MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdlfgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdlfgrval 29503
Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdlfgrval ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6907 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxdlfgrval.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxdlfgrval.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 vtxdlfgrval.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 29486 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
76adantl 481 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
82, 7eqtrid 2789 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
9 eqid 2737 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
104, 5, 9lfgrnloop 29142 . . . . . 6 (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1211fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
13 hash0 14406 . . . 4 (♯‘∅) = 0
1412, 13eqtrdi 2793 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = 0)
1514oveq2d 7447 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0))
164dmeqi 5915 . . . . . . 7 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
175, 16eqtri 2765 . . . . . 6 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18 fvex 6919 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1918dmex 7931 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
2017, 19eqeltri 2837 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2120rabex 5339 . . . 4 {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V
22 hashxnn0 14378 . . . 4 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23 xnn0xr 12604 . . . 4 ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*)
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3 (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*
25 xaddrid 13283 . . 3 ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
2624, 25mp1i 13 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
278, 15, 263eqtrd 2781 1 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  *cxr 11294  cle 11296  2c2 12321  0*cxnn0 12599   +𝑒 cxad 13152  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  29504  1hevtxdg1  29524
  Copyright terms: Public domain W3C validator