MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 25530
Description: Lemma for uniioombl 25538. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2728 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 25421 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
65frnd 6735 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7 rge0ssre 13473 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
86, 7sstrdi 3994 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9 1nn 12261 . . . . 5 1 ∈ ℕ
105fdmd 6738 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
119, 10eleqtrrid 2836 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
1211ne0d 4339 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13 dm0rn0 5931 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1413necon3bii 2990 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1512, 14sylib 217 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16 icossxr 13449 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
176, 16sstrdi 3994 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18 supxrcl 13334 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2221rpred 13056 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2320, 22readdcld 11281 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2423rexrd 11302 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25 pnfxr 11306 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
2823ltpnfd 13141 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
2919, 24, 26, 27, 28xrlelttrd 13179 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30 supxrbnd 13347 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
318, 15, 29, 30syl3anc 1368 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  cin 3948  wss 3949  c0 4326   cuni 4912  Disj wdisj 5117   class class class wbr 5152   × cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  ccom 5686  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  cn 12250  +crp 13014  (,)cioo 13364  [,)cico 13366  seqcseq 14006  abscabs 15221  vol*covol 25411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25534  uniioombllem4  25535  uniioombllem5  25536  uniioombllem6  25537
  Copyright terms: Public domain W3C validator