Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimresdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimresdm 43354
Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimresdm.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
xlimresdm.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
xlimresdm (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm
StepHypRef Expression
1 xlimrel 43315 . . 3 Rel ~~>*
2 xlimdm 43352 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹)))
43biimpa 476 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
5 xlimresdm.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
7 xlimresdm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
96, 8xlimres 43316 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
104, 9mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
11 releldm 5850 . . 3 ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*)
121, 10, 11sylancr 586 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*)
13 xlimdm 43352 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1413biimpi 215 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>* → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
165, 7xlimres 43316 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
1716adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
1815, 17mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
19 releldm 5850 . . 3 ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
201, 18, 19sylancr 586 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
2112, 20impbida 797 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2109   class class class wbr 5078  dom cdm 5588  cres 5590  Rel wrel 5593  cfv 6430  (class class class)co 7268  pm cpm 8590  cc 10853  *cxr 10992  cz 12302  cuz 12564  ~~>*clsxlim 43313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fi 9131  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-z 12303  df-uz 12565  df-topgen 17135  df-ordt 17193  df-ps 18265  df-tsr 18266  df-top 22024  df-topon 22041  df-bases 22077  df-lm 22361  df-haus 22447  df-xlim 43314
This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  43357
  Copyright terms: Public domain W3C validator