MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdlfgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdlfgrval 28482
Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxdlfgrval ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem vtxdlfgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.d . . . 4 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
21fveq1i 6847 . . 3 (π·β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
3 vtxdlfgrval.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 vtxdlfgrval.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
5 vtxdlfgrval.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 28465 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
76adantl 483 . . 3 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
82, 7eqtrid 2785 . 2 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
9 eqid 2733 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
104, 5, 9lfgrnloop 28125 . . . . . 6 (𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}} = βˆ…)
1110adantr 482 . . . . 5 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}} = βˆ…)
1211fveq2d 6850 . . . 4 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) = (β™―β€˜βˆ…))
13 hash0 14276 . . . 4 (β™―β€˜βˆ…) = 0
1412, 13eqtrdi 2789 . . 3 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) = 0)
1514oveq2d 7377 . 2 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 0))
164dmeqi 5864 . . . . . . 7 dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ)
175, 16eqtri 2761 . . . . . 6 𝐴 = dom (iEdgβ€˜πΊ)
18 fvex 6859 . . . . . . 7 (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
1918dmex 7852 . . . . . 6 dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
2017, 19eqeltri 2830 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2120rabex 5293 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ V
22 hashxnn0 14248 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ β„•0*)
23 xnn0xr 12498 . . . 4 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ*)
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ*
25 xaddid1 13169 . . 3 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ* β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 0) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
2624, 25mp1i 13 . 2 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 0) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
278, 15, 263eqtrd 2777 1 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  2c2 12216  β„•0*cxnn0 12493   +𝑒 cxad 13039  β™―chash 14239  Vtxcvtx 27996  iEdgciedg 27997  VtxDegcvtxdg 28462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-hash 14240  df-vtxdg 28463
This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  28483  1hevtxdg1  28503
  Copyright terms: Public domain W3C validator