Theorem 0e0icopnf 13372

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11132	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12244	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13368	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  +∞cpnf 11161   ≤ cle 11165  [,)cico 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-addrcl 11085  ax-rnegex 11095  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-ico 13265

This theorem is referenced by:  fsumge0  15716  rege0subm  21376  rge0srg  21391  itg2cnlem1  25716  ibladdlem  25775  itgaddlem1  25778  iblabslem  25783  iblabs  25784  iblmulc2  25786  itgmulc2lem1  25787  bddmulibl  25794  itggt0  25799  itgcn  25800  cxpcn3  26712  rlimcnp3  26931  efrlim  26933  efrlimOLD  26934  fsumrp0cl  33052  xrge0slmod  33378  esumpfinvallem  34180  ibladdnclem  37816  itgaddnclem1  37818  iblabsnclem  37823  iblabsnc  37824  iblmulc2nc  37825  itgmulc2nclem1  37826  itggt0cn  37830  ftc1anclem8  37840  sge0z  46561  sge0tsms  46566  hoidmvcl  46768  dig0  48794