MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmscl 22595
Description: Closure of the distance function of an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d 𝐷 = (dist‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
xmscl ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmscl
StepHypRef Expression
1 ovres 7034 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
213adant1 1161 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
3 mscl.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑀)
4 mscl.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑀)
53, 4xmsxmet2 22592 . . 3 (𝑀 ∈ ∞MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
6 xmetcl 22464 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ∈ ℝ*)
75, 6syl3an1 1203 . 2 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ∈ ℝ*)
82, 7eqeltrrd 2879 1 ((𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   × cxp 5310  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  *cxr 10362  Basecbs 16184  distcds 16276  ∞Metcxmet 20053  ∞MetSpcxms 22450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-xms 22453
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator