Theorem monoord2xr 45930

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2xr.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
monoord2xr.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
monoord2xr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2xr.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xr.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2xr	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem monoord2xr

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2xr.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2xr.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)
4	2, 3	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
5		monoord2xr.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
6		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
7	5, 6	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
8		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ*
9	7, 8	nfel 2914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*
10	4, 9	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		eleq1w 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	11	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
13		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
14	13	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*))
15	12, 14	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)))
16		monoord2xr.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
17	10, 15, 16	chvarfv 2248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
18		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
19	2, 18	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
20		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
21	5, 20	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
22		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
23	21, 22, 7	nfbr 5133	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
24	19, 23	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
25		eleq1w 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
26	25	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
27		fvoveq1 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
28	27, 13	breq12d 5099	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
29	26, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
30		monoord2xr.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
31	24, 29, 30	chvarfv 2248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
32	1, 17, 31	monoord2xrv 45929	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-xneg 13054  df-fz 13453

This theorem is referenced by: (None)