Theorem vtxdlfgrval 29579

Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdlfgrval	⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6	3, 4, 5	vtxdgval 29562	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
8	2, 7	eqtrid 2787	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
10	4, 5, 9	lfgrnloop 29219	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
11	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
12	11	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
13		hash0 14327	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
15	14	oveq2d 7379	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0))
16	4	dmeqi 5853	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
17	5, 16	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
19	18	dmex 7856	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
20	17, 19	eqeltri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
21	20	rabex 5274	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ V
22		hashxnn0 14299	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23		xnn0xr 12513	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ*
25		xaddrid 13191	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
26	24, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
27	8, 15, 26	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178  2c2 12234  ℕ₀^*cxnn0 12508   +_𝑒 cxad 13059  ♯chash 14290  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  VtxDegcvtxdg 29559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-xadd 13062  df-fz 13460  df-hash 14291  df-vtxdg 29560

This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  29580  1hevtxdg1  29600