Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1201 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β πΉ β π) |
2 | | tendoid0.o |
. . . . . 6
β’ π = (π β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
3 | | tendoid0.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
4 | 2, 3 | tendo02 38840 |
. . . . 5
β’ (πΉ β π β (πβπΉ) = ( I βΎ π΅)) |
5 | 1, 4 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β (πβπΉ) = ( I βΎ π΅)) |
6 | 5 | eqeq2d 2747 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β ((πβπΉ) = (πβπΉ) β (πβπΉ) = ( I βΎ π΅))) |
7 | | simpl1 1191 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
8 | | simpl2 1192 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β π β πΈ) |
9 | | tendoid0.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | tendoid0.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | | tendoid0.e |
. . . . . . 7
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
12 | 3, 9, 10, 11, 2 | tendo0cl 38843 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β π β πΈ) |
13 | 7, 12 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β π β πΈ) |
14 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β (πβπΉ) = (πβπΉ)) |
15 | | simpl3l 1228 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β πΉ β π) |
16 | | simpl3r 1229 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
17 | 3, 9, 10, 11 | tendocan 38877 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β π = π) |
18 | 7, 8, 13, 14, 15, 16, 17 | syl132anc 1388 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β π = π) |
19 | 18 | ex 414 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β ((πβπΉ) = (πβπΉ) β π = π)) |
20 | 6, 19 | sylbird 261 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β ((πβπΉ) = ( I βΎ π΅) β π = π)) |
21 | | fveq1 6799 |
. . . 4
β’ (π = π β (πβπΉ) = (πβπΉ)) |
22 | 21 | eqeq1d 2738 |
. . 3
β’ (π = π β ((πβπΉ) = ( I βΎ π΅) β (πβπΉ) = ( I βΎ π΅))) |
23 | 5, 22 | syl5ibrcom 248 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β (π = π β (πβπΉ) = ( I βΎ π΅))) |
24 | 20, 23 | impbid 211 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) β ((πβπΉ) = ( I βΎ π΅) β π = π)) |