Theorem itgaddlem1 24423

Description: Lemma for itgadd 24425. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgaddlem1	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgadd.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10670	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		itgadd.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		itgadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		itgadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		itgadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
8	4, 5, 6, 7	ibladd 24421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9		itgadd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		itgadd.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
11	1, 2, 9, 10	addge0d 11216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
12	3, 8, 11	itgposval 24396	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
13	1, 5, 9	itgposval 24396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
14	2, 7, 10	itgposval 24396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
15	13, 14	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
16	1, 9	iblpos 24393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
17	5, 16	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
18	17	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
19	18, 1	mbfdm2 24238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20		mblss 24132	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
22		rembl 24141	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24		elrege0 12843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
25	1, 9, 24	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26		0e0icopnf 12847	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
28	25, 27	ifclda 4501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
29	28	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30		eldifn 4104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33		iftrue 4473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
34	33	mpteq2ia 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
35	34, 18	eqeltrid 2917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
36	21, 23, 29, 32, 35	mbfss 24247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
37	28	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
38	37	fmpttd 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
39	17	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
40		elrege0 12843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
41	2, 10, 40	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
42	41, 27	ifclda 4501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
43	42	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
44	31	iffalsed 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
45		iftrue 4473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
46	45	mpteq2ia 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
47	2, 10	iblpos 24393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
48	7, 47	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
49	48	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
50	46, 49	eqeltrid 2917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
51	21, 23, 43, 44, 50	mbfss 24247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
52	42	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
53	52	fmpttd 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
54	48	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
55	36, 38, 39, 51, 53, 54	itg2add 24360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
56		reex 10628	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
58		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
59		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
60	57, 37, 52, 58, 59	offval2 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
61	33, 45	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
62		iftrue 4473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
63	61, 62	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
64		iffalse 4476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
65		iffalse 4476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
66	64, 65	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
67		00id 10815	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
68	66, 67	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
69		iffalse 4476	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
70	68, 69	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
71	63, 70	pm2.61i 184	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
72	71	mpteq2i 5158	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
73	60, 72	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
74	73	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
75	15, 55, 74	3eqtr2d 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
76	12, 75	eqtr4d 2859	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ifcif 4467   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540  +∞cpnf 10672   ≤ cle 10676  [,)cico 12741  volcvol 24064  MblFncmbf 24215  ∫₂citg2 24217  𝐿¹cibl 24218  ∫citg 24219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cmp 21995  df-ovol 24065  df-vol 24066  df-mbf 24220  df-itg1 24221  df-itg2 24222  df-ibl 24223  df-itg 24224  df-0p 24271

This theorem is referenced by:  itgaddlem2  24424