Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrewlkle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrewlkle2 27321
 Description: In a pseudograph, there is no s-walk of edges of length greater than 1 with s>2. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
upgrewlkle2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)

Proof of Theorem upgrewlkle2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21ewlkprop 27318 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
3 fvex 6682 . . . . . . . . . . 11 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
4 hashin 13767 . . . . . . . . . . 11 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6 simpl3 1187 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7 upgruhgr 26820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
81uhgrfun 26784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
109funfnd 6385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11103ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13 elfzofz 13048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
14 fz1fzo0m1 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
16 wrdsymbcl 13870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
1715, 16sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18173ad2antl2 1180 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2019, 1upgrle 26808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
216, 12, 18, 20syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
223inex1 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V
23 hashxrcl 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*
25 hashxrcl 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*)
263, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*
27 2re 11705 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2827rexri 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ*
2924, 26, 283pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*))
31 xrletr 12546 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
3321, 32mpan2d 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
345, 33mpi 20 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2)
35 xnn0xr 11966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0*𝑆 ∈ ℝ*)
3624a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0* → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
3728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0* → 2 ∈ ℝ*)
38 xrletr 12546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ ℕ0* → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
4039expcomd 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0* → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
42413ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4434, 43mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2))
4544ralimdva 3182 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
46453exp 1113 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
4746com34 91 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
48473imp 1105 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
49 lencl 13878 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
50 1zzd 12007 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
51 nn0z 11999 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
52 fzon 13053 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
5350, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
54 nn0re 11900 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
55 1red 10636 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
5654, 55lenltd 10780 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
5753, 56bitr3d 282 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
5857biimpd 230 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ → ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
5958necon2ad 3036 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅))
60 rspn0 4317 . . . . . . . 8 ((1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2))
6159, 60syl6com 37 . . . . . . 7 (1 < (♯‘𝐹) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2)))
6261com3l 89 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
6349, 62syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
64633ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
6548, 64syld 47 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
662, 65syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
67663imp21 1108 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  Vcvv 3500   ∩ cin 3939  ∅c0 4295   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  Fun wfun 6348   Fn wfn 6349  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  2c2 11686  ℕ0cn0 11891  ℕ0*cxnn0 11961  ℤcz 11975  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  ♯chash 13685  Word cword 13856  Vtxcvtx 26714  iEdgciedg 26715  UHGraphcuhgr 26774  UPGraphcupgr 26798   EdgWalks cewlks 27310 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-uhgr 26776  df-upgr 26800  df-ewlks 27313 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator