Theorem elxrge02 31215

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge02	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem elxrge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11031	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11038	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		0lepnf 12877	. . 3 ⊢ 0 ≤ +∞
4		eliccioo 31214	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1460	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6		biid 260	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
7		ioorp 13166	. . . 4 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
8	7	eleq2i 2831	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝐴 ∈ ℝ+)
9		biid 260	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞)
10	6, 8, 9	3orbi123i 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
11	5, 10	bitri 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  0cc0 10880  +∞cpnf 11015  ℝ^*cxr 11017   ≤ cle 11019  ℝ⁺crp 12739  (,)cioo 13088  [,]cicc 13091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-ioo 13092  df-ico 13094  df-icc 13095

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  31218  esumcst  32040