MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0icopnf 13304
Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 11091 . 2 0 ∈ ℝ
2 0le0 12188 . 2 0 ≤ 0
3 elrege0 13300 . 2 (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 710 1 0 ∈ (0[,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  cle 11124  [,)cico 13195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-addrcl 11046  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-ico 13199
This theorem is referenced by:  fsumge0  15615  rege0subm  20777  rge0srg  20792  itg2cnlem1  25049  ibladdlem  25107  itgaddlem1  25110  iblabslem  25115  iblabs  25116  iblmulc2  25118  itgmulc2lem1  25119  bddmulibl  25126  itggt0  25131  itgcn  25132  cxpcn3  26024  rlimcnp3  26240  efrlim  26242  fsumrp0cl  31681  xrge0slmod  31934  esumpfinvallem  32447  ibladdnclem  36030  itgaddnclem1  36032  iblabsnclem  36037  iblabsnc  36038  iblmulc2nc  36039  itgmulc2nclem1  36040  itggt0cn  36044  ftc1anclem8  36054  sge0z  44370  sge0tsms  44375  hoidmvcl  44577  dig0  46442
  Copyright terms: Public domain W3C validator