Theorem 0e0icopnf 13484

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11209	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12341	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13480	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  +∞cpnf 11239   ≤ cle 11243  [,)cico 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-addrcl 11160  ax-rnegex 11170  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-ico 13377

This theorem is referenced by:  fsumge0  15846  rege0subm  21552  rge0srg  21567  itg2cnlem1  25899  ibladdlem  25958  itgaddlem1  25961  iblabslem  25966  iblabs  25967  iblmulc2  25969  itgmulc2lem1  25970  bddmulibl  25977  itggt0  25982  itgcn  25983  cxpcn3  26889  rlimcnp3  27108  efrlim  27110  fsumrp0cl  33307  xrge0slmod  33634  esumpfinvallem  34430  ibladdnclem  38271  itgaddnclem1  38273  iblabsnclem  38278  iblabsnc  38279  iblmulc2nc  38280  itgmulc2nclem1  38281  itggt0cn  38285  ftc1anclem8  38295  sge0z  47037  sge0tsms  47042  hoidmvcl  47244  dig0  49331