Theorem flaplt 10733

Description: The floor function value is less than the next integer. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flaplt	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞

Proof of Theorem flaplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqlt 10732	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
3		flapcl 10722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
4	3	olcs 748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zred 9773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
7		simpll 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zred 9773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		flaplelt 10724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
13	12	olcs 748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	13	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
15	14	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
16	6, 8, 11, 15, 2	lelttrd 8453	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
17	2, 16	2thd 175	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))
18	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
21	18, 19, 20	ltnsymd 8448	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
22	4	zred 9773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
24		peano2re 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
26	25	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
27	13	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
28	27	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
29	18, 19, 26, 20, 28	lttrd 8454	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1))
30		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
31	4	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
32		zleltp1 9705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
33	30, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
34	29, 33	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴))
35	18, 23, 34	lensymd 8450	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (⌊‘𝐴) < 𝐵)
36	21, 35	2falsed 714	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))
37		breq2 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐵 → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # 𝐵))
38		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
39		zq 10036	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
40	9, 39	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
41	37, 38, 40	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 # 𝐵)
42		reaplt 8919	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
43	7, 10, 42	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
44	41, 43	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
45	17, 36, 44	mpjaodan 810	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))
46	1, 45	jaoian 807	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   ≤ cle 8362   # cap 8912  ℤcz 9649  ℚcq 10029  ⌊cfl 10714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716

This theorem is used by:  bposlem6  16245