Theorem itgaddlem1 25749

Description: Lemma for itgadd 25751. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgaddlem1	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgadd.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		itgadd.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		itgadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		itgadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		itgadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
8	4, 5, 6, 7	ibladd 25747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9		itgadd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		itgadd.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
11	1, 2, 9, 10	addge0d 11690	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
12	3, 8, 11	itgposval 25722	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
13	1, 5, 9	itgposval 25722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
14	2, 7, 10	itgposval 25722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
15	13, 14	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
16	1, 9	iblpos 25719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
17	5, 16	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
18	17	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
19	18, 1	mbfdm2 25563	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20		mblss 25457	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
22		rembl 25466	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24		elrege0 13351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
25	1, 9, 24	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26		0e0icopnf 13355	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
28	25, 27	ifclda 4511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30		eldifn 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 4486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33		iftrue 4481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
34	33	mpteq2ia 5186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
35	34, 18	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
36	21, 23, 29, 32, 35	mbfss 25572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
37	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
38	37	fmpttd 7048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
39	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
40		elrege0 13351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
41	2, 10, 40	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
42	41, 27	ifclda 4511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
44	31	iffalsed 4486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
45		iftrue 4481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
46	45	mpteq2ia 5186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
47	2, 10	iblpos 25719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
48	7, 47	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
49	48	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
50	46, 49	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
51	21, 23, 43, 44, 50	mbfss 25572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
52	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
53	52	fmpttd 7048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
54	48	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
55	36, 38, 39, 51, 53, 54	itg2add 25685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
56		reex 11094	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
58		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
59		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
60	57, 37, 52, 58, 59	offval2 7630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
61	33, 45	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
62		iftrue 4481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
63	61, 62	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
64		iffalse 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
65		iffalse 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
66	64, 65	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
67		00id 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
68	66, 67	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
69		iffalse 4484	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
70	68, 69	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
71	63, 70	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
72	71	mpteq2i 5187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
73	60, 72	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
74	73	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
75	15, 55, 74	3eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
76	12, 75	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4475   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006  +∞cpnf 11140   ≤ cle 11144  [,)cico 13244  volcvol 25389  MblFncmbf 25540  ∫₂citg2 25542  𝐿¹cibl 25543  ∫citg 25544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-rest 17323  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-cmp 23300  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546  df-itg2 25547  df-ibl 25548  df-itg 25549  df-0p 25596

This theorem is referenced by:  itgaddlem2  25750