Theorem xnn0xr 12024

Description: An extended nonnegative integer is an extended real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xr	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnn0xr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12021	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 11956	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 10742	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10746	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		eleq1 2839	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
6	4, 5	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3, 6	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  +∞cpnf 10723  ℝ^*cxr 10725  ℕ₀cn0 11947  ℕ₀^*cxnn0 12019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-pnf 10728  df-xr 10730  df-nn 11688  df-n0 11948  df-xnn0 12020

This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  12031  tayl0  25070  umgrislfupgrlem  27028  vtxdlfgrval  27388  p1evtxdeq  27416  vtxdginducedm1  27446  ewlkle  27508  upgrewlkle2  27509  upgr2pthnlp  27634  nn0xmulclb  30631  usgrcyclgt2v  32622  cusgracyclt3v  32647