Theorem hoidmvcl 47276

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvcl.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvcl	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvcl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		hoidmvcl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		hoidmvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5	1, 2, 3, 4	hoidmvval 47271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
6		0e0icopnf 13486	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
8		0xr 11257	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
10		pnfxr 11264	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12	2	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13	3	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
14		volico 46677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
16	13, 12	resubcld 11643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		0red 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	ifcld 4535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) ∈ ℝ)
19	15, 18	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	4, 19	fprodrecl 16009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ*)
22		nfv 1944	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
23	13	rexrd 11260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
24		icombl 25704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
25	12, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
26		volge0 46655	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
28	22, 4, 19, 27	fprodge0 16049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
29	20	ltpnfd 13147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) < +∞)
30	9, 11, 21, 28, 29	elicod 13423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ (0[,)+∞))
31	7, 30	ifcld 4535	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  ifcif 4488   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  ℝcr 11100  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  [,)cico 13375  ∏cprod 15959  volcvol 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-prod 15960  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cmp 23525  df-ovol 25604  df-vol 25605

This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  47283  hoidmv1le  47288  hoidmvlelem1  47289  hoidmvlelem2  47290  hoidmvlelem3  47291  hoidmvlelem4  47292  hoidmvlelem5  47293  hoidmvle  47294  ovnhoilem2  47296  ovnhoi  47297  ovnlecvr2  47304  hspmbllem1  47320  hspmbllem2  47321