Theorem 0e0icopnf 13465

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11230	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12334	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13461	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400  ℝcr 11121  0cc0 11122  +∞cpnf 11259   ≤ cle 11263  [,)cico 13356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-addrcl 11183  ax-rnegex 11193  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-ico 13360

This theorem is referenced by:  fsumge0  15800  rege0subm  21378  rge0srg  21393  itg2cnlem1  25701  ibladdlem  25760  itgaddlem1  25763  iblabslem  25768  iblabs  25769  iblmulc2  25771  itgmulc2lem1  25772  bddmulibl  25779  itggt0  25784  itgcn  25785  cxpcn3  26696  rlimcnp3  26915  efrlim  26917  efrlimOLD  26918  fsumrp0cl  32954  xrge0slmod  33300  esumpfinvallem  34034  ibladdnclem  37629  itgaddnclem1  37631  iblabsnclem  37636  iblabsnc  37637  iblmulc2nc  37638  itgmulc2nclem1  37639  itggt0cn  37643  ftc1anclem8  37653  sge0z  46340  sge0tsms  46345  hoidmvcl  46547  dig0  48480