Theorem xlimresdm 46302

Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 46263	. . 3 ⊢ Rel ~~>*
2		xlimdm 46300	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
3	2	bilani 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
4		xlimresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
6		xlimresdm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	5, 7	xlimres 46264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
9	3, 8	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
10		releldm 5886	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
11	1, 9, 10	sylancr 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
12		xlimdm 46300	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
13	12	bilani 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
14	4, 6	xlimres 46264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
16	13, 15	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
17		releldm 5886	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
18	1, 16, 17	sylancr 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
19	11, 18	impbida 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  dom cdm 5618   ↾ cres 5620  Rel wrel 5623  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_pm cpm 8764  ℂcc 11027  ℝ^*cxr 11169  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ~~>*clsxlim 46261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-z 12516  df-uz 12780  df-topgen 17397  df-ordt 17456  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-lm 23212  df-haus 23298  df-xlim 46262

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46305