Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvcl 45999
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvcl.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvcl.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
hoidmvcl (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl
StepHypRef Expression
1 hoidmvcl.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 hoidmvcl.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
3 hoidmvcl.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
4 hoidmvcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
51, 2, 3, 4hoidmvval 45994 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
6 0e0icopnf 13475 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
8 0xr 11299 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
10 pnfxr 11306 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
122ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
133ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
14 volico 45400 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
1512, 13, 14syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
1613, 12resubcld 11680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
17 0red 11255 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
1816, 17ifcld 4578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) ∈ ℝ)
1915, 18eqeltrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
204, 19fprodrecl 15937 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2120rexrd 11302 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
22 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2313rexrd 11302 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
24 icombl 25513 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
2512, 23, 24syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
26 volge0 45378 . . . . . 6 (((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2822, 4, 19, 27fprodge0 15977 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
2920ltpnfd 13141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) < +∞)
309, 11, 21, 28, 29elicod 13414 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ (0[,)+∞))
317, 30ifcld 4578 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ (0[,)+∞))
325, 31eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4326  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  [,)cico 13366  βˆcprod 15889  volcvol 25412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-prod 15890  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414
This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  46006  hoidmv1le  46011  hoidmvlelem1  46012  hoidmvlelem2  46013  hoidmvlelem3  46014  hoidmvlelem4  46015  hoidmvlelem5  46016  hoidmvle  46017  ovnhoilem2  46019  ovnhoi  46020  ovnlecvr2  46027  hspmbllem1  46043  hspmbllem2  46044
  Copyright terms: Public domain W3C validator