Theorem xlimresdm 45850

Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 45811	. . 3 ⊢ Rel ~~>*
2		xlimdm 45848	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹)))
4	3	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
5		xlimresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
7		xlimresdm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	6, 8	xlimres 45812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
10	4, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
11		releldm 5910	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
12	1, 10, 11	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*)
13		xlimdm 45848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
14	13	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>* → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
16	5, 7	xlimres 45812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
18	15, 17	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
19		releldm 5910	. . 3 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
20	1, 18, 19	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
21	12, 20	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  dom cdm 5640   ↾ cres 5642  Rel wrel 5645  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ↑_pm cpm 8802  ℂcc 11072  ℝ^*cxr 11213  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ~~>*clsxlim 45809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fi 9368  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-z 12536  df-uz 12800  df-topgen 17412  df-ordt 17470  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-lm 23122  df-haus 23208  df-xlim 45810

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45853