Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem24 46039
Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1 𝑉 = {𝑡𝑇 ∣ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem24.3 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9 (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄𝑡))
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 11262 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 13077 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 11691 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
76nn0red 12588 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10 𝑉 = {𝑡𝑇 ∣ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)}
1211reqabi 3460 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑉 ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2)))
1312simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑡𝑉𝑡𝑇)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑡𝑇)
1510, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
168, 15remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ∈ ℝ)
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1916, 18reexpcld 14203 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
201, 19resubcld 11691 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
2115, 18reexpcld 14203 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
221, 21resubcld 11691 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
236, 17jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
25 nn0expcl 14116 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26reexpcld 14203 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
28 1red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpred 13077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
317, 30remulcld 11291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 12513 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
3332, 17reexpcld 14203 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3428, 33resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem24.9 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3736adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3833adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3932adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
406nn0ge0d 12590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
417, 40jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
4443r19.21bi 3251 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
4544simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
4613, 45sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
47 mulge0 11781 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)))
4842, 15, 46, 47syl12anc 837 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)))
4930rehalfcld 12513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5112simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑉 → (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2))
5251adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) < (𝐷 / 2))
5315, 50, 52ltled 11409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54 lemul2a 12122 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
566nn0cnd 12589 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5756adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
5829rpcnd 13079 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60 2cnne0 12476 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62 divass 11940 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
6455, 63breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65 leexp1a 14215 . . . . . 6 ((((𝐾 · (𝑃𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1380 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
6719, 38, 1, 66lesub2dd 11880 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 11421 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
6915recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ∈ ℂ)
7057, 69, 18mulexpd 14201 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁) = ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁)))
7170eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁))
7271oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)))
7313, 44sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑉) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
7473simprd 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑃𝑡) ≤ 1)
75 exple1 14216 . . . . . 6 ((((𝑃𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1375 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77 stoweidlem10 46025 . . . . 5 ((((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
7821, 26, 76, 77syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾𝑁) · ((𝑃𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
7972, 78eqbrtrrd 5167 . . 3 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 11421 . 2 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
81 stoweidlem24.2 . . . 4 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 46027 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8313, 82sylan2 593 . 2 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
8480, 83breqtrrd 5171 1 ((𝜑𝑡𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  +crp 13034  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46060
  Copyright terms: Public domain W3C validator