Theorem usgrcyclgt2v 35182

Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrcyclgt2v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrcyclgt2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Proof of Theorem usgrcyclgt2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12205	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	rexri 11176	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 ∈ ℝ*)
4		cycliswlk 29783	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		wlkcl 29601	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0xnn0 12464	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0*)
7		xnn0xr 12465	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0* → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		usgrcyclgt2v.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6842	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		hashxnn0 14252	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
13		xnn0xr 12465	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
16		usgrgt2cycl 35181	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
17		cyclispth 29782	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
18	10	pthhashvtx 35179	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
20	19	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
21	3, 9, 15, 16, 20	xrltletrd 13066	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  ℝ^*cxr 11151   < clt 11152   ≤ cle 11153  2c2 12186  ℕ₀cn0 12387  ℕ₀^*cxnn0 12460  ♯chash 14243  Vtxcvtx 28981  USGraphcusgr 29134  Walkscwlks 29582  Pathscpths 29695  Cyclesccycls 29770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-edg 29033  df-uhgr 29043  df-upgr 29067  df-umgr 29068  df-uspgr 29135  df-usgr 29136  df-wlks 29585  df-trls 29676  df-pths 29699  df-crcts 29771  df-cycls 29772

This theorem is referenced by:  acycgr2v  35201  cusgracyclt3v  35207