Theorem xrpxdivcld 32926

Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7362	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (0 /𝑒 𝐵))
2		xrpxdivcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		xdiv0rp 32921	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
5	1, 4	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = 0)
6		elxrge02 32923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞))
7	6	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8	7	3o1cs 32451	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpxdivcld 32925	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)
13	7	3o2cs 32452	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15		oveq1 7362	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (+∞ /𝑒 𝐵))
16		xdivpnfrp 32924	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
17	2, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
18	15, 17	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞)
19	7	3o3cs 32453	. . 3 ⊢ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21		xrpxdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22		elxrge02 32923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
23	21, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+ ∨ 𝐴 = +∞))
24	9, 14, 20, 23	mpjao3dan 1434	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  0cc0 11016  +∞cpnf 11153  ℝ⁺crp 12900  [,]cicc 13258   /_𝑒 cxdiv 32908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-xdiv 32909

This theorem is referenced by:  measdivcst  34248  measdivcstALTV  34249