression
sigardiv (𝜑 → ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv
StepHypRef Expression
1 sigardiv.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp2d 1135 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42, 3subcld 10985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
51simp3d 1136 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
65, 3subcld 10985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
7 sigardiv.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
87neqned 3020 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
95, 3, 8subne0d 10994 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐴) ≠ 0)
104, 6, 9cjdivd 14570 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝐴)) / (∗‘(𝐶𝐴))))
114cjcld 14543 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
126cjcld 14543 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
136, 9cjne0d 14550 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐶𝐴)) ≠ 0)
1411, 12, 6, 13, 9divcan5rd 11431 . . . . . 6 (𝜑 → (((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) / ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝐴)) / (∗‘(𝐶𝐴))))
1511, 6mulcld 10649 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
16 sigar . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1716sigarval 42984 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴))))
184, 6, 17syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴))))
19 sigardiv.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = 0)
2018, 19eqtr3d 2855 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴))) = 0)
2115, 20reim0bd 14547 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
226, 12mulcomd 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐴) · (∗‘(𝐶𝐴))) = ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)))
236cjmulrcld 14553 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐴) · (∗‘(𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2422, 23eqeltrrd 2911 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
2512, 6, 13, 9mulne0d 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) ≠ 0)
2621, 24, 25redivcld 11456 . . . . . 6 (𝜑 → (((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) / ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2714, 26eqeltrrd 2911 . . . . 5 (𝜑 → ((∗‘(𝐵𝐴)) / (∗‘(𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2810, 27eqeltrd 2910 . . . 4 (𝜑 → (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2928cjred 14573 . . 3 (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))) = (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))))
304, 6, 9divcld 11404 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
3130cjcjd 14546 . . 3 (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))) = ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))
3229, 31eqtr3d 2855 . 2 (𝜑 → (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))) = ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))
3332, 28eqeltrrd 2911 1 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  ccj 14443  cim 14445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448
This theorem is referenced by:  sigarcol  42998  sharhght  42999
  Copyright terms: Public domain W3C validator