Theorem sigardiv 43475

Description: If signed area between vectors 𝐵 − 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigardiv	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigardiv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1	simp3d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5, 3	subcld 10986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7		sigardiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
8	7	neqned 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	5, 3, 8	subne0d 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
10	4, 6, 9	cjdivd 14574	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
11	4	cjcld 14547	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6	cjcld 14547	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 9	cjne0d 14554	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
14	11, 12, 6, 13, 9	divcan5rd 11432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
15	11, 6	mulcld 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
16		sigar	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
17	16	sigarval 43464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
18	4, 6, 17	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
19		sigardiv.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)
20	18, 19	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
21	15, 20	reim0bd 14551	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
22	6, 12	mulcomd 10651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
23	6	cjmulrcld 14557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrrd 2891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
25	12, 6, 13, 9	mulne0d 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
26	21, 24, 25	redivcld 11457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
27	14, 26	eqeltrrd 2891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	10, 27	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29	28	cjred 14577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))))
30	4, 6, 9	divcld 11405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
31	30	cjcjd 14550	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
32	29, 31	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
33	32, 28	eqeltrrd 2891	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  ∗ccj 14447  ℑcim 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452

This theorem is referenced by:  sigarcol  43478  sharhght  43479