Theorem 0e0icopnf 13480

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11205	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12337	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13476	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  +∞cpnf 11235   ≤ cle 11239  [,)cico 13369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ico 13373

This theorem is referenced by:  fsumge0  15843  rege0subm  21573  rge0srg  21588  itg2cnlem1  25920  ibladdlem  25979  itgaddlem1  25982  iblabslem  25987  iblabs  25988  iblmulc2  25990  itgmulc2lem1  25991  bddmulibl  25998  itggt0  26003  itgcn  26004  cxpcn3  26913  rlimcnp3  27132  efrlim  27134  fsumrp0cl  33341  xrge0slmod  33668  esumpfinvallem  34464  ibladdnclem  38347  itgaddnclem1  38349  iblabsnclem  38354  iblabsnc  38355  iblmulc2nc  38356  itgmulc2nclem1  38357  itggt0cn  38361  ftc1anclem8  38371  sge0z  47109  sge0tsms  47114  hoidmvcl  47316  dig0  49406