Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem24 44740
Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑑 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent π‘˜, 𝐷 to represent Ξ΄, and 𝐸 to represent Ξ΅. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem24.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
stoweidlem24.5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
stoweidlem24.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘„β€˜π‘‘))
Distinct variable group:   𝑑,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝐸(𝑑)   𝐾(𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 11215 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 13016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 11642 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
76nn0red 12533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
1211reqabi 3455 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝑉 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
1312simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
1413adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
1510, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
168, 15remulcld 11244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1817adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1916, 18reexpcld 14128 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) ∈ ℝ)
201, 19resubcld 11642 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)) ∈ ℝ)
2115, 18reexpcld 14128 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ)
221, 21resubcld 11642 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ ℝ)
236, 17jca 513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
2423adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
25 nn0expcl 14041 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑𝑁) ∈ β„•0)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾↑𝑁) ∈ β„•0)
2722, 26reexpcld 14128 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28 1red 11215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpred 13016 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
317, 30remulcld 11244 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐷) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 12459 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
3332, 17reexpcld 14128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3428, 33resubcld 11642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3534adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem24.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3736adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3833adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3932adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
406nn0ge0d 12535 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐾)
417, 40jca 513 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾))
4241adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾))
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
4443r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
4544simpld 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
4613, 45sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
47 mulge0 11732 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾) ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))) β†’ 0 ≀ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4842, 15, 46, 47syl12anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4930rehalfcld 12459 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5049adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5112simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2))
5251adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2))
5315, 50, 52ltled 11362 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ (𝐷 / 2))
54 lemul2a 12069 . . . . . . . 8 ((((π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ (𝐷 / 2)) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
566nn0cnd 12534 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5756adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5829rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5958adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
60 2cnne0 12422 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
62 divass 11890 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) = (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) = (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
6455, 63breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2))
65 leexp1a 14140 . . . . . 6 ((((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ∧ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2))) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) ≀ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁))
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1379 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) ≀ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁))
6719, 38, 1, 66lesub2dd 11831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≀ (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)))
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 11374 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)))
6915recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7057, 69, 18mulexpd 14126 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
7170eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁))
7271oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) = (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)))
7313, 44sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
7473simprd 497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1)
75 exple1 14141 . . . . . 6 ((((π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ≀ 1)
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ≀ 1)
77 stoweidlem10 44726 . . . . 5 ((((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ≀ 1) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
7821, 26, 76, 77syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
7972, 78eqbrtrrd 5173 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 11374 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81 stoweidlem24.2 . . . 4 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 44728 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘„β€˜π‘‘) = ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
8313, 82sylan2 594 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘„β€˜π‘‘) = ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
8480, 83breqtrrd 5177 1 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘„β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  β†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  44761
  Copyright terms: Public domain W3C validator