Theorem 0e0icopnf 13462

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11241	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12338	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13458	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 710	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  ℝcr 11132  0cc0 11133  +∞cpnf 11270   ≤ cle 11274  [,)cico 13353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-addrcl 11194  ax-rnegex 11204  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-ico 13357

This theorem is referenced by:  fsumge0  15768  rege0subm  21350  rge0srg  21365  itg2cnlem1  25685  ibladdlem  25743  itgaddlem1  25746  iblabslem  25751  iblabs  25752  iblmulc2  25754  itgmulc2lem1  25755  bddmulibl  25762  itggt0  25767  itgcn  25768  cxpcn3  26677  rlimcnp3  26893  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  fsumrp0cl  32746  xrge0slmod  33055  esumpfinvallem  33688  ibladdnclem  37144  itgaddnclem1  37146  iblabsnclem  37151  iblabsnc  37152  iblmulc2nc  37153  itgmulc2nclem1  37154  itggt0cn  37158  ftc1anclem8  37168  sge0z  45754  sge0tsms  45759  hoidmvcl  45961  dig0  47670