Theorem usgrcyclgt2v 35589

Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrcyclgt2v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrcyclgt2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Proof of Theorem usgrcyclgt2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12314	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	rexri 11266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 ∈ ℝ*)
4		cycliswlk 30113	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		wlkcl 29931	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0xnn0 12580	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0*)
7		xnn0xr 12581	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0* → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		usgrcyclgt2v.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		hashxnn0 14374	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
13		xnn0xr 12581	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
16		usgrgt2cycl 35588	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
17		cyclispth 30112	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
18	10	pthhashvtx 35586	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
20	19	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
21	3, 9, 15, 16, 20	xrltletrd 13185	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℕ₀^*cxnn0 12576  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29312  USGraphcusgr 29465  Walkscwlks 29912  Pathscpths 30025  Cyclesccycls 30100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-edg 29364  df-uhgr 29374  df-upgr 29398  df-umgr 29399  df-uspgr 29466  df-usgr 29467  df-wlks 29915  df-trls 30006  df-pths 30029  df-crcts 30101  df-cycls 30102

This theorem is referenced by:  acycgr2v  35608  cusgracyclt3v  35614