Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgmulc2nclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2nclem1 36147
Description: Lemma for itgmulc2nc 36149; cf. itgmulc2lem1 25199. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2nc.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2nc.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgmulc2nc.m (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
itgmulc2nc.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
itgmulc2nc.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
itgmulc2nc.6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
itgmulc2nc.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2nclem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.5 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 itgmulc2nc.7 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3 elrege0 13372 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
41, 2, 3sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
5 0e0icopnf 13376 . . . . . . . 8 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
74, 6ifclda 4522 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
87adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
98fmpttd 7064 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
10 itgmulc2nc.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
111, 2iblpos 25160 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)))
1210, 11mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
1312simprd 497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
14 itgmulc2nc.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15 itgmulc2nc.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
16 elrege0 13372 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
1714, 15, 16sylanbrc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž))
189, 13, 17itg2mulc 25115 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
19 reex 11143 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
21 itgmulc2nc.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
23 fconstmpt 5695 . . . . . . 7 (โ„ ร— {๐ถ}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ถ)
2423a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {๐ถ}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ถ))
25 eqidd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
2620, 22, 8, 24, 25offval2 7638 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
27 ovif2 7456 . . . . . . 7 (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0))
2821mul01d 11355 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท 0) = 0)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท 0) = 0)
3029ifeq2d 4507 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))
3127, 30eqtrid 2789 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))
3231mpteq2dva 5206 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))
3326, 32eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))
3433fveq2d 6847 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
3518, 34eqtr3d 2779 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
361, 10, 2itgposval 25163 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
3736oveq2d 7374 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
3814adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3938, 1remulcld 11186 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
40 itgmulc2nc.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
41 itgmulc2nc.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ MblFn)
4221, 40, 10, 41iblmulc2nc 36146 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
4315adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
4438, 1, 43, 2mulge0d 11733 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
4539, 42, 44itgposval 25163 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
4635, 37, 453eqtr4d 2787 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3446  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆ˜f cof 7616  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057  +โˆžcpnf 11187   โ‰ค cle 11191  [,)cico 13267  MblFncmbf 24981  โˆซ2citg2 24983  ๐ฟ1cibl 24984  โˆซcitg 24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-ibl 24989  df-itg 24990  df-0p 25037
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem2  36148
  Copyright terms: Public domain W3C validator