Theorem xnn0xr 12469

Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xr	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12466	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 12400	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11172	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11176	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3, 6	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  +∞cpnf 11153  ℝ^*cxr 11155  ℕ₀cn0 12391  ℕ₀^*cxnn0 12464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-pnf 11158  df-xr 11160  df-nn 12136  df-n0 12392  df-xnn0 12465

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12476  tayl0  26306  umgrislfupgrlem  29111  vtxdlfgrval  29475  p1evtxdeq  29503  vtxdginducedm1  29533  ewlkle  29595  upgrewlkle2  29596  upgr2pthnlp  29721  nn0xmulclb  32765  lvecendof1f1o  33657  fldextrspundglemul  33703  constrext2chnlem  33774  usgrcyclgt2v  35186  cusgracyclt3v  35211  aks6d1c6lem3  42275