Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrcyclgt2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrcyclgt2v 32452
 Description: A simple graph with a non-trivial cycle must have at least 3 vertices. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrcyclgt2v.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclgt2v ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))

Proof of Theorem usgrcyclgt2v
StepHypRef Expression
1 2re 11699 . . . 4 2 ∈ ℝ
21rexri 10688 . . 3 2 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 ∈ ℝ*)
4 cycliswlk 27585 . . . . 5 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5 wlkcl 27403 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 nn0xnn0 11959 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0*)
8 xnn0xr 11960 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0* → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 usgrcyclgt2v.1 . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1211fvexi 6666 . . . 4 𝑉 ∈ V
13 hashxnn0 13695 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
14 xnn0xr 11960 . . . 4 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
1512, 13, 14mp2b 10 . . 3 (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
17 usgrgt2cycl 32451 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
18 cyclispth 27584 . . . 4 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
1911pthhashvtx 32448 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
21203ad2ant2 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
223, 10, 16, 17, 21xrltletrd 12542 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  Vcvv 3469  ∅c0 4265   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  ℕ0*cxnn0 11955  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26787  USGraphcusgr 26940  Walkscwlks 27384  Pathscpths 27499  Cyclesccycls 27572 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-edg 26839  df-uhgr 26849  df-upgr 26873  df-umgr 26874  df-uspgr 26941  df-usgr 26942  df-wlks 27387  df-trls 27480  df-pths 27503  df-crcts 27573  df-cycls 27574 This theorem is referenced by:  acycgr2v  32471  cusgracyclt3v  32477
 Copyright terms: Public domain W3C validator