Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrcyclgt2v Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgrcyclgt2v 34664
Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrcyclgt2v.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclgt2v ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
Proof of Theorem usgrcyclgt2v
StepHypRef Expression
1 2re 12302 . . . 4 2 ∈ ℝ
21rexri 11288 . . 3 2 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 ∈ ℝ*)
4 cycliswlk 29586 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
5 wlkcl 29403 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 nn0xnn0 12564 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0*)
8 xnn0xr 12565 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1132 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
11 usgrcyclgt2v.1 . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1211fvexi 6905 . . . 4 𝑉 ∈ V
13 hashxnn0 14316 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*)
14 xnn0xr 12565 . . . 4 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
1512, 13, 14mp2b 10 . . 3 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
17 usgrgt2cycl 34663 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
18 cyclispth 29585 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
1911pthhashvtx 34660 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
21203ad2ant2 1132 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
223, 10, 16, 17, 21xrltletrd 13158 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„•0*cxnn0 12560  β™―chash 14307  Vtxcvtx 28783  USGraphcusgr 28936  Walkscwlks 29384  Pathscpths 29500  Cyclesccycls 29573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-upgr 28869  df-umgr 28870  df-uspgr 28937  df-usgr 28938  df-wlks 29387  df-trls 29480  df-pths 29504  df-crcts 29574  df-cycls 29575
This theorem is referenced by:  acycgr2v  34683  cusgracyclt3v  34689
  Copyright terms: Public domain W3C validator