Theorem elxrge02 30156

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge02	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem elxrge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10375	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 10382	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		0lepnf 12213	. . 3 ⊢ 0 ≤ +∞
4		eliccioo 30155	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6		biid 253	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
7		ioorp 12500	. . . 4 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
8	7	eleq2i 2870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝐴 ∈ ℝ+)
9		biid 253	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞)
10	6, 8, 9	3orbi123i 1196	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
11	5, 10	bitri 267	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∨ w3o 1107   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  ℝ^*cxr 10362   ≤ cle 10364  ℝ⁺crp 12074  (,)cioo 12424  [,]cicc 12427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  30159  esumcst  30641