Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvcl 45852
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvcl.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvcl.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
hoidmvcl (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl
StepHypRef Expression
1 hoidmvcl.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 hoidmvcl.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3 hoidmvcl.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
4 hoidmvcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
51, 2, 3, 4hoidmvval 45847 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
6 0e0icopnf 13438 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
8 0xr 11262 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
10 pnfxr 11269 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
122ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
133ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
14 volico 45253 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
1613, 12resubcld 11643 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
17 0red 11218 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
1816, 17ifcld 4569 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) ∈ ℝ)
1915, 18eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
204, 19fprodrecl 15900 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2120rexrd 11265 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
22 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2313rexrd 11265 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
24 icombl 25443 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
2512, 23, 24syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
26 volge0 45231 . . . . . 6 (((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2822, 4, 19, 27fprodge0 15940 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2920ltpnfd 13104 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) < +∞)
309, 11, 21, 28, 29elicod 13377 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ (0[,)+∞))
317, 30ifcld 4569 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ (0[,)+∞))
325, 31eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  [,)cico 13329  βˆcprod 15852  volcvol 25342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-prod 15853  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344
This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  45859  hoidmv1le  45864  hoidmvlelem1  45865  hoidmvlelem2  45866  hoidmvlelem3  45867  hoidmvlelem4  45868  hoidmvlelem5  45869  hoidmvle  45870  ovnhoilem2  45872  ovnhoi  45873  ovnlecvr2  45880  hspmbllem1  45896  hspmbllem2  45897
  Copyright terms: Public domain W3C validator