Theorem xrpxdivcld 33597

Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 /e 𝐵) = (0 /e 𝐵))
2		xrpxdivcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		xdiv0rp 33592	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /e 𝐵) = 0)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 /e 𝐵) = 0)
5	1, 4	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /e 𝐵) = 0)
6		elxrge02 33594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /e 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /e 𝐵) = +∞))
7	6	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /e 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /e 𝐵) = +∞) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8	7	3o1cs 33158	. . 3 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) = 0 → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	5, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpxdivcld 33596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+)
13	7	3o2cs 33159	. . 3 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 /e 𝐵) = (+∞ /e 𝐵))
16		xdivpnfrp 33595	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /e 𝐵) = +∞)
17	2, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ /e 𝐵) = +∞)
18	15, 17	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /e 𝐵) = +∞)
19	7	3o3cs 33160	. . 3 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) = +∞ → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21		xrpxdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22		elxrge02 33594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
24	9, 14, 20, 23	mpjao3dan 1460	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ⁺crp 13160  [,]cicc 13519   /_e cxdiv 33579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-xdiv 33580

This theorem is used by:  measdivcst  34968  measdivcstALTV  34969