Theorem 0e0icopnf 13376

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11136	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12248	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13372	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  +∞cpnf 11165   ≤ cle 11169  [,)cico 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ico 13269

This theorem is referenced by:  fsumge0  15720  rege0subm  21380  rge0srg  21395  itg2cnlem1  25720  ibladdlem  25779  itgaddlem1  25782  iblabslem  25787  iblabs  25788  iblmulc2  25790  itgmulc2lem1  25791  bddmulibl  25798  itggt0  25803  itgcn  25804  cxpcn3  26716  rlimcnp3  26935  efrlim  26937  efrlimOLD  26938  fsumrp0cl  33105  xrge0slmod  33431  esumpfinvallem  34233  ibladdnclem  37879  itgaddnclem1  37881  iblabsnclem  37886  iblabsnc  37887  iblmulc2nc  37888  itgmulc2nclem1  37889  itggt0cn  37893  ftc1anclem8  37903  sge0z  46640  sge0tsms  46645  hoidmvcl  46847  dig0  48873