Theorem xlimresdm 46868

Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 46829	. . 3 ⊢ Rel ~~>*
2		xlimdm 46866	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
3	2	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
4		xlimresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
6		xlimresdm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	5, 7	xlimres 46830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
9	3, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
10		releldm 5926	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
11	1, 9, 10	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
12		xlimdm 46866	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
13	12	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
14	4, 6	xlimres 46830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
16	13, 15	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
17		releldm 5926	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
18	1, 16, 17	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
19	11, 18	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Rel wrel 5656  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_pm cpm 8848  ℂcc 11198  ℝ^*cxr 11342  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ~~>*clsxlim 46827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694  df-uz 12966  df-topgen 17614  df-ordt 17673  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-lm 23547  df-haus 23633  df-xlim 46828

This theorem is used by:  xlimliminflimsup  46871