MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 23562
Description: Lemma for uniioombl 23570. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2806 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 23453 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
65frnd 6263 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7 rge0ssre 12500 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
86, 7syl6ss 3810 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9 1nn 11316 . . . . 5 1 ∈ ℕ
105fdmd 6265 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
119, 10syl5eleqr 2892 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
1211ne0d 4123 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13 dm0rn0 5543 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1413necon3bii 3030 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1512, 14sylib 209 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16 icossxr 12476 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
176, 16syl6ss 3810 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18 supxrcl 12363 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2221rpred 12086 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2320, 22readdcld 10354 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2423rexrd 10374 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25 pnfxr 10377 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
28 ltpnf 12170 . . . 4 (((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
2923, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3019, 24, 26, 27, 29xrlelttrd 12209 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
31 supxrbnd 12376 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
328, 15, 30, 31syl3anc 1483 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cin 3768  wss 3769  c0 4116   cuni 4630  Disj wdisj 4812   class class class wbr 4844   × cxp 5309  dom cdm 5311  ran crn 5312  ccom 5315  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  supcsup 8585  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224  +∞cpnf 10356  *cxr 10358   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551  cn 11305  +crp 12046  (,)cioo 12393  [,)cico 12395  seqcseq 13024  abscabs 14197  vol*covol 23443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-sup 8587  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-ico 12399  df-fz 12550  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23566  uniioombllem4  23567  uniioombllem5  23568  uniioombllem6  23569
  Copyright terms: Public domain W3C validator