Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrcyclgt2v Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgrcyclgt2v 34110
Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrcyclgt2v.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclgt2v ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
Proof of Theorem usgrcyclgt2v
StepHypRef Expression
1 2re 12282 . . . 4 2 ∈ ℝ
21rexri 11268 . . 3 2 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 ∈ ℝ*)
4 cycliswlk 29044 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
5 wlkcl 28861 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 nn0xnn0 12544 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0*)
8 xnn0xr 12545 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1134 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
11 usgrcyclgt2v.1 . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1211fvexi 6902 . . . 4 𝑉 ∈ V
13 hashxnn0 14295 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*)
14 xnn0xr 12545 . . . 4 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
1512, 13, 14mp2b 10 . . 3 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
17 usgrgt2cycl 34109 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
18 cyclispth 29043 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
1911pthhashvtx 34106 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
21203ad2ant2 1134 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ (β™―β€˜π‘‰))
223, 10, 16, 17, 21xrltletrd 13136 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„•0*cxnn0 12540  β™―chash 14286  Vtxcvtx 28245  USGraphcusgr 28398  Walkscwlks 28842  Pathscpths 28958  Cyclesccycls 29031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-edg 28297  df-uhgr 28307  df-upgr 28331  df-umgr 28332  df-uspgr 28399  df-usgr 28400  df-wlks 28845  df-trls 28938  df-pths 28962  df-crcts 29032  df-cycls 29033
This theorem is referenced by:  acycgr2v  34129  cusgracyclt3v  34135
  Copyright terms: Public domain W3C validator