Theorem uniioombllem1 25709

Description: Lemma for uniioombl 25717. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem1	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3		uniioombl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
4	2, 3	ovolsf 25600	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6715	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7		rge0ssre 13483	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8	6, 7	sstrdi 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9		1nn 12244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	5	fdmd 6717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
11	9, 10	eleqtrrid 2876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
12	11	ne0d 4303	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13		dm0rn0 5915	. . . 4 ⊢ (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
14	13	necon3bii 3016	. . 3 ⊢ (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
15	12, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16		icossxr 13459	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
17	6, 16	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18		supxrcl 13341	. . . 4 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20		uniioombl.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21		uniioombl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	readdcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25		pnfxr 11263	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		uniioombl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
28	23	ltpnfd 13146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
29	19, 24, 26, 27, 28	xrlelttrd 13185	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30		supxrbnd 13354	. 2 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	8, 15, 29, 30	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4876  Disj wdisj 5080   class class class wbr 5113   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  supcsup 9400  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℝ⁺crp 13016  (,)cioo 13372  [,)cico 13374  seqcseq 14037  abscabs 15285  vol*covol 25590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25713  uniioombllem4  25714  uniioombllem5  25715  uniioombllem6  25716