Theorem xrpxdivcld 32828

Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (0 /𝑒 𝐵))
2		xrpxdivcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		xdiv0rp 32823	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
5	1, 4	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = 0)
6		elxrge02 32825	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞))
7	6	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8	7	3o1cs 32363	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpxdivcld 32827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)
13	7	3o2cs 32364	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (+∞ /𝑒 𝐵))
16		xdivpnfrp 32826	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
17	2, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
18	15, 17	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞)
19	7	3o3cs 32365	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21		xrpxdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22		elxrge02 32825	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
23	21, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
24	9, 14, 20, 23	mpjao3dan 1434	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ⁺crp 12927  [,]cicc 13285   /_𝑒 cxdiv 32810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-xdiv 32811

This theorem is referenced by:  measdivcst  34187  measdivcstALTV  34188