Theorem usgrcyclgt2v 35306

Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrcyclgt2v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrcyclgt2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Proof of Theorem usgrcyclgt2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12223	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	rexri 11194	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 ∈ ℝ*)
4		cycliswlk 29854	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		wlkcl 29672	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0xnn0 12482	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0*)
7		xnn0xr 12483	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0* → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		usgrcyclgt2v.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6849	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		hashxnn0 14266	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
13		xnn0xr 12483	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
16		usgrgt2cycl 35305	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
17		cyclispth 29853	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
18	10	pthhashvtx 35303	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
20	19	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
21	3, 9, 15, 16, 20	xrltletrd 13079	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ℕ₀^*cxnn0 12478  ♯chash 14257  Vtxcvtx 29052  USGraphcusgr 29205  Walkscwlks 29653  Pathscpths 29766  Cyclesccycls 29841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-edg 29104  df-uhgr 29114  df-upgr 29138  df-umgr 29139  df-uspgr 29206  df-usgr 29207  df-wlks 29656  df-trls 29747  df-pths 29770  df-crcts 29842  df-cycls 29843

This theorem is referenced by:  acycgr2v  35325  cusgracyclt3v  35331