MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrewlkle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrewlkle2 26737
Description: In a pseudograph, there is no s-walk of edges of length greater than 1 with s>2. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
upgrewlkle2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)

Proof of Theorem upgrewlkle2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21ewlkprop 26734 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
3 fvex 6344 . . . . . . . . . . 11 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
4 hashin 13401 . . . . . . . . . . 11 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6 simpl3 1231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7 upgruhgr 26218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
81uhgrfun 26182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
10 funfn 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun (iEdg‘𝐺) ↔ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
119, 10sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
12113ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
14 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
15 elfzofz 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
16 fz1fzo0m1 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1914, 18jca 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
20 wrdsymbcl 13514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
22213ad2antl2 1201 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
23 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2423, 1upgrle 26206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
256, 13, 22, 24syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
263inex1 4934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V
27 hashxrcl 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*
29 hashxrcl 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*)
303, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*
31 2re 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
3231rexri 10303 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ*
3328, 30, 323pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*))
35 xrletr 12194 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
3725, 36mpan2d 674 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
385, 37mpi 20 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2)
39 xnn0xr 11575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0*𝑆 ∈ ℝ*)
4028a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0* → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
4132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0* → 2 ∈ ℝ*)
42 xrletr 12194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ ℕ0* → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
4443expcomd 402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0* → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4544adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
46453ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4746adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4838, 47mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2))
4948ralimdva 3111 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
50493exp 1112 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
5150com34 91 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
52513imp 1101 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
53 lencl 13520 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
54 1zzd 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
55 nn0z 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
5654, 55jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ))
57 fzon 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
5958bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≤ 1))
60 nn0re 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
61 1red 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6260, 61jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
63 lenlt 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
6559, 64bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
6665biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ → ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
6766necon2ad 2958 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅))
6867impcom 394 . . . . . . . . . . 11 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅)
69 rspn0 4082 . . . . . . . . . . 11 ((1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2))
7170ex 397 . . . . . . . . 9 (1 < (♯‘𝐹) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2)))
7271com23 86 . . . . . . . 8 (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ≤ 2)))
7372com13 88 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2))))
7553, 74mpd 15 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
76753ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
7752, 76syld 47 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
782, 77syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
79783imp21 1105 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  cin 3722  c0 4063   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  2c2 11276  0cn0 11499  0*cxnn0 11570  cz 11584  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UHGraphcuhgr 26172  UPGraphcupgr 26196   EdgWalks cewlks 26726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-ewlks 26729
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator