Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monoord2xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord2xr 45400
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xr.p 𝑘𝜑
monoord2xr.k 𝑘𝐹
monoord2xr.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xr.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xr.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xr (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem monoord2xr
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xr.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xr.p . . . . 5 𝑘𝜑
3 nfv 1913 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)
42, 3nfan 1898 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
5 monoord2xr.k . . . . . 6 𝑘𝐹
6 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘𝑗
75, 6nffv 6930 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
8 nfcv 2908 . . . . 5 𝑘*
97, 8nfel 2923 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℝ*
104, 9nfim 1895 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
11 eleq1w 2827 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 629 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
13 fveq2 6920 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1413eleq1d 2829 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ*))
1512, 14imbi12d 344 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)))
16 monoord2xr.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
1710, 15, 16chvarfv 2241 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
18 nfv 1913 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
192, 18nfan 1898 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
20 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘(𝑗 + 1)
215, 20nffv 6930 . . . . 5 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
22 nfcv 2908 . . . . 5 𝑘
2321, 22, 7nfbr 5213 . . . 4 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)
2419, 23nfim 1895 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
25 eleq1w 2827 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2625anbi2d 629 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
27 fvoveq1 7471 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
2827, 13breq12d 5179 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)))
2926, 28imbi12d 344 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))))
30 monoord2xr.l . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
3124, 29, 30chvarfv 2241 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
321, 17, 31monoord2xrv 45399 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1781  wcel 2108  wnfc 2893   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  *cxr 11323  cle 11325  cmin 11520  cuz 12903  ...cfz 13567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-xneg 13175  df-fz 13568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator