Theorem eqs1 11341

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
2		0nn0 9528	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		fvexg 5694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) ∈ V)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ V)
6		s1leng 11337	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
8	1, 7	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
9		s1fv 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
10	4, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
11	10	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
12		c0ex 8284	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13		fveq2 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
14		fveq2 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
15	13, 14	eqeq12d 2249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
16	12, 15	ralsn 3737	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
17	11, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
20		fzo01 10583	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
21	19, 20	eqtrdi 2283	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
22	21	raleqdv 2749	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
23	22	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
24	18, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
25	4	s1cld 11335	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V)
26		eqwrd 11290	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
27	25, 26	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
29	8, 24, 28	mpbir2and 953	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815  {csn 3694  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144  ℕ₀cn0 9513  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249  ⟨“cs1 11328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-s1 11329

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  11342  wrdl1s1  11343  swrds1  11385