Theorem xnn0xr 12602

Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xr	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 12533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11313	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3, 6	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292  ℕ₀cn0 12524  ℕ₀^*cxnn0 12597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-pnf 11295  df-xr 11297  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12609  tayl0  26418  umgrislfupgrlem  29154  vtxdlfgrval  29518  p1evtxdeq  29546  vtxdginducedm1  29576  ewlkle  29638  upgrewlkle2  29639  upgr2pthnlp  29765  nn0xmulclb  32782  lvecendof1f1o  33661  usgrcyclgt2v  35116  cusgracyclt3v  35141  aks6d1c6lem3  42154