MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xr 12573
Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xr (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12570 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 12505 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11288 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11292 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
5 eleq1 2816 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
64, 5mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
73, 6jaoi 856 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
81, 7sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  +∞cpnf 11269  *cxr 11271  0cn0 12496  0*cxnn0 12568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-pnf 11274  df-xr 11276  df-nn 12237  df-n0 12497  df-xnn0 12569
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12580  tayl0  26289  umgrislfupgrlem  28928  vtxdlfgrval  29292  p1evtxdeq  29320  vtxdginducedm1  29350  ewlkle  29412  upgrewlkle2  29413  upgr2pthnlp  29539  nn0xmulclb  32535  usgrcyclgt2v  34731  cusgracyclt3v  34756  aks6d1c6lem3  41628
  Copyright terms: Public domain W3C validator