Theorem p1evtxdeq 29923

Description: If an edge 𝐸 which does not contain vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is the same in both graphs. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
p1evtxdeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∉ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeq	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

Proof of Theorem p1evtxdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		p1evtxdeq.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		p1evtxdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		p1evtxdeq.fv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6		p1evtxdeq.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
8		p1evtxdeq.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		p1evtxdeq.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	p1evtxdeqlem 29922	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
11	1	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14		opiedgfv 29414	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
15	13, 14	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16		opvtxfv 29411	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
17	13, 16	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18		p1evtxdeq.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∉ 𝐸)
19	15, 17, 6, 8, 9, 18	1hevtxdg0 29915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 0)
20	19	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0))
21	1	vtxdgelxnn0 29882	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0*)
22		xnn0xr 12599	. . . 4 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0* → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
23	8, 21, 22	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
24	23	xaddridd 13287	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
25	10, 20, 24	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066  Vcvv 3457   ∪ cun 3904  {csn 4591  ⟨cop 4597  dom cdm 5663  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  ℝ^*cxr 11259  ℕ₀^*cxnn0 12594   +_𝑒 cxad 13153  Vtxcvtx 29403  iEdgciedg 29404  VtxDegcvtxdg 29875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-xadd 13156  df-fz 13554  df-hash 14387  df-vtx 29405  df-iedg 29406  df-vtxdg 29876

This theorem is used by:  vdegp1ai  29946