Theorem 0e0icopnf 13503

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11227	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12359	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13499	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  +∞cpnf 11257   ≤ cle 11261  [,)cico 13392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-addrcl 11178  ax-rnegex 11188  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-ico 13396

This theorem is used by:  fsumge0  15872  rege0subm  21625  rge0srg  21640  itg2cnlem1  25973  ibladdlem  26032  itgaddlem1  26035  iblabslem  26040  iblabs  26041  iblmulc2  26043  itgmulc2lem1  26044  bddmulibl  26051  itggt0  26056  itgcn  26057  cxpcn3  26966  rlimcnp3  27185  efrlim  27187  fsumrp0cl  33407  xrge0slmod  33734  esumpfinvallem  34530  ibladdnclem  38386  itgaddnclem1  38388  iblabsnclem  38393  iblabsnc  38394  iblmulc2nc  38395  itgmulc2nclem1  38396  itggt0cn  38400  ftc1anclem8  38410  sge0z  47149  sge0tsms  47154  hoidmvcl  47356  dig0  49445