Theorem uniioombllem1 25331

Description: Lemma for uniioombl 25339. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem1	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3		uniioombl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
4	2, 3	ovolsf 25222	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6726	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7		rge0ssre 13438	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8	6, 7	sstrdi 3995	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9		1nn 12228	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	5	fdmd 6729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
11	9, 10	eleqtrrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
12	11	ne0d 4336	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13		dm0rn0 5925	. . . 4 ⊢ (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
14	13	necon3bii 2992	. . 3 ⊢ (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
15	12, 14	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16		icossxr 13414	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
17	6, 16	sstrdi 3995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18		supxrcl 13299	. . . 4 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20		uniioombl.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21		uniioombl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	readdcld 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25		pnfxr 11273	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		uniioombl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
28	23	ltpnfd 13106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
29	19, 24, 26, 27, 28	xrlelttrd 13144	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30		supxrbnd 13312	. 2 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	8, 15, 29, 30	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ∪ cuni 4909  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   × cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449  ℕcn 12217  ℝ⁺crp 12979  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  seqcseq 13971  abscabs 15186  vol*covol 25212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188

This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25335  uniioombllem4  25336  uniioombllem5  25337  uniioombllem6  25338