Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdlfgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdlfgrval 27285
 Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdlfgrval ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6647 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxdlfgrval.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxdlfgrval.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 vtxdlfgrval.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 27268 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
76adantl 485 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
82, 7syl5eq 2845 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
9 eqid 2798 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
104, 5, 9lfgrnloop 26928 . . . . . 6 (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1211fveq2d 6650 . . . 4 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
13 hash0 13727 . . . 4 (♯‘∅) = 0
1412, 13eqtrdi 2849 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = 0)
1514oveq2d 7152 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0))
164dmeqi 5738 . . . . . . 7 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
175, 16eqtri 2821 . . . . . 6 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18 fvex 6659 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1918dmex 7601 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
2017, 19eqeltri 2886 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2120rabex 5200 . . . 4 {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V
22 hashxnn0 13698 . . . 4 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23 xnn0xr 11963 . . . 4 ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*)
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3 (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*
25 xaddid1 12625 . . 3 ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
2624, 25mp1i 13 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
278, 15, 263eqtrd 2837 1 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5031  dom cdm 5520  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668  2c2 11683  ℕ0*cxnn0 11958   +𝑒 cxad 12496  ♯chash 13689  Vtxcvtx 26799  iEdgciedg 26800  VtxDegcvtxdg 27265 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-xadd 12499  df-fz 12889  df-hash 13690  df-vtxdg 27266 This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  27286  1hevtxdg1  27306
 Copyright terms: Public domain W3C validator