Theorem tendoid0 40827

Description: A trace-preserving endomorphism is the additive identity iff at least one of its values (at a non-identity translation) is the identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoid0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
2		tendoid0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3		tendoid0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4	2, 3	tendo02 40789	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
6	5	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹) ↔ (𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
7		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
9		tendoid0.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		tendoid0.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		tendoid0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
12	3, 9, 10, 11, 2	tendo0cl 40792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝑂 ∈ 𝐸)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))
15		simpl3l 1229	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
16		simpl3r 1230	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17	3, 9, 10, 11	tendocan 40826	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑂)
18	7, 8, 13, 14, 15, 16, 17	syl132anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝑈 = 𝑂)
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹) → 𝑈 = 𝑂))
20	6, 19	sylbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) → 𝑈 = 𝑂))
21		fveq1 6905	. . . 4 ⊢ (𝑈 = 𝑂 → (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))
22	21	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑈 = 𝑂 → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
23	5, 22	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 = 𝑂 → (𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
24	20, 23	impbid 212	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757

This theorem is referenced by:  tendoconid  40831  tendotr  40832  cdleml3N  40980  tendospcanN  41025