Theorem uniioombllem1 24176

Description: Lemma for uniioombl 24184. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem1	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3		uniioombl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
4	2, 3	ovolsf 24067	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7		rge0ssre 12838	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8	6, 7	sstrdi 3978	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9		1nn 11643	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	5	fdmd 6517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
11	9, 10	eleqtrrid 2920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
12	11	ne0d 4300	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13		dm0rn0 5789	. . . 4 ⊢ (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
14	13	necon3bii 3068	. . 3 ⊢ (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
15	12, 14	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16		icossxr 12815	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
17	6, 16	sstrdi 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18		supxrcl 12702	. . . 4 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20		uniioombl.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21		uniioombl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	readdcld 10664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 10685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25		pnfxr 10689	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		uniioombl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
28	23	ltpnfd 12510	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
29	19, 24, 26, 27, 28	xrlelttrd 12547	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30		supxrbnd 12715	. 2 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	8, 15, 29, 30	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ∪ cuni 4831  Disj wdisj 5023   class class class wbr 5058   × cxp 5547  dom cdm 5549  ran crn 5550   ∘ ccom 5553  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  seqcseq 13363  abscabs 14587  vol*covol 24057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  uniioombllem3  24180  uniioombllem4  24181  uniioombllem5  24182  uniioombllem6  24183