MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xr 11960
Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xr (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11957 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 11894 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10679 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10683 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
5 eleq1 2897 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
64, 5mpbiri 259 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
73, 6jaoi 851 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
81, 7sylbi 218 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  0cn0 11885  0*cxnn0 11955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-pnf 10665  df-xr 10667  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  11967  tayl0  24877  umgrislfupgrlem  26834  vtxdlfgrval  27194  p1evtxdeq  27222  vtxdginducedm1  27252  ewlkle  27314  upgrewlkle2  27315  upgr2pthnlp  27440  nn0xmulclb  30422  usgrcyclgt2v  32275  cusgracyclt3v  32300
  Copyright terms: Public domain W3C validator