Theorem uniioombllem1 25555

Description: Lemma for uniioombl 25563. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem1	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3		uniioombl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
4	2, 3	ovolsf 25446	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6	5	frnd 6680	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
7		rge0ssre 13386	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8	6, 7	sstrdi 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
9		1nn 12170	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	5	fdmd 6682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
11	9, 10	eleqtrrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
12	11	ne0d 4296	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
13		dm0rn0 5883	. . . 4 ⊢ (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
14	13	necon3bii 2985	. . 3 ⊢ (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
15	12, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
16		icossxr 13362	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
17	6, 16	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
18		supxrcl 13244	. . . 4 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20		uniioombl.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
21		uniioombl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	readdcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
25		pnfxr 11200	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27		uniioombl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
28	23	ltpnfd 13049	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
29	19, 24, 26, 27, 28	xrlelttrd 13088	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
30		supxrbnd 13257	. 2 ⊢ ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31	8, 15, 29, 30	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  Disj wdisj 5067   class class class wbr 5100   × cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635   ∘ ccom 5638  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  supcsup 9357  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043  +∞cpnf 11177  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℕcn 12159  ℝ⁺crp 12919  (,)cioo 13275  [,)cico 13277  seqcseq 13938  abscabs 15171  vol*covol 25436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ico 13281  df-fz 13438  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173

This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25559  uniioombllem4  25560  uniioombllem5  25561  uniioombllem6  25562