MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 23569
Description: Lemma for uniioombl 23577. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2771 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 23460 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6 frn 6193 . . . 4 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
8 rge0ssre 12487 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
97, 8syl6ss 3764 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
10 1nn 11233 . . . . 5 1 ∈ ℕ
11 fdm 6191 . . . . . 6 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → dom 𝑇 = ℕ)
125, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
1310, 12syl5eleqr 2857 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
14 ne0i 4069 . . . 4 (1 ∈ dom 𝑇 → dom 𝑇 ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
16 dm0rn0 5480 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1716necon3bii 2995 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1815, 17sylib 208 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
19 icossxr 12463 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
207, 19syl6ss 3764 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
21 supxrcl 12350 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
24 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpred 12075 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2623, 25readdcld 10271 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2726rexrd 10291 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
28 pnfxr 10294 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
30 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 ltpnf 12159 . . . 4 (((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3322, 27, 29, 30, 32xrlelttrd 12196 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
34 supxrbnd 12363 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
359, 18, 33, 34syl3anc 1476 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cin 3722  wss 3723  c0 4063   cuni 4574  Disj wdisj 4754   class class class wbr 4786   × cxp 5247  dom cdm 5249  ran crn 5250  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  seqcseq 13008  abscabs 14182  vol*covol 23450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23573  uniioombllem4  23574  uniioombllem5  23575  uniioombllem6  23576
  Copyright terms: Public domain W3C validator