Theorem 0e0icopnf 12945

Description: 0 is a member of (0[,)+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10734	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11830	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		elrege0 12941	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  (class class class)co 7183  ℝcr 10627  0cc0 10628  +∞cpnf 10763   ≤ cle 10767  [,)cico 12836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-addrcl 10689  ax-rnegex 10699  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-ico 12840

This theorem is referenced by:  fsumge0  15256  rege0subm  20286  rge0srg  20301  itg2cnlem1  24527  ibladdlem  24585  itgaddlem1  24588  iblabslem  24593  iblabs  24594  iblmulc2  24596  itgmulc2lem1  24597  bddmulibl  24604  itggt0  24609  itgcn  24610  cxpcn3  25502  rlimcnp3  25718  efrlim  25720  fsumrp0cl  30894  xrge0slmod  31133  esumpfinvallem  31625  ibladdnclem  35489  itgaddnclem1  35491  iblabsnclem  35496  iblabsnc  35497  iblmulc2nc  35498  itgmulc2nclem1  35499  itggt0cn  35503  ftc1anclem8  35513  sge0z  43496  sge0tsms  43501  hoidmvcl  43703  dig0  45534