Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem24 45038
Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑑 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent π‘˜, 𝐷 to represent Ξ΄, and 𝐸 to represent Ξ΅. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem24.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
stoweidlem24.5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
stoweidlem24.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘„β€˜π‘‘))
Distinct variable group:   𝑑,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝐸(𝑑)   𝐾(𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1red 11219 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 stoweidlem24.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 13020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
43adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 11646 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) ∈ ℝ)
6 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
76nn0red 12537 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
9 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
109adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
11 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
1211reqabi 3452 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝑉 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
1312simplbi 496 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
1510, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
168, 15remulcld 11248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
17 stoweidlem24.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1817adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1916, 18reexpcld 14132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) ∈ ℝ)
201, 19resubcld 11646 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)) ∈ ℝ)
2115, 18reexpcld 14132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ)
221, 21resubcld 11646 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) ∈ ℝ)
236, 17jca 510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
2423adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
25 nn0expcl 14045 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑𝑁) ∈ β„•0)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾↑𝑁) ∈ β„•0)
2722, 26reexpcld 14132 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28 1red 11219 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
29 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpred 13020 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
317, 30remulcld 11248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝐷) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 12463 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
3332, 17reexpcld 14132 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3428, 33resubcld 11646 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3534adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem24.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3736adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)))
3833adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
3932adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
406nn0ge0d 12539 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐾)
417, 40jca 510 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾))
4241adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾))
43 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
4443r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
4544simpld 493 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
4613, 45sylan2 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
47 mulge0 11736 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾) ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))) β†’ 0 ≀ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4842, 15, 46, 47syl12anc 833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
4930rehalfcld 12463 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5049adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
5112simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2))
5251adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2))
5315, 50, 52ltled 11366 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ (𝐷 / 2))
54 lemul2a 12073 . . . . . . . 8 ((((π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐾)) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ (𝐷 / 2)) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
5515, 50, 42, 53, 54syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
566nn0cnd 12538 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5756adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5829rpcnd 13022 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5958adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
60 2cnne0 12426 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
62 divass 11894 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) = (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
6357, 59, 61, 62syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) = (𝐾 Β· (𝐷 / 2)))
6455, 63breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2))
65 leexp1a 14144 . . . . . 6 ((((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (0 ≀ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ∧ (𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘)) ≀ ((𝐾 Β· 𝐷) / 2))) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) ≀ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁))
6616, 39, 18, 48, 64, 65syl32anc 1376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) ≀ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁))
6719, 38, 1, 66lesub2dd 11835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ (((𝐾 Β· 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≀ (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)))
685, 35, 20, 37, 67ltletrd 11378 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)))
6915recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7057, 69, 18mulexpd 14130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)))
7170eqcomd 2736 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁)) = ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁))
7271oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) = (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)))
7313, 44sylan2 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
7473simprd 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1)
75 exple1 14145 . . . . . 6 ((((π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ≀ 1)
7615, 46, 74, 18, 75syl31anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ≀ 1)
77 stoweidlem10 45024 . . . . 5 ((((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁) ≀ 1) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
7821, 26, 76, 77syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾↑𝑁) Β· ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
7972, 78eqbrtrrd 5171 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ ((𝐾 Β· (π‘ƒβ€˜π‘‘))↑𝑁)) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
805, 20, 27, 68, 79ltletrd 11378 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81 stoweidlem24.2 . . . 4 𝑄 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
8281, 9, 17, 6stoweidlem12 45026 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘„β€˜π‘‘) = ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
8313, 82sylan2 591 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘„β€˜π‘‘) = ((1 βˆ’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
8480, 83breqtrrd 5175 1 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘„β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„+crp 12978  β†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  45059
  Copyright terms: Public domain W3C validator