MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeq 29546
Description: If an edge 𝐸 which does not contain vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is the same in both graphs. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
p1evtxdeq.n (𝜑𝑈𝐸)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeq (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

Proof of Theorem p1evtxdeq
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 p1evtxdeq.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 p1evtxdeq.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 p1evtxdeq.fv . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5 p1evtxdeq.fi . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
7 p1evtxdeq.d . . 3 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
8 p1evtxdeq.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 p1evtxdeq.e . . 3 (𝜑𝐸𝑌)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9p1evtxdeqlem 29545 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
111fvexi 6921 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
12 snex 5442 . . . . . 6 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
1311, 12pm3.2i 470 . . . . 5 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14 opiedgfv 29039 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16 opvtxfv 29036 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
1713, 16mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18 p1evtxdeq.n . . . 4 (𝜑𝑈𝐸)
1915, 17, 6, 8, 9, 181hevtxdg0 29538 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 0)
2019oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0))
211vtxdgelxnn0 29505 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0*)
22 xnn0xr 12602 . . . 4 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0* → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
2423xaddridd 13282 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
2510, 20, 243eqtrd 2779 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631  cop 4637  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292  0*cxnn0 12597   +𝑒 cxad 13150  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  vdegp1ai  29569
  Copyright terms: Public domain W3C validator