Theorem sigardiv 44343

Description: If signed area between vectors 𝐵 − 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigardiv	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigardiv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5, 3	subcld 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7		sigardiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
8	7	neqned 2952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	5, 3, 8	subne0d 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
10	4, 6, 9	cjdivd 14930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
11	4	cjcld 14903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6	cjcld 14903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 9	cjne0d 14910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
14	11, 12, 6, 13, 9	divcan5rd 11776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
15	11, 6	mulcld 10994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
16		sigar	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
17	16	sigarval 44332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
18	4, 6, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
19		sigardiv.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)
20	18, 19	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
21	15, 20	reim0bd 14907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
22	6, 12	mulcomd 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
23	6	cjmulrcld 14913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
25	12, 6, 13, 9	mulne0d 11625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
26	21, 24, 25	redivcld 11801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
27	14, 26	eqeltrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	10, 27	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29	28	cjred 14933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))))
30	4, 6, 9	divcld 11749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
31	30	cjcjd 14906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
32	29, 31	eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
33	32, 28	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269   ∈ cmpo 7271  ℂcc 10868  ℝcr 10869  0cc0 10870   · cmul 10875   − cmin 11203   / cdiv 11630  ∗ccj 14803  ℑcim 14805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-2 12034  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808

This theorem is referenced by:  sigarcol  44346  sharhght  44347