Theorem pfxn0 11460

Description: A prefix consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)

Proof of Theorem pfxn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbfzo0 10592	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
2		ne0i 3528	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐿) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
3	1, 2	sylbir 135	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (0..^𝐿) ≠ ∅)
4	3	3ad2ant2 1050	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝐿) ≠ ∅)
5		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6		nnnn0 9570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
8		lencl 11308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
11		elfz2nn0 10519	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anbrc 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		pfxf 11454	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
14	5, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
15		f0dom0 5586	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((0..^𝐿) = ∅ ↔ (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
16	15	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
17	14, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) = ∅ ↔ (0..^𝐿) = ∅))
18	17	necon3bid 2461	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ (0..^𝐿) ≠ ∅))
19	4, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179   ≤ cle 8361  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304   prefix cpfx 11444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-substr 11418  df-pfx 11445

This theorem is used by: (None)