Theorem xrpxdivcld 32965

Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (0 /𝑒 𝐵))
2		xrpxdivcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		xdiv0rp 32960	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
5	1, 4	sylan9eqr 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = 0)
6		elxrge02 32962	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞))
7	6	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8	7	3o1cs 32484	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpxdivcld 32964	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)
13	7	3o2cs 32485	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (+∞ /𝑒 𝐵))
16		xdivpnfrp 32963	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
17	2, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
18	15, 17	sylan9eqr 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞)
19	7	3o3cs 32486	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21		xrpxdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22		elxrge02 32962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
23	21, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
24	9, 14, 20, 23	mpjao3dan 1434	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  ℝ⁺crp 12903  [,]cicc 13262   /_𝑒 cxdiv 32947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-xdiv 32948

This theorem is referenced by:  measdivcst  34330  measdivcstALTV  34331