Theorem hoidmvcl 46934

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvcl.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvcl	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvcl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		hoidmvcl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		hoidmvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5	1, 2, 3, 4	hoidmvval 46929	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
6		0e0icopnf 13386	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
8		0xr 11191	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
10		pnfxr 11198	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12	2	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13	3	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
14		volico 46335	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
16	13, 12	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) ∈ ℝ)
19	15, 18	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	4, 19	fprodrecl 15888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ*)
22		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
23	13	rexrd 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
24		icombl 25533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
25	12, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
26		volge0 46313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
28	22, 4, 19, 27	fprodge0 15928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
29	20	ltpnfd 13047	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) < +∞)
30	9, 11, 21, 28, 29	elicod 13323	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ (0[,)+∞))
31	7, 30	ifcld 4528	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  [,)cico 13275  ∏cprod 15838  volcvol 25432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-prod 15839  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343  df-ovol 25433  df-vol 25434

This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  46941  hoidmv1le  46946  hoidmvlelem1  46947  hoidmvlelem2  46948  hoidmvlelem3  46949  hoidmvlelem4  46950  hoidmvlelem5  46951  hoidmvle  46952  ovnhoilem2  46954  ovnhoi  46955  ovnlecvr2  46962  hspmbllem1  46978  hspmbllem2  46979