Theorem elxrge02 32650

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge02	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem elxrge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11286	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11293	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		0lepnf 13139	. . 3 ⊢ 0 ≤ +∞
4		eliccioo 32649	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6		biid 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
7		ioorp 13429	. . . 4 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
8	7	eleq2i 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝐴 ∈ ℝ+)
9		biid 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞)
10	6, 8, 9	3orbi123i 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ (0(,)+∞) ∨ 𝐴 = +∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
11	5, 10	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ w3o 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  0cc0 11133  +∞cpnf 11270  ℝ^*cxr 11272   ≤ cle 11274  ℝ⁺crp 13001  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  32653  esumcst  33677