Theorem uniioombllem1 25902

Description: Lemma for uniioombl 25910. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem1	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3		uniioombl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
4	2, 3	ovolsf 25793	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7		rge0ssre 13587	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8	6, 7	sstrdi 3920	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9		1nn 12346	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	5	fdmd 6720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
11	9, 10	eleqtrrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
12	11	ne0d 4287	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13		dm0rn0 5905	. . . 4 ⊢ (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
14	13	necon3bii 3007	. . 3 ⊢ (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
15	12, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16		icossxr 13563	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
17	6, 16	sstrdi 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18		supxrcl 13445	. . . 4 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20		uniioombl.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21		uniioombl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	readdcld 11338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11359	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25		pnfxr 11363	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		uniioombl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
28	23	ltpnfd 13250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
29	19, 24, 26, 27, 28	xrlelttrd 13289	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30		supxrbnd 13458	. 2 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	8, 15, 29, 30	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9432  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℝ⁺crp 13120  (,)cioo 13476  [,)cico 13478  seqcseq 14144  abscabs 15401  vol*covol 25783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  uniioombllem3  25906  uniioombllem4  25907  uniioombllem5  25908  uniioombllem6  25909