Theorem 0e0icopnf 13589

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11310	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12444	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13585	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  [,)cico 13478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ico 13482

This theorem is used by:  fsumge0  15962  rege0subm  21729  rge0srg  21744  itg2cnlem1  26082  ibladdlem  26140  itgaddlem1  26143  iblabslem  26148  iblabs  26149  iblmulc2  26151  itgmulc2lem1  26152  bddmulibl  26159  itggt0  26164  itgcn  26165  cxpcn3  27076  rlimcnp3  27295  efrlim  27297  fsumrp0cl  33582  xrge0slmod  33909  esumpfinvallem  34706  ibladdnclem  38594  itgaddnclem1  38596  iblabsnclem  38601  iblabsnc  38602  iblmulc2nc  38603  itgmulc2nclem1  38604  itggt0cn  38608  ftc1anclem8  38618  sge0z  47384  sge0tsms  47389  hoidmvcl  47591  dig0  49717