Theorem sigardiv 47575

Description: If signed area between vectors 𝐵 − 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigardiv	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigardiv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5, 3	subcld 11564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7		sigardiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
8	7	neqned 2965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	5, 3, 8	subne0d 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
10	4, 6, 9	cjdivd 15270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
11	4	cjcld 15243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6	cjcld 15243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 9	cjne0d 15250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
14	11, 12, 6, 13, 9	divcan5rd 12013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
15	11, 6	mulcld 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
16		sigar	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
17	16	sigarval 47564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
18	4, 6, 17	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
19		sigardiv.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)
20	18, 19	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
21	15, 20	reim0bd 15247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
22	6, 12	mulcomd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
23	6	cjmulrcld 15253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
25	12, 6, 13, 9	mulne0d 11861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
26	21, 24, 25	redivcld 12038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
27	14, 26	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	10, 27	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29	28	cjred 15273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))))
30	4, 6, 9	divcld 11986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
31	30	cjcjd 15246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
32	29, 31	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
33	32, 28	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095   · cmul 11100   − cmin 11436   / cdiv 11866  ∗ccj 15143  ℑcim 15145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148

This theorem is referenced by:  sigarcol  47578  sharhght  47579