Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monoord2xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord2xr 44930
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xr.p 𝑘𝜑
monoord2xr.k 𝑘𝐹
monoord2xr.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xr.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xr.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xr (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem monoord2xr
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xr.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xr.p . . . . 5 𝑘𝜑
3 nfv 1909 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)
42, 3nfan 1894 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
5 monoord2xr.k . . . . . 6 𝑘𝐹
6 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘𝑗
75, 6nffv 6902 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
8 nfcv 2892 . . . . 5 𝑘*
97, 8nfel 2907 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℝ*
104, 9nfim 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
11 eleq1w 2808 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 628 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
13 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1413eleq1d 2810 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ*))
1512, 14imbi12d 343 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)))
16 monoord2xr.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
1710, 15, 16chvarfv 2228 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
18 nfv 1909 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
192, 18nfan 1894 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
20 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘(𝑗 + 1)
215, 20nffv 6902 . . . . 5 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
22 nfcv 2892 . . . . 5 𝑘
2321, 22, 7nfbr 5190 . . . 4 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)
2419, 23nfim 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
25 eleq1w 2808 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2625anbi2d 628 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
27 fvoveq1 7439 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
2827, 13breq12d 5156 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)))
2926, 28imbi12d 343 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))))
30 monoord2xr.l . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
3124, 29, 30chvarfv 2228 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
321, 17, 31monoord2xrv 44929 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2875   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141  *cxr 11277  cle 11279  cmin 11474  cuz 12852  ...cfz 13516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-xneg 13124  df-fz 13517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator