Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigardiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigardiv 41959
Description: If signed area between vectors 𝐵𝐴 and 𝐶𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = 0)
Assertion
Ref Expression
sigardiv (𝜑 → ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv
StepHypRef Expression
1 sigardiv.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp2d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31simp1d 1133 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42, 3subcld 10734 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
51simp3d 1135 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
65, 3subcld 10734 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
7 sigardiv.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
87neqned 2975 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
95, 3, 8subne0d 10743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐴) ≠ 0)
104, 6, 9cjdivd 14370 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝐴)) / (∗‘(𝐶𝐴))))
114cjcld 14343 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
126cjcld 14343 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
136, 9cjne0d 14350 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗‘(𝐶𝐴)) ≠ 0)
1411, 12, 6, 13, 9divcan5rd 11178 . . . . . 6 (𝜑 → (((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) / ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝐴)) / (∗‘(𝐶𝐴))))
1511, 6mulcld 10397 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
16 sigar . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1716sigarval 41948 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴))))
184, 6, 17syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴))))
19 sigardiv.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = 0)
2018, 19eqtr3d 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴))) = 0)
2115, 20reim0bd 14347 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
226, 12mulcomd 10398 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐴) · (∗‘(𝐶𝐴))) = ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)))
236cjmulrcld 14353 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶𝐴) · (∗‘(𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2422, 23eqeltrrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
2512, 6, 13, 9mulne0d 11027 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) ≠ 0)
2621, 24, 25redivcld 11203 . . . . . 6 (𝜑 → (((∗‘(𝐵𝐴)) · (𝐶𝐴)) / ((∗‘(𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2714, 26eqeltrrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → ((∗‘(𝐵𝐴)) / (∗‘(𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2810, 27eqeltrd 2858 . . . 4 (𝜑 → (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))) ∈ ℝ)
2928cjred 14373 . . 3 (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))) = (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))))
304, 6, 9divcld 11151 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
3130cjcjd 14346 . . 3 (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))) = ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))
3229, 31eqtr3d 2815 . 2 (𝜑 → (∗‘((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴))) = ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)))
3332, 28eqeltrrd 2859 1 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / (𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272   · cmul 10277  cmin 10606   / cdiv 11032  ccj 14243  cim 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248
This theorem is referenced by:  sigarcol  41962  sharhght  41963
  Copyright terms: Public domain W3C validator