Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoid0 38878
Description: A trace-preserving endomorphism is the additive identity iff at least one of its values (at a non-identity translation) is the identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendoid0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendoid0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
3 tendoid0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
42, 3tendo02 38840 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
65eqeq2d 2747 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ) ↔ (π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡)))
7 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simpl2 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
9 tendoid0.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 tendoid0.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
123, 9, 10, 11, 2tendo0cl 38843 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
137, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
14 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
15 simpl3l 1228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
16 simpl3r 1229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
173, 9, 10, 11tendocan 38877 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ = 𝑂)
187, 8, 13, 14, 15, 16, 17syl132anc 1388 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ)) β†’ π‘ˆ = 𝑂)
1918ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ) β†’ π‘ˆ = 𝑂))
206, 19sylbird 261 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ π‘ˆ = 𝑂))
21 fveq1 6799 . . . 4 (π‘ˆ = 𝑂 β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
2221eqeq1d 2738 . . 3 (π‘ˆ = 𝑂 β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡)))
235, 22syl5ibrcom 248 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ = 𝑂 β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡)))
2420, 23impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   ↦ cmpt 5164   I cid 5495   β†Ύ cres 5598  β€˜cfv 6454  Basecbs 16953  HLchlt 37403  LHypclh 38037  LTrncltrn 38154  TEndoctendo 38805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-riotaBAD 37006
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-undef 8116  df-map 8644  df-proset 18054  df-poset 18072  df-plt 18089  df-lub 18105  df-glb 18106  df-join 18107  df-meet 18108  df-p0 18184  df-p1 18185  df-lat 18191  df-clat 18258  df-oposet 37229  df-ol 37231  df-oml 37232  df-covers 37319  df-ats 37320  df-atl 37351  df-cvlat 37375  df-hlat 37404  df-llines 37551  df-lplanes 37552  df-lvols 37553  df-lines 37554  df-psubsp 37556  df-pmap 37557  df-padd 37849  df-lhyp 38041  df-laut 38042  df-ldil 38157  df-ltrn 38158  df-trl 38212  df-tendo 38808
This theorem is referenced by:  tendoconid  38882  tendotr  38883  cdleml3N  39031  tendospcanN  39076
  Copyright terms: Public domain W3C validator