Theorem upgrewlkle2 26737

Description: In a pseudograph, there is no s-walk of edges of length greater than 1 with s>2. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
upgrewlkle2	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)

Proof of Theorem upgrewlkle2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlkprop 26734	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
3		fvex 6344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
4		hashin 13401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6		simpl3 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7		upgruhgr 26218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	1	uhgrfun 26182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
10		funfn 6060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) ↔ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11	9, 10	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
12	11	3ad2ant3 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13	12	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
14		simpl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
15		elfzofz 12693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
16		fz1fzo0m1 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
18	17	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	14, 18	jca 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
20		wrdsymbcl 13514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
22	21	3ad2antl2 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
23		eqid 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24	23, 1	upgrle 26206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
25	6, 13, 22, 24	syl3anc 1476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
26	3	inex1 4934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V
27		hashxrcl 13350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ*)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ*
29		hashxrcl 13350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*
31		2re 11296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	rexri 10303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ*
33	28, 30, 32	3pm3.2i 1423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*))
35		xrletr 12194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2))
37	25, 36	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2))
38	5, 37	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2)
39		xnn0xr 11575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0* → 𝑆 ∈ ℝ*)
40	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0* → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ*)
41	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0* → 2 ∈ ℝ*)
42		xrletr 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0* → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
44	43	expcomd 402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0* → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
45	44	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
46	45	3ad2ant1 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
47	46	adantr 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
48	38, 47	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2))
49	48	ralimdva 3111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
50	49	3exp 1112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
51	50	com34 91	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
52	51	3imp 1101	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
53		lencl 13520	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
54		1zzd 11615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
55		nn0z 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
56	54, 55	jca 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ))
57		fzon 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
59	58	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≤ 1))
60		nn0re 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
61		1red 10261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
62	60, 61	jca 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
63		lenlt 10322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
65	59, 64	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
66	65	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ → ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
67	66	necon2ad 2958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅))
68	67	impcom 394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅)
69		rspn0 4082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2))
71	70	ex 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < (♯‘𝐹) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2)))
72	71	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑆 ≤ 2)))
73	72	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2))))
75	53, 74	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
76	75	3ad2ant2 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
77	52, 76	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
78	2, 77	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
79	78	3imp21 1105	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ∩ cin 3722  ∅c0 4063   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  ℝ^*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281   − cmin 10472  2c2 11276  ℕ₀cn0 11499  ℕ₀^*cxnn0 11570  ℤcz 11584  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UHGraphcuhgr 26172  UPGraphcupgr 26196   EdgWalks cewlks 26726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-ewlks 26729

This theorem is referenced by: (None)