Theorem usgrcyclgt2v 35301

Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrcyclgt2v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrcyclgt2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Proof of Theorem usgrcyclgt2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12244	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	rexri 11192	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 ∈ ℝ*)
4		cycliswlk 29854	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		wlkcl 29672	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0xnn0 12503	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0*)
7		xnn0xr 12504	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0* → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		usgrcyclgt2v.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6843	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		hashxnn0 14290	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
13		xnn0xr 12504	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
16		usgrgt2cycl 35300	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
17		cyclispth 29853	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
18	10	pthhashvtx 35298	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
20	19	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
21	3, 9, 15, 16, 20	xrltletrd 13101	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  Vcvv 3427  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ℕ₀^*cxnn0 12499  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29053  USGraphcusgr 29206  Walkscwlks 29653  Pathscpths 29766  Cyclesccycls 29841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-edg 29105  df-uhgr 29115  df-upgr 29139  df-umgr 29140  df-uspgr 29207  df-usgr 29208  df-wlks 29656  df-trls 29747  df-pths 29770  df-crcts 29842  df-cycls 29843

This theorem is referenced by:  acycgr2v  35320  cusgracyclt3v  35326