Theorem 0e0icopnf 13406

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11141	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12277	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13402	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  +∞cpnf 11171   ≤ cle 11175  [,)cico 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-ico 13299

This theorem is referenced by:  fsumge0  15753  rege0subm  21417  rge0srg  21432  itg2cnlem1  25742  ibladdlem  25801  itgaddlem1  25804  iblabslem  25809  iblabs  25810  iblmulc2  25812  itgmulc2lem1  25813  bddmulibl  25820  itggt0  25825  itgcn  25826  cxpcn3  26729  rlimcnp3  26948  efrlim  26950  efrlimOLD  26951  fsumrp0cl  33100  xrge0slmod  33427  esumpfinvallem  34238  ibladdnclem  38015  itgaddnclem1  38017  iblabsnclem  38022  iblabsnc  38023  iblmulc2nc  38024  itgmulc2nclem1  38025  itggt0cn  38029  ftc1anclem8  38039  sge0z  46825  sge0tsms  46830  hoidmvcl  47032  dig0  49098