Theorem 0e0icopnf 13435

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11216	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12313	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13431	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 710	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   ≤ cle 11249  [,)cico 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330

This theorem is referenced by:  fsumge0  15741  rege0subm  21001  rge0srg  21016  itg2cnlem1  25279  ibladdlem  25337  itgaddlem1  25340  iblabslem  25345  iblabs  25346  iblmulc2  25348  itgmulc2lem1  25349  bddmulibl  25356  itggt0  25361  itgcn  25362  cxpcn3  26256  rlimcnp3  26472  efrlim  26474  fsumrp0cl  32196  xrge0slmod  32463  esumpfinvallem  33072  ibladdnclem  36544  itgaddnclem1  36546  iblabsnclem  36551  iblabsnc  36552  iblmulc2nc  36553  itgmulc2nclem1  36554  itggt0cn  36558  ftc1anclem8  36568  sge0z  45091  sge0tsms  45096  hoidmvcl  45298  dig0  47292