Theorem vtxdlfgrval 29571

Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdlfgrval	⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6843	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6	3, 4, 5	vtxdgval 29554	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
8	2, 7	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
10	4, 5, 9	lfgrnloop 29210	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
12	11	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
13		hash0 14302	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
15	14	oveq2d 7384	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0))
16	4	dmeqi 5861	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
17	5, 16	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
19	18	dmex 7861	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
20	17, 19	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
21	20	rabex 5286	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ V
22		hashxnn0 14274	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23		xnn0xr 12491	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ*)
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ*
25		xaddrid 13168	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
26	24, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
27	8, 15, 26	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  2c2 12212  ℕ₀^*cxnn0 12486   +_𝑒 cxad 13036  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  VtxDegcvtxdg 29551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-xadd 13039  df-fz 13436  df-hash 14266  df-vtxdg 29552

This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  29572  1hevtxdg1  29592