Theorem 0e0icopnf 13602

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11323	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12457	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13598	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  +∞cpnf 11353   ≤ cle 11357  [,)cico 13491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-addrcl 11274  ax-rnegex 11284  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-ico 13495

This theorem is used by:  fsumge0  15977  rege0subm  21744  rge0srg  21759  itg2cnlem1  26097  ibladdlem  26155  itgaddlem1  26158  iblabslem  26163  iblabs  26164  iblmulc2  26166  itgmulc2lem1  26167  bddmulibl  26174  itggt0  26179  itgcn  26180  cxpcn3  27091  rlimcnp3  27310  efrlim  27312  fsumrp0cl  33638  xrge0slmod  33965  esumpfinvallem  34762  ibladdnclem  38737  itgaddnclem1  38739  iblabsnclem  38744  iblabsnc  38745  iblmulc2nc  38746  itgmulc2nclem1  38747  itggt0cn  38751  ftc1anclem8  38761  sge0z  47527  sge0tsms  47532  hoidmvcl  47734  dig0  49860