Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoid0 39696
Description: A trace-preserving endomorphism is the additive identity iff at least one of its values (at a non-identity translation) is the identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendoid0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendoid0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
3 tendoid0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
42, 3tendo02 39658 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
65eqeq2d 2744 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ) ↔ (π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡)))
7 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simpl2 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
9 tendoid0.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 tendoid0.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
123, 9, 10, 11, 2tendo0cl 39661 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
137, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
14 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
15 simpl3l 1229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
16 simpl3r 1230 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
173, 9, 10, 11tendocan 39695 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ = 𝑂)
187, 8, 13, 14, 15, 16, 17syl132anc 1389 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ π‘ˆ = 𝑂)
1918ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ) β†’ π‘ˆ = 𝑂))
206, 19sylbird 260 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ π‘ˆ = 𝑂))
21 fveq1 6891 . . . 4 (π‘ˆ = 𝑂 β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
2221eqeq1d 2735 . . 3 (π‘ˆ = 𝑂 β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡)))
235, 22syl5ibrcom 246 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ = 𝑂 β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡)))
2420, 23impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  TEndoctendo 39623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626
This theorem is referenced by:  tendoconid  39700  tendotr  39701  cdleml3N  39849  tendospcanN  39894
  Copyright terms: Public domain W3C validator