MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xr 12500
Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xr (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12497 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 12432 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11215 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11219 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
5 eleq1 2821 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
64, 5mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
73, 6jaoi 856 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
81, 7sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  +∞cpnf 11196  *cxr 11198  0cn0 12423  0*cxnn0 12495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7366  df-om 7809  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-pnf 11201  df-xr 11203  df-nn 12164  df-n0 12424  df-xnn0 12496
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12507  tayl0  25759  umgrislfupgrlem  28137  vtxdlfgrval  28497  p1evtxdeq  28525  vtxdginducedm1  28555  ewlkle  28617  upgrewlkle2  28618  upgr2pthnlp  28744  nn0xmulclb  31745  usgrcyclgt2v  33813  cusgracyclt3v  33838
  Copyright terms: Public domain W3C validator