Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeq 27402
 Description: If an edge 𝐸 which does not contain vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is the same in both graphs. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
p1evtxdeq.n (𝜑𝑈𝐸)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeq (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

Proof of Theorem p1evtxdeq
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 p1evtxdeq.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 p1evtxdeq.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 p1evtxdeq.fv . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5 p1evtxdeq.fi . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
7 p1evtxdeq.d . . 3 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
8 p1evtxdeq.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 p1evtxdeq.e . . 3 (𝜑𝐸𝑌)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9p1evtxdeqlem 27401 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
111fvexi 6672 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
12 snex 5300 . . . . . 6 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
1311, 12pm3.2i 474 . . . . 5 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14 opiedgfv 26899 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16 opvtxfv 26896 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
1713, 16mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18 p1evtxdeq.n . . . 4 (𝜑𝑈𝐸)
1915, 17, 6, 8, 9, 181hevtxdg0 27394 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 0)
2019oveq2d 7166 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0))
211vtxdgelxnn0 27361 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0*)
22 xnn0xr 12011 . . . 4 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0* → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
2423xaddid1d 12677 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
2510, 20, 243eqtrd 2797 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3055  Vcvv 3409   ∪ cun 3856  {csn 4522  ⟨cop 4528  dom cdm 5524  Fun wfun 6329  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  ℝ*cxr 10712  ℕ0*cxnn0 12006   +𝑒 cxad 12546  Vtxcvtx 26888  iEdgciedg 26889  VtxDegcvtxdg 27354 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-xadd 12549  df-fz 12940  df-hash 13741  df-vtx 26890  df-iedg 26891  df-vtxdg 27355 This theorem is referenced by:  vdegp1ai  27425
 Copyright terms: Public domain W3C validator