MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeq 27925
Description: If an edge 𝐸 which does not contain vertex π‘ˆ is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of π‘ˆ is the same in both graphs. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
p1evtxdeq.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d (πœ‘ β†’ 𝐾 βˆ‰ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
p1evtxdeq.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Œ)
p1evtxdeq.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ βˆ‰ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeq (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem p1evtxdeq
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 p1evtxdeq.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 p1evtxdeq.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 p1evtxdeq.fv . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
5 p1evtxdeq.fi . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6 p1evtxdeq.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
7 p1evtxdeq.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 βˆ‰ dom 𝐼)
8 p1evtxdeq.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
9 p1evtxdeq.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Œ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9p1evtxdeqlem 27924 . 2 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)β€˜π‘ˆ)))
111fvexi 6818 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
12 snex 5363 . . . . . 6 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
1311, 12pm3.2i 472 . . . . 5 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14 opiedgfv 27422 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16 opvtxfv 27419 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
1713, 16mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18 p1evtxdeq.n . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βˆ‰ 𝐸)
1915, 17, 6, 8, 9, 181hevtxdg0 27917 . . 3 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)β€˜π‘ˆ) = 0)
2019oveq2d 7323 . 2 (πœ‘ β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)β€˜π‘ˆ)) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 0))
211vtxdgelxnn0 27884 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0*)
22 xnn0xr 12356 . . . 4 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0* β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ*)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ*)
2423xaddid1d 13023 . 2 (πœ‘ β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 0) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))
2510, 20, 243eqtrd 2780 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ‰ wnel 3047  Vcvv 3437   βˆͺ cun 3890  {csn 4565  βŸ¨cop 4571  dom cdm 5600  Fun wfun 6452  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10917  β„*cxr 11054  β„•0*cxnn0 12351   +𝑒 cxad 12892  Vtxcvtx 27411  iEdgciedg 27412  VtxDegcvtxdg 27877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-xnn0 12352  df-z 12366  df-uz 12629  df-xadd 12895  df-fz 13286  df-hash 14091  df-vtx 27413  df-iedg 27414  df-vtxdg 27878
This theorem is referenced by:  vdegp1ai  27948
  Copyright terms: Public domain W3C validator