MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdlfgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdlfgrval 29518
Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdlfgrval ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6908 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxdlfgrval.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxdlfgrval.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 vtxdlfgrval.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 29501 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
76adantl 481 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
82, 7eqtrid 2787 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
9 eqid 2735 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
104, 5, 9lfgrnloop 29157 . . . . . 6 (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1211fveq2d 6911 . . . 4 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
13 hash0 14403 . . . 4 (♯‘∅) = 0
1412, 13eqtrdi 2791 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = 0)
1514oveq2d 7447 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0))
164dmeqi 5918 . . . . . . 7 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
175, 16eqtri 2763 . . . . . 6 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18 fvex 6920 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1918dmex 7932 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
2017, 19eqeltri 2835 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2120rabex 5345 . . . 4 {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V
22 hashxnn0 14375 . . . 4 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23 xnn0xr 12602 . . . 4 ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*)
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3 (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*
25 xaddrid 13280 . . 3 ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
2624, 25mp1i 13 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
278, 15, 263eqtrd 2779 1 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294  2c2 12319  0*cxnn0 12597   +𝑒 cxad 13150  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  29519  1hevtxdg1  29539
  Copyright terms: Public domain W3C validator