Theorem xmscl 24462

Description: Closure of the distance function of an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mscl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
xmscl	⊢ ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
2	1	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
3		mscl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
4		mscl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑀)
5	3, 4	xmsxmet2 24459	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ∞MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
6		xmetcl 24331	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ∈ ℝ*)
7	5, 6	syl3an1 1160	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ∈ ℝ*)
8	2, 7	eqeltrrd 2827	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5682   ↾ cres 5686  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℝ^*cxr 11299  Basecbs 17215  distcds 17277  ∞Metcxmet 21330  ∞MetSpcxms 24317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9487  df-inf 9488  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-topgen 17460  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-xms 24320

This theorem is referenced by: (None)