Theorem 0e0icopnf 13463

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11184	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12320	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13459	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 721	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  0cc0 11074  +∞cpnf 11214   ≤ cle 11218  [,)cico 13352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-addrcl 11135  ax-rnegex 11145  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-ico 13356

This theorem is referenced by:  fsumge0  15824  rege0subm  21476  rge0srg  21491  itg2cnlem1  25824  ibladdlem  25883  itgaddlem1  25886  iblabslem  25891  iblabs  25892  iblmulc2  25894  itgmulc2lem1  25895  bddmulibl  25902  itggt0  25907  itgcn  25908  cxpcn3  26814  rlimcnp3  27033  efrlim  27035  fsumrp0cl  33200  xrge0slmod  33535  esumpfinvallem  34372  ibladdnclem  38176  itgaddnclem1  38178  iblabsnclem  38183  iblabsnc  38184  iblmulc2nc  38185  itgmulc2nclem1  38186  itggt0cn  38190  ftc1anclem8  38200  sge0z  46950  sge0tsms  46955  hoidmvcl  47157  dig0  49229