Theorem eqs1 11316

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
2		0nn0 9511	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		fvexg 5689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) ∈ V)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ V)
6		s1leng 11312	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
8	1, 7	eqtr4d 2268	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
9		s1fv 11314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
10	4, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
11	10	eqcomd 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
12		c0ex 8268	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13		fveq2 5670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
14		fveq2 5670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
15	13, 14	eqeq12d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
16	12, 15	ralsn 3732	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
17	11, 16	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
20		fzo01 10561	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
21	19, 20	eqtrdi 2281	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
22	21	raleqdv 2747	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
23	22	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
24	18, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
25	4	s1cld 11310	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V)
26		eqwrd 11265	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
27	25, 26	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
29	8, 24, 28	mpbir2and 953	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813  {csn 3689  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128  ℕ₀cn0 9496  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224  ⟨“cs1 11303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-s1 11304

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  11317  wrdl1s1  11318  swrds1  11360