Theorem xrpxdivcld 33381

Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (0 /𝑒 𝐵))
2		xrpxdivcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		xdiv0rp 33376	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
5	1, 4	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = 0)
6		elxrge02 33378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞))
7	6	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8	7	3o1cs 32939	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	5, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpxdivcld 33380	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)
13	7	3o2cs 32940	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (+∞ /𝑒 𝐵))
16		xdivpnfrp 33379	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
17	2, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
18	15, 17	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞)
19	7	3o3cs 32941	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21		xrpxdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22		elxrge02 33378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
24	9, 14, 20, 23	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ⁺crp 13043  [,]cicc 13402   /_𝑒 cxdiv 33363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-xdiv 33364

This theorem is used by:  measdivcst  34736  measdivcstALTV  34737