Theorem xlimresdm 46287

Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 46248	. . 3 ⊢ Rel ~~>*
2		xlimdm 46285	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹)))
4	3	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
5		xlimresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
7		xlimresdm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	6, 8	xlimres 46249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
10	4, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
11		releldm 5899	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
12	1, 10, 11	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
13		xlimdm 46285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
14	13	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
16	5, 7	xlimres 46249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
18	15, 17	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
19		releldm 5899	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
20	1, 18, 19	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
21	12, 20	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_pm cpm 8774  ℂcc 11036  ℝ^*cxr 11178  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ~~>*clsxlim 46246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525  df-uz 12789  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-lm 23194  df-haus 23280  df-xlim 46247

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46290