Theorem hoidmvcl 46611

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvcl.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvcl	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvcl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
3		hoidmvcl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
4		hoidmvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5	1, 2, 3, 4	hoidmvval 46606	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
6		0e0icopnf 13475	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
8		0xr 11282	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
10		pnfxr 11289	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12	2	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13	3	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
14		volico 46012	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0))
16	13, 12	resubcld 11665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		0red 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
18	16, 17	ifcld 4547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((𝐴‘𝑘) < (𝐵‘𝑘), ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)), 0) ∈ ℝ)
19	15, 18	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	4, 19	fprodrecl 15969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ*)
22		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
23	13	rexrd 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
24		icombl 25517	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
25	12, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
26		volge0 45990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
28	22, 4, 19, 27	fprodge0 16009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
29	20	ltpnfd 13137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) < +∞)
30	9, 11, 21, 28, 29	elicod 13412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ (0[,)+∞))
31	7, 30	ifcld 4547	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ (0[,)+∞))
32	5, 31	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℝcr 11128  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  [,)cico 13364  ∏cprod 15919  volcvol 25416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-prod 15920  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-cmp 23325  df-ovol 25417  df-vol 25418

This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  46618  hoidmv1le  46623  hoidmvlelem1  46624  hoidmvlelem2  46625  hoidmvlelem3  46626  hoidmvlelem4  46627  hoidmvlelem5  46628  hoidmvle  46629  ovnhoilem2  46631  ovnhoi  46632  ovnlecvr2  46639  hspmbllem1  46655  hspmbllem2  46656