Theorem xrpxdivcld 33551

Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 /e 𝐵) = (0 /e 𝐵))
2		xrpxdivcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		xdiv0rp 33546	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /e 𝐵) = 0)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 /e 𝐵) = 0)
5	1, 4	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /e 𝐵) = 0)
6		elxrge02 33548	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /e 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /e 𝐵) = +∞))
7	6	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /e 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /e 𝐵) = +∞) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8	7	3o1cs 33110	. . 3 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) = 0 → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	5, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpxdivcld 33550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+)
13	7	3o2cs 33111	. . 3 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 /e 𝐵) = (+∞ /e 𝐵))
16		xdivpnfrp 33549	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /e 𝐵) = +∞)
17	2, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ /e 𝐵) = +∞)
18	15, 17	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /e 𝐵) = +∞)
19	7	3o3cs 33112	. . 3 ⊢ ((𝐴 /e 𝐵) = +∞ → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21		xrpxdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22		elxrge02 33548	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
24	9, 14, 20, 23	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /e 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ⁺crp 13127  [,]cicc 13486   /_e cxdiv 33533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-xdiv 33534

This theorem is used by:  measdivcst  34907  measdivcstALTV  34908