MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xr 12546
Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xr (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12543 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 12478 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11261 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11265 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
5 eleq1 2813 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
64, 5mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
73, 6jaoi 854 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
81, 7sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  +∞cpnf 11242  *cxr 11244  0cn0 12469  0*cxnn0 12541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-pnf 11247  df-xr 11249  df-nn 12210  df-n0 12470  df-xnn0 12542
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12553  tayl0  26215  umgrislfupgrlem  28851  vtxdlfgrval  29211  p1evtxdeq  29239  vtxdginducedm1  29269  ewlkle  29331  upgrewlkle2  29332  upgr2pthnlp  29458  nn0xmulclb  32453  usgrcyclgt2v  34611  cusgracyclt3v  34636
  Copyright terms: Public domain W3C validator