MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 24968
Description: Lemma for uniioombl 24976. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2733 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 24859 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
65frnd 6680 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7 rge0ssre 13382 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
86, 7sstrdi 3960 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9 1nn 12172 . . . . 5 1 ∈ ℕ
105fdmd 6683 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
119, 10eleqtrrid 2841 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
1211ne0d 4299 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13 dm0rn0 5884 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1413necon3bii 2993 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1512, 14sylib 217 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16 icossxr 13358 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
176, 16sstrdi 3960 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18 supxrcl 13243 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2221rpred 12965 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2320, 22readdcld 11192 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2423rexrd 11213 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25 pnfxr 11217 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
2823ltpnfd 13050 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
2919, 24, 26, 27, 28xrlelttrd 13088 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30 supxrbnd 13256 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
318, 15, 29, 30syl3anc 1372 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cin 3913  wss 3914  c0 4286   cuni 4869  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109   × cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638  ccom 5641  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  +∞cpnf 11194  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  cmin 11393  cn 12161  +crp 12923  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  seqcseq 13915  abscabs 15128  vol*covol 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  24972  uniioombllem4  24973  uniioombllem5  24974  uniioombllem6  24975
  Copyright terms: Public domain W3C validator