Theorem usgrcyclgt2v 35125

Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrcyclgt2v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrcyclgt2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Proof of Theorem usgrcyclgt2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	rexri 11239	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 ∈ ℝ*)
4		cycliswlk 29735	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		wlkcl 29550	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0xnn0 12526	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0*)
7		xnn0xr 12527	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0* → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		usgrcyclgt2v.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		hashxnn0 14311	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
13		xnn0xr 12527	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
16		usgrgt2cycl 35124	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
17		cyclispth 29734	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
18	10	pthhashvtx 35122	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
20	19	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
21	3, 9, 15, 16, 20	xrltletrd 13128	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℕ₀^*cxnn0 12522  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  USGraphcusgr 29083  Walkscwlks 29531  Pathscpths 29647  Cyclesccycls 29722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-pths 29651  df-crcts 29723  df-cycls 29724

This theorem is referenced by:  acycgr2v  35144  cusgracyclt3v  35150