Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimresdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimresdm 42488
 Description: A function converges in the extended reals iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimresdm.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
xlimresdm.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
xlimresdm (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*))

Proof of Theorem xlimresdm
StepHypRef Expression
1 xlimrel 42449 . . 3 Rel ~~>*
2 xlimdm 42486 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹)))
43biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘𝐹))
5 xlimresdm.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
65adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
7 xlimresdm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → 𝑀 ∈ ℤ)
96, 8xlimres 42450 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘𝐹) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)))
104, 9mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹))
11 releldm 5782 . . 3 ((Rel ~~>* ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*)
121, 10, 11sylancr 590 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*)
13 xlimdm 42486 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1413biimpi 219 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>* → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1514adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
165, 7xlimres 42450 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → (𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
1815, 17mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
19 releldm 5782 . . 3 ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(~~>*‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
201, 18, 19sylancr 590 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
2112, 20impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ~~>*))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  Rel wrel 5528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑pm cpm 8394  ℂcc 10528  ℝ*cxr 10667  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ~~>*clsxlim 42447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-z 11974  df-uz 12236  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-lm 21837  df-haus 21923  df-xlim 42448 This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42491
 Copyright terms: Public domain W3C validator