Theorem stoweidlem24 46452

Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9	⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
5	1, 4	resubcld 11578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
12	11	reqabi 3412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)))
13	12	simplbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ 𝑇)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑡 ∈ 𝑇)
15	10, 14	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ)
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	16, 18	reexpcld 14125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
20	1, 19	resubcld 11578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
21	15, 18	reexpcld 14125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
22	1, 21	resubcld 11578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
23	6, 17	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25		nn0expcl 14037	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	reexpcld 14125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28		1red 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	7, 30	remulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
33	32, 17	reexpcld 14125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
34	28, 33	resubcld 11578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
38	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
39	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
40	6	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
41	7, 40	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
44	43	r19.21bi 3229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
45	44	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
46	13, 45	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
47		mulge0 11668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
49	30	rehalfcld 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
51	12	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
53	15, 50, 52	ltled 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54		lemul2a 12010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
56	6	nn0cnd 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	29	rpcnd 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
59	58	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60		2cnne0 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62		divass 11827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
64	55, 63	breqtrrd 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65		leexp1a 14137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 11767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 11306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
69	15	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℂ)
70	57, 69, 18	mulexpd 14123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)))
71	70	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁))
72	71	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
73	13, 44	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
74	73	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
75		exple1 14139	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77		stoweidlem10 46438	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
79	72, 78	eqbrtrrd 5109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 11306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81		stoweidlem24.2	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 46440	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
83	13, 82	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
84	80, 83	breqtrrd 5113	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3389   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46473