MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0icopnf 12841
Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 10637 . 2 0 ∈ ℝ
2 0le0 11732 . 2 0 ≤ 0
3 elrege0 12837 . 2 (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 707 1 0 ∈ (0[,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  cle 10670  [,)cico 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12739
This theorem is referenced by:  fsumge0  15145  rege0subm  20536  rge0srg  20551  itg2cnlem1  24296  ibladdlem  24354  itgaddlem1  24357  iblabslem  24362  iblabs  24363  iblmulc2  24365  itgmulc2lem1  24366  bddmulibl  24373  itggt0  24376  itgcn  24377  cxpcn3  25261  rlimcnp3  25478  efrlim  25480  fsumrp0cl  30615  xrge0slmod  30850  esumpfinvallem  31238  ibladdnclem  34834  itgaddnclem1  34836  iblabsnclem  34841  iblabsnc  34842  iblmulc2nc  34843  itgmulc2nclem1  34844  itggt0cn  34850  ftc1anclem8  34860  sge0z  42542  sge0tsms  42547  hoidmvcl  42749  dig0  44568
  Copyright terms: Public domain W3C validator