Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvcl 41542
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvcl.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvcl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvcl.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoidmvcl (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl
StepHypRef Expression
1 hoidmvcl.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoidmvcl.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3 hoidmvcl.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
4 hoidmvcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
51, 2, 3, 4hoidmvval 41537 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
6 0e0icopnf 12533 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
8 0xr 10375 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
10 pnfxr 10382 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
122ffvelrnda 6585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
133ffvelrnda 6585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
14 volico 40943 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
1512, 13, 14syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
1613, 12resubcld 10750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
17 0red 10332 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1816, 17ifcld 4322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) ∈ ℝ)
1915, 18eqeltrd 2878 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
204, 19fprodrecl 15020 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2120rexrd 10378 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ*)
22 nfv 2010 . . . . 5 𝑘𝜑
2313rexrd 10378 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
24 icombl 23672 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
2512, 23, 24syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
26 volge0 40920 . . . . . 6 (((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2822, 4, 19, 27fprodge0 15060 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2920ltpnfd 12202 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) < +∞)
309, 11, 21, 28, 29elicod 12473 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ (0[,)+∞))
317, 30ifcld 4322 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ∈ (0[,)+∞))
325, 31eqeltrd 2878 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  c0 4115  ifcif 4277   class class class wbr 4843  cmpt 4922  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  cr 10223  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  [,)cico 12426  cprod 14972  volcvol 23571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-prod 14973  df-rest 16398  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cmp 21519  df-ovol 23572  df-vol 23573
This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  41549  hoidmv1le  41554  hoidmvlelem1  41555  hoidmvlelem2  41556  hoidmvlelem3  41557  hoidmvlelem4  41558  hoidmvlelem5  41559  hoidmvle  41560  ovnhoilem2  41562  ovnhoi  41563  ovnlecvr2  41570  hspmbllem1  41586  hspmbllem2  41587
  Copyright terms: Public domain W3C validator