Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvcl 43087
 Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvcl.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvcl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvcl.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoidmvcl (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl
StepHypRef Expression
1 hoidmvcl.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoidmvcl.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3 hoidmvcl.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
4 hoidmvcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
51, 2, 3, 4hoidmvval 43082 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
6 0e0icopnf 12843 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
8 0xr 10682 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
10 pnfxr 10689 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
122ffvelrnda 6840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
133ffvelrnda 6840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
14 volico 42491 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
1512, 13, 14syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
1613, 12resubcld 11062 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
17 0red 10638 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1816, 17ifcld 4495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) ∈ ℝ)
1915, 18eqeltrd 2916 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
204, 19fprodrecl 15305 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2120rexrd 10685 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ*)
22 nfv 1916 . . . . 5 𝑘𝜑
2313rexrd 10685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
24 icombl 24166 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
2512, 23, 24syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
26 volge0 42469 . . . . . 6 (((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2822, 4, 19, 27fprodge0 15345 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2920ltpnfd 12511 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) < +∞)
309, 11, 21, 28, 29elicod 12782 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ (0[,)+∞))
317, 30ifcld 4495 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ∈ (0[,)+∞))
325, 31eqeltrd 2916 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∅c0 4276  ifcif 4450   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  dom cdm 5543  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ∈ cmpo 7148   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501  ℝcr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  [,)cico 12735  ∏cprod 15257  volcvol 24065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-prod 15258  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067 This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  43094  hoidmv1le  43099  hoidmvlelem1  43100  hoidmvlelem2  43101  hoidmvlelem3  43102  hoidmvlelem4  43103  hoidmvlelem5  43104  hoidmvle  43105  ovnhoilem2  43107  ovnhoi  43108  ovnlecvr2  43115  hspmbllem1  43131  hspmbllem2  43132
 Copyright terms: Public domain W3C validator