Theorem xlimresdm 43290

Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 43251	. . 3 ⊢ Rel ~~>*
2		xlimdm 43288	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹)))
4	3	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
5		xlimresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
7		xlimresdm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	6, 8	xlimres 43252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
10	4, 9	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
11		releldm 5842	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
12	1, 10, 11	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
13		xlimdm 43288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
14	13	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
16	5, 7	xlimres 43252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
18	15, 17	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
19		releldm 5842	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
20	1, 18, 19	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
21	12, 20	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  Rel wrel 5585  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝ^*cxr 10939  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ~~>*clsxlim 43249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-uz 12512  df-topgen 17071  df-ordt 17129  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-lm 22288  df-haus 22374  df-xlim 43250

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  43293