Theorem sigardiv 45876

Description: If signed area between vectors 𝐵 − 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigardiv	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigardiv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5, 3	subcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7		sigardiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
8	7	neqned 2946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	5, 3, 8	subne0d 11585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
10	4, 6, 9	cjdivd 15175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
11	4	cjcld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6	cjcld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 9	cjne0d 15155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
14	11, 12, 6, 13, 9	divcan5rd 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
15	11, 6	mulcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
16		sigar	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
17	16	sigarval 45865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
18	4, 6, 17	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
19		sigardiv.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)
20	18, 19	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
21	15, 20	reim0bd 15152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
22	6, 12	mulcomd 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
23	6	cjmulrcld 15158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
25	12, 6, 13, 9	mulne0d 11871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
26	21, 24, 25	redivcld 12047	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
27	14, 26	eqeltrrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	10, 27	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29	28	cjred 15178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))))
30	4, 6, 9	divcld 11995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
31	30	cjcjd 15151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
32	29, 31	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
33	32, 28	eqeltrrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113   · cmul 11118   − cmin 11449   / cdiv 11876  ∗ccj 15048  ℑcim 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053

This theorem is referenced by:  sigarcol  45879  sharhght  45880