Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ewlkle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ewlkle 27398
 Description: An s-walk of edges is also a t-walk of edges if 𝑡 ≤ 𝑠. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ewlkle ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇))

Proof of Theorem ewlkle
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21ewlkprop 27396 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
3 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4 xnn0xr 11969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℝ*)
54adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → 𝑇 ∈ ℝ*)
6 xnn0xr 11969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ ℕ0*𝑆 ∈ ℝ*)
76adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → 𝑆 ∈ ℝ*)
8 fvex 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
98inex1 5207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V
10 hashxrcl 13723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ∈ V → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*)
12 xrletr 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ*) → ((𝑇𝑆𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → 𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
135, 7, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ0*𝑇 ∈ ℕ0*) → ((𝑇𝑆𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → 𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
1413exp4b 434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0* → (𝑇 ∈ ℕ0* → (𝑇𝑆 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))))
1514adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝑇 ∈ ℕ0* → (𝑇𝑆 → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))))
1615imp32 422 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → (𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → 𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
1716ralimdv 3173 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))
1817ex 416 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
1918com23 86 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
2019a1d 25 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))))))
21203imp1 1344 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
22 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝐺 ∈ V)
23 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝑇 ∈ ℕ0*)
241isewlk 27395 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ ℕ0*𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
2522, 23, 3, 24syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑇 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))))
263, 21, 25mpbir2and 712 . . . 4 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) ∧ (𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇))
2726ex 416 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇)))
282, 27syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇)))
29283impib 1113 1 ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝑇 ∈ ℕ0*𝑇𝑆) → 𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1c1 10536  ℝ*cxr 10672   ≤ cle 10674   − cmin 10868  ℕ0*cxnn0 11964  ..^cfzo 13037  ♯chash 13695  Word cword 13866  iEdgciedg 26793   EdgWalks cewlks 27388 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-ewlks 27391 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator