Theorem stoweidlem24 46481

Description: This lemma proves that for 𝑛 sufficiently large, q_n( t ) > ( 1 - epsilon ), for all 𝑡 in 𝑉: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent 𝑛 in the paper, 𝐾 to represent 𝑘, 𝐷 to represent δ, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem24.1	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem24.2	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem24.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem24.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
stoweidlem24.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.8	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem24.9	⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
stoweidlem24.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem24	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)   𝑉(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
2		stoweidlem24.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	3	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ ℝ)
5	1, 4	resubcld 11573	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) ∈ ℝ)
6		stoweidlem24.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		stoweidlem24.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
11		stoweidlem24.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
12	11	reqabi 3416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)))
13	12	simplbi 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → 𝑡 ∈ 𝑇)
14	13	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑡 ∈ 𝑇)
15	10, 14	ffvelcdmd 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ)
17		stoweidlem24.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	16, 18	reexpcld 14120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ∈ ℝ)
20	1, 19	resubcld 11573	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ∈ ℝ)
21	15, 18	reexpcld 14120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
22	1, 21	resubcld 11573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
23	6, 17	jca 517	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25		nn0expcl 14032	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	reexpcld 14120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
28		1red 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		stoweidlem24.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	7, 30	remulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
33	32, 17	reexpcld 14120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
34	28, 33	resubcld 11573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
35	34	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem24.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
37	36	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)))
38	33	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁) ∈ ℝ)
39	32	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
40	6	nn0ge0d 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
41	7, 40	jca 517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
42	41	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾))
43		stoweidlem24.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
44	43	r19.21bi 3233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
45	44	simpld 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
46	13, 45	sylan2 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
47		mulge0 11663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ ((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡))) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
48	42, 15, 46, 47	syl12anc 843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)))
49	30	rehalfcld 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
50	49	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
51	12	simprbi 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑉 → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
52	51	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2))
53	15, 50, 52	ltled 11289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2))
54		lemul2a 12005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐷 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐾)) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ (𝐷 / 2)) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
55	15, 50, 42, 53, 54	syl31anc 1382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ (𝐾 · (𝐷 / 2)))
56	6	nn0cnd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
57	56	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ ℂ)
58	29	rpcnd 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
59	58	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ ℂ)
60		2cnne0 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62		divass 11822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
63	57, 59, 61, 62	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · 𝐷) / 2) = (𝐾 · (𝐷 / 2)))
64	55, 63	breqtrrd 5103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))
65		leexp1a 14132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ∧ (𝐾 · (𝑃‘𝑡)) ≤ ((𝐾 · 𝐷) / 2))) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
66	16, 39, 18, 48, 64, 65	syl32anc 1387	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) ≤ (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁))
67	19, 38, 1, 66	lesub2dd 11762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − (((𝐾 · 𝐷) / 2)↑𝑁)) ≤ (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
68	5, 35, 20, 37, 67	ltletrd 11301	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
69	15	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℂ)
70	57, 69, 18	mulexpd 14118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)))
71	70	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) = ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁))
72	71	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) = (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)))
73	13, 44	sylan2 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
74	73	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
75		exple1 14134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
76	15, 46, 74, 18, 75	syl31anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1)
77		stoweidlem10 46467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ≤ 1) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
78	21, 26, 76, 77	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾↑𝑁) · ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
79	72, 78	eqbrtrrd 5099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − ((𝐾 · (𝑃‘𝑡))↑𝑁)) ≤ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
80	5, 20, 27, 68, 79	ltletrd 11301	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
81		stoweidlem24.2	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
82	81, 9, 17, 6	stoweidlem12 46469	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
83	13, 82	sylan2 600	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
84	80, 83	breqtrrd 5103	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (1 − 𝐸) < (𝑄‘𝑡))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  {crab 3393   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℝ⁺crp 12937  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46502