Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoid0 38435
 Description: A trace-preserving endomorphism is the additive identity iff at least one of its values (at a non-identity translation) is the identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoid0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoid0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
2 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3 tendoid0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
42, 3tendo02 38397 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
65eqeq2d 2769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = (𝑂𝐹) ↔ (𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
7 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝑈𝐸)
9 tendoid0.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 tendoid0.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
123, 9, 10, 11, 2tendo0cl 38400 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
137, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝑂𝐸)
14 simpr 488 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹))
15 simpl3l 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝐹𝑇)
16 simpl3r 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
173, 9, 10, 11tendocan 38434 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑂𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑂)
187, 8, 13, 14, 15, 16, 17syl132anc 1385 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹)) → 𝑈 = 𝑂)
1918ex 416 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = (𝑂𝐹) → 𝑈 = 𝑂))
206, 19sylbird 263 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) → 𝑈 = 𝑂))
21 fveq1 6662 . . . 4 (𝑈 = 𝑂 → (𝑈𝐹) = (𝑂𝐹))
2221eqeq1d 2760 . . 3 (𝑈 = 𝑂 → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
235, 22syl5ibrcom 250 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 = 𝑂 → (𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
2420, 23impbid 215 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ↦ cmpt 5116   I cid 5433   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  Basecbs 16554  HLchlt 36960  LHypclh 37594  LTrncltrn 37711  TEndoctendo 38362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-riotaBAD 36563 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-undef 7955  df-map 8424  df-proset 17617  df-poset 17635  df-plt 17647  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-p0 17728  df-p1 17729  df-lat 17735  df-clat 17797  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-atl 36908  df-cvlat 36932  df-hlat 36961  df-llines 37108  df-lplanes 37109  df-lvols 37110  df-lines 37111  df-psubsp 37113  df-pmap 37114  df-padd 37406  df-lhyp 37598  df-laut 37599  df-ldil 37714  df-ltrn 37715  df-trl 37769  df-tendo 38365 This theorem is referenced by:  tendoconid  38439  tendotr  38440  cdleml3N  38588  tendospcanN  38633
 Copyright terms: Public domain W3C validator