Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrcyclgt2v Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgrcyclgt2v 34794
Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrcyclgt2v.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclgt2v ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
Proof of Theorem usgrcyclgt2v
StepHypRef Expression
1 2re 12311 . . . 4 2 ∈ ℝ
21rexri 11297 . . 3 2 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 ∈ ℝ*)
4 cycliswlk 29651 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
5 wlkcl 29468 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 nn0xnn0 12573 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0*)
8 xnn0xr 12574 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
11 usgrcyclgt2v.1 . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1211fvexi 6904 . . . 4 𝑉 ∈ V
13 hashxnn0 14325 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*)
14 xnn0xr 12574 . . . 4 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
1512, 13, 14mp2b 10 . . 3 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
17 usgrgt2cycl 34793 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
18 cyclispth 29650 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
1911pthhashvtx 34790 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
21203ad2ant2 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
223, 10, 16, 17, 21xrltletrd 13167 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„•0*cxnn0 12569  β™―chash 14316  Vtxcvtx 28848  USGraphcusgr 29001  Walkscwlks 29449  Pathscpths 29565  Cyclesccycls 29638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-edg 28900  df-uhgr 28910  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-uspgr 29002  df-usgr 29003  df-wlks 29452  df-trls 29545  df-pths 29569  df-crcts 29639  df-cycls 29640
This theorem is referenced by:  acycgr2v  34813  cusgracyclt3v  34819
  Copyright terms: Public domain W3C validator