MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0icopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0icopnf 12529
Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0icopnf 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf
StepHypRef Expression
1 0re 10328 . 2 0 ∈ ℝ
2 0le0 11417 . 2 0 ≤ 0
3 elrege0 12525 . 2 (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 703 1 0 ∈ (0[,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  cr 10221  0cc0 10222  +∞cpnf 10358  cle 10362  [,)cico 12422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-addrcl 10283  ax-rnegex 10293  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-ico 12426
This theorem is referenced by:  fsumge0  14862  fprodge0  15057  rege0subm  20121  rge0srg  20136  itg2cnlem1  23866  ibladdlem  23924  itgaddlem1  23927  iblabslem  23932  iblabs  23933  iblmulc2  23935  itgmulc2lem1  23936  bddmulibl  23943  itggt0  23946  itgcn  23947  cxpcn3  24830  rlimcnp3  25043  efrlim  25045  fsumrp0cl  30203  xrge0slmod  30352  esumpfinvallem  30644  ibladdnclem  33946  itgaddnclem1  33948  iblabsnclem  33953  iblabsnc  33954  iblmulc2nc  33955  itgmulc2nclem1  33956  itggt0cn  33962  ftc1anclem8  33972  sge0z  41323  sge0tsms  41328  hoidmvcl  41530  dig0  43187
  Copyright terms: Public domain W3C validator