Theorem stoweidlem24 46039

Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9	⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
5	1, 4	resubcld 11691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
12	11	reqabi 3460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)))
13	12	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ 𝑇)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑡 ∈ 𝑇)
15	10, 14	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ)
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	16, 18	reexpcld 14203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
20	1, 19	resubcld 11691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
21	15, 18	reexpcld 14203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
22	1, 21	resubcld 11691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
23	6, 17	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25		nn0expcl 14116	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	reexpcld 14203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28		1red 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	7, 30	remulcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
33	32, 17	reexpcld 14203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
34	28, 33	resubcld 11691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
38	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
39	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
40	6	nn0ge0d 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
41	7, 40	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
44	43	r19.21bi 3251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
45	44	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
46	13, 45	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
47		mulge0 11781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
49	30	rehalfcld 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
51	12	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
53	15, 50, 52	ltled 11409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54		lemul2a 12122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
56	6	nn0cnd 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	29	rpcnd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
59	58	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60		2cnne0 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62		divass 11940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
64	55, 63	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65		leexp1a 14215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 11880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 11421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
69	15	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℂ)
70	57, 69, 18	mulexpd 14201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)))
71	70	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁))
72	71	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
73	13, 44	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
74	73	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
75		exple1 14216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77		stoweidlem10 46025	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
79	72, 78	eqbrtrrd 5167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 11421	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81		stoweidlem24.2	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 46027	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
83	13, 82	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
84	80, 83	breqtrrd 5171	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46060