Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monoord2xr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord2xr 43727
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xr.p 𝑘𝜑
monoord2xr.k 𝑘𝐹
monoord2xr.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xr.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xr.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xr (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem monoord2xr
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xr.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xr.p . . . . 5 𝑘𝜑
3 nfv 1918 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)
42, 3nfan 1903 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
5 monoord2xr.k . . . . . 6 𝑘𝐹
6 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘𝑗
75, 6nffv 6853 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
8 nfcv 2908 . . . . 5 𝑘*
97, 8nfel 2922 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℝ*
104, 9nfim 1900 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
11 eleq1w 2821 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
13 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1413eleq1d 2823 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ*))
1512, 14imbi12d 345 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)))
16 monoord2xr.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
1710, 15, 16chvarfv 2234 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
18 nfv 1918 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
192, 18nfan 1903 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
20 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘(𝑗 + 1)
215, 20nffv 6853 . . . . 5 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
22 nfcv 2908 . . . . 5 𝑘
2321, 22, 7nfbr 5153 . . . 4 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)
2419, 23nfim 1900 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
25 eleq1w 2821 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2625anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))))
27 fvoveq1 7381 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
2827, 13breq12d 5119 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)))
2926, 28imbi12d 345 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))))
30 monoord2xr.l . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
3124, 29, 30chvarfv 2234 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
321, 17, 31monoord2xrv 43726 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2888   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11053   + caddc 11055  *cxr 11189  cle 11191  cmin 11386  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-xneg 13034  df-fz 13426
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator