Theorem stoweidlem24 46917

Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9	⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
5	1, 4	resubcld 11691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
12	11	reqabi 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)))
13	12	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ 𝑇)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑡 ∈ 𝑇)
15	10, 14	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 11288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ)
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	16, 18	reexpcld 14252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
20	1, 19	resubcld 11691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
21	15, 18	reexpcld 14252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
22	1, 21	resubcld 11691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
23	6, 17	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25		nn0expcl 14164	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	reexpcld 14252	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28		1red 11258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	7, 30	remulcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
33	32, 17	reexpcld 14252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
34	28, 33	resubcld 11691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
38	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
39	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
40	6	nn0ge0d 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
41	7, 40	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
42	41	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
44	43	r19.21bi 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
45	44	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
46	13, 45	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
47		mulge0 11781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
49	30	rehalfcld 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
50	49	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
51	12	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
52	51	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
53	15, 50, 52	ltled 11407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54		lemul2a 12119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
56	6	nn0cnd 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	29	rpcnd 13113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60		2cnne0 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62		divass 11939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
64	55, 63	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65		leexp1a 14264	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 11880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 11419	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
69	15	recnd 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℂ)
70	57, 69, 18	mulexpd 14250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)))
71	70	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁))
72	71	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
73	13, 44	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
74	73	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
75		exple1 14266	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77		stoweidlem10 46903	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
79	72, 78	eqbrtrrd 5129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 11419	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81		stoweidlem24.2	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 46905	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
83	13, 82	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
84	80, 83	breqtrrd 5133	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11490   / cdiv 11920  2c2 12344  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13067  ↑cexp 14150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151

This theorem is used by:  stoweidlem45  46938