Theorem eqs1 11156

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
2		0nn0 9380	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		fvexg 5645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) ∈ V)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ V)
6		s1leng 11152	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
8	1, 7	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
9		s1fv 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
10	4, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
11	10	eqcomd 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
12		c0ex 8136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13		fveq2 5626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
14		fveq2 5626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
15	13, 14	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
16	12, 15	ralsn 3709	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
17	11, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19		oveq2 6008	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
20		fzo01 10417	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
21	19, 20	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
22	21	raleqdv 2734	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
23	22	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
24	18, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
25	4	s1cld 11150	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V)
26		eqwrd 11107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
27	25, 26	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
29	8, 24, 28	mpbir2and 950	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799  {csn 3666  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996  ℕ₀cn0 9365  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066  ⟨“cs1 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-s1 11144

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  11157  wrdl1s1  11158  swrds1  11195