Theorem tendoid0 41285

Description: A trace-preserving endomorphism is the additive identity iff at least one of its values (at a non-identity translation) is the identity translation. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoid0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
2		tendoid0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3		tendoid0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4	2, 3	tendo02 41247	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
6	5	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹) ↔ (𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
7		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
9		tendoid0.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		tendoid0.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		tendoid0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
12	3, 9, 10, 11, 2	tendo0cl 41250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝑂 ∈ 𝐸)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))
15		simpl3l 1230	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
16		simpl3r 1231	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17	3, 9, 10, 11	tendocan 41284	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑂)
18	7, 8, 13, 14, 15, 16, 17	syl132anc 1391	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹)) → 𝑈 = 𝑂)
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹) → 𝑈 = 𝑂))
20	6, 19	sylbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) → 𝑈 = 𝑂))
21		fveq1 6833	. . . 4 ⊢ (𝑈 = 𝑂 → (𝑈‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))
22	21	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑈 = 𝑂 → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
23	5, 22	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 = 𝑂 → (𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵)))
24	20, 23	impbid 212	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  TEndoctendo 41212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8216  df-map 8768  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tendo 41215

This theorem is referenced by:  tendoconid  41289  tendotr  41290  cdleml3N  41438  tendospcanN  41483