Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimresdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimresdm 44190
Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimresdm.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
xlimresdm.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
xlimresdm (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm
StepHypRef Expression
1 xlimrel 44151 . . 3 Rel ~~>*
2 xlimdm 44188 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹)))
43biimpa 478 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
5 xlimresdm.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
65adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
7 xlimresdm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
96, 8xlimres 44152 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
104, 9mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
11 releldm 5903 . . 3 ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*)
121, 10, 11sylancr 588 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*)
13 xlimdm 44188 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1413biimpi 215 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>* → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1514adantl 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
165, 7xlimres 44152 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
1716adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
1815, 17mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
19 releldm 5903 . . 3 ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
201, 18, 19sylancr 588 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
2112, 20impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  cres 5639  Rel wrel 5642  cfv 6500  (class class class)co 7361  pm cpm 8772  cc 11057  *cxr 11196  cz 12507  cuz 12771  ~~>*clsxlim 44149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-z 12508  df-uz 12772  df-topgen 17333  df-ordt 17391  df-ps 18463  df-tsr 18464  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603  df-haus 22689  df-xlim 44150
This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  44193
  Copyright terms: Public domain W3C validator