Theorem lenrevpfxcctswrd 11183

Description: The length of the concatenation of the rest of a word and the prefix of the word is the length of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Apr-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lenrevpfxcctswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem lenrevpfxcctswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 10162	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lencl 11015	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9508	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
7		swrdclg 11121	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
9		elfznn0 10251	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		pfxclg 11149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
12	1, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
13		ccatlen 11069	. . 3 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
15		swrdrlen 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝑀))
16		fznn0sub 10194	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	16	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℕ0)
18	15, 17	eqeltrd 2283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) ∈ ℕ0)
19	18	nn0cnd 9365	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) ∈ ℂ)
20		pfxlen 11156	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
21	20, 10	eqeltrd 2283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 9365	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) ∈ ℂ)
23	19, 22	addcomd 8238	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))))
24		addlenpfx 11162	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))) = (♯‘𝑊))
25	14, 23, 24	3eqtrd 2243	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3640  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  0cc0 7940   + caddc 7943   − cmin 8258  ℕ₀cn0 9310  ℤcz 9387  ...cfz 10145  ♯chash 10937  Word cword 11011   ++ cconcat 11064   substr csubstr 11116   prefix cpfx 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-ihash 10938  df-word 11012  df-concat 11065  df-substr 11117  df-pfx 11144

This theorem is referenced by: (None)