Theorem 0e0icopnf 13437

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11218	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12315	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 13433	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247   ≤ cle 11251  [,)cico 13328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-ico 13332

This theorem is referenced by:  fsumge0  15743  rege0subm  21007  rge0srg  21022  itg2cnlem1  25286  ibladdlem  25344  itgaddlem1  25347  iblabslem  25352  iblabs  25353  iblmulc2  25355  itgmulc2lem1  25356  bddmulibl  25363  itggt0  25368  itgcn  25369  cxpcn3  26263  rlimcnp3  26479  efrlim  26481  fsumrp0cl  32234  xrge0slmod  32504  esumpfinvallem  33141  ibladdnclem  36630  itgaddnclem1  36632  iblabsnclem  36637  iblabsnc  36638  iblmulc2nc  36639  itgmulc2nclem1  36640  itggt0cn  36644  ftc1anclem8  36654  sge0z  45170  sge0tsms  45175  hoidmvcl  45377  dig0  47370