Theorem eqs1 11105

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
2		0nn0 9330	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		fvexg 5608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) ∈ V)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ V)
6		s1leng 11101	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
8	1, 7	eqtr4d 2242	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
9		s1fv 11103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
10	4, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
11	10	eqcomd 2212	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
12		c0ex 8086	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13		fveq2 5589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
14		fveq2 5589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
15	13, 14	eqeq12d 2221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
16	12, 15	ralsn 3681	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
17	11, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19		oveq2 5965	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
20		fzo01 10367	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
21	19, 20	eqtrdi 2255	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
22	21	raleqdv 2709	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
23	22	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
24	18, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
25	4	s1cld 11099	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V)
26		eqwrd 11056	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
27	25, 26	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
29	8, 24, 28	mpbir2and 947	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773  {csn 3638  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  0cc0 7945  1c1 7946  ℕ₀cn0 9315  ..^cfzo 10284  ♯chash 10942  Word cword 11016  ⟨“cs1 11092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-s1 11093

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  11106  wrdl1s1  11107  swrds1  11144