Theorem 0e0icopnf 13403

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11138	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12274	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13399	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 717	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  0cc0 11030  +∞cpnf 11168   ≤ cle 11172  [,)cico 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-addrcl 11091  ax-rnegex 11101  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-ico 13296

This theorem is referenced by:  fsumge0  15750  rege0subm  21399  rge0srg  21414  itg2cnlem1  25747  ibladdlem  25806  itgaddlem1  25809  iblabslem  25814  iblabs  25815  iblmulc2  25817  itgmulc2lem1  25818  bddmulibl  25825  itggt0  25830  itgcn  25831  cxpcn3  26731  rlimcnp3  26950  efrlim  26952  fsumrp0cl  33101  xrge0slmod  33432  esumpfinvallem  34267  ibladdnclem  38052  itgaddnclem1  38054  iblabsnclem  38059  iblabsnc  38060  iblmulc2nc  38061  itgmulc2nclem1  38062  itggt0cn  38066  ftc1anclem8  38076  sge0z  46826  sge0tsms  46831  hoidmvcl  47033  dig0  49105