Theorem 0e0icopnf 13514

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11237	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12369	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13510	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11267   ≤ cle 11271  [,)cico 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ico 13407

This theorem is used by:  fsumge0  15885  rege0subm  21639  rge0srg  21654  itg2cnlem1  25992  ibladdlem  26050  itgaddlem1  26053  iblabslem  26058  iblabs  26059  iblmulc2  26061  itgmulc2lem1  26062  bddmulibl  26069  itggt0  26074  itgcn  26075  cxpcn3  26988  rlimcnp3  27207  efrlim  27209  fsumrp0cl  33464  xrge0slmod  33791  esumpfinvallem  34587  ibladdnclem  38428  itgaddnclem1  38430  iblabsnclem  38435  iblabsnc  38436  iblmulc2nc  38437  itgmulc2nclem1  38438  itggt0cn  38442  ftc1anclem8  38452  sge0z  47206  sge0tsms  47211  hoidmvcl  47413  dig0  49539