MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xr 12601
Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xr (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12598 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 12533 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11314 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11318 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
5 eleq1 2814 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
64, 5mpbiri 257 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
73, 6jaoi 855 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
81, 7sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  +∞cpnf 11295  *cxr 11297  0cn0 12524  0*cxnn0 12596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-pnf 11300  df-xr 11302  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12608  tayl0  26389  umgrislfupgrlem  29058  vtxdlfgrval  29422  p1evtxdeq  29450  vtxdginducedm1  29480  ewlkle  29542  upgrewlkle2  29543  upgr2pthnlp  29669  nn0xmulclb  32675  usgrcyclgt2v  34959  cusgracyclt3v  34984  aks6d1c6lem3  41870
  Copyright terms: Public domain W3C validator