Theorem 0e0icopnf 13485

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11210	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12342	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13481	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  +∞cpnf 11240   ≤ cle 11244  [,)cico 13374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-addrcl 11161  ax-rnegex 11171  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ico 13378

This theorem is referenced by:  fsumge0  15847  rege0subm  21542  rge0srg  21557  itg2cnlem1  25889  ibladdlem  25948  itgaddlem1  25951  iblabslem  25956  iblabs  25957  iblmulc2  25959  itgmulc2lem1  25960  bddmulibl  25967  itggt0  25972  itgcn  25973  cxpcn3  26879  rlimcnp3  27098  efrlim  27100  fsumrp0cl  33282  xrge0slmod  33611  esumpfinvallem  34409  ibladdnclem  38249  itgaddnclem1  38251  iblabsnclem  38256  iblabsnc  38257  iblmulc2nc  38258  itgmulc2nclem1  38259  itggt0cn  38263  ftc1anclem8  38273  sge0z  47015  sge0tsms  47020  hoidmvcl  47222  dig0  49305