MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrewlkle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrewlkle2 27321
Description: In a pseudograph, there is no s-walk of edges of length greater than 1 with s>2. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
upgrewlkle2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)

Proof of Theorem upgrewlkle2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21ewlkprop 27318 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
3 fvex 6682 . . . . . . . . . . 11 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
4 hashin 13767 . . . . . . . . . . 11 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6 simpl3 1187 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7 upgruhgr 26820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
81uhgrfun 26784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
109funfnd 6385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
11103ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺))
13 elfzofz 13048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
14 fz1fzo0m1 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
16 wrdsymbcl 13870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
1715, 16sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18173ad2antl2 1180 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2019, 1upgrle 26808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺) Fn dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
216, 12, 18, 20syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2)
223inex1 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V
23 hashxrcl 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*
25 hashxrcl 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*)
263, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ*
27 2re 11705 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2827rexri 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ*
2924, 26, 283pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*))
31 xrletr 12546 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ∧ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ≤ 2) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
3321, 32mpan2d 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ (♯‘((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2))
345, 33mpi 20 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2)
35 xnn0xr 11966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0*𝑆 ∈ ℝ*)
3624a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0* → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
3728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℕ0* → 2 ∈ ℝ*)
38 xrletr 12546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ ℕ0* → ((𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2) → 𝑆 ≤ 2))
4039expcomd 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0* → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
42413ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ≤ 2 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2)))
4434, 43mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑆 ≤ 2))
4544ralimdva 3182 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
46453exp 1113 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
4746com34 91 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))))
48473imp 1105 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2))
49 lencl 13878 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
50 1zzd 12007 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
51 nn0z 11999 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
52 fzon 13053 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
5350, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘𝐹)) = ∅))
54 nn0re 11900 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
55 1red 10636 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
5654, 55lenltd 10780 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
5753, 56bitr3d 282 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ ↔ ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
5857biimpd 230 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((1..^(♯‘𝐹)) = ∅ → ¬ 1 < (♯‘𝐹)))
5958necon2ad 3036 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅))
60 rspn0 4317 . . . . . . . 8 ((1..^(♯‘𝐹)) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2))
6159, 60syl6com 37 . . . . . . 7 (1 < (♯‘𝐹) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → 𝑆 ≤ 2)))
6261com3l 89 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
6349, 62syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
64633ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ 2 → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
6548, 64syld 47 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
662, 65syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐺 ∈ UPGraph → (1 < (♯‘𝐹) → 𝑆 ≤ 2)))
67663imp21 1108 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  Vcvv 3500  cin 3939  c0 4295   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  Fun wfun 6348   Fn wfn 6349  cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  2c2 11686  0cn0 11891  0*cxnn0 11961  cz 11975  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  chash 13685  Word cword 13856  Vtxcvtx 26714  iEdgciedg 26715  UHGraphcuhgr 26774  UPGraphcupgr 26798   EdgWalks cewlks 27310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-uhgr 26776  df-upgr 26800  df-ewlks 27313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator