MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddlem1 25671
Description: Lemma for itgadd 25673. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgadd.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11250 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 itgadd.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
5 itgadd.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 itgadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
7 itgadd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
84, 5, 6, 7ibladd 25669 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9 itgadd.7 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 itgadd.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
111, 2, 9, 10addge0d 11797 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
123, 8, 11itgposval 25644 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
131, 5, 9itgposval 25644 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
142, 7, 10itgposval 25644 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
1513, 14oveq12d 7430 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
161, 9iblpos 25641 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
175, 16mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1817simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1918, 1mbfdm2 25485 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
20 mblss 25379 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
22 rembl 25388 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24 elrege0 13438 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
251, 9, 24sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 13442 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4563 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30 eldifn 4127 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
3231iffalsed 4539 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3433mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
3534, 18eqeltrid 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3621, 23, 29, 32, 35mbfss 25494 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3728adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
3837fmpttd 7116 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
3917simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
40 elrege0 13438 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
412, 10, 40sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
4241, 27ifclda 4563 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4431iffalsed 4539 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
45 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4645mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
472, 10iblpos 25641 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
487, 47mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
4948simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
5046, 49eqeltrid 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5121, 23, 43, 44, 50mbfss 25494 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5242adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
5352fmpttd 7116 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
5448simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
5536, 38, 39, 51, 53, 54itg2add 25608 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
56 reex 11207 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
58 eqidd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
59 eqidd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
6057, 37, 52, 58, 59offval2 7694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
6133, 45oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
62 iftrue 4534 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
6361, 62eqtr4d 2774 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
64 iffalse 4537 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
65 iffalse 4537 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6664, 65oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
67 00id 11396 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
6866, 67eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
69 iffalse 4537 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
7068, 69eqtr4d 2774 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7163, 70pm2.61i 182 . . . . . 6 (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
7271mpteq2i 5253 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7360, 72eqtrdi 2787 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
7473fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7515, 55, 743eqtr2d 2777 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7612, 75eqtr4d 2774 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945  wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672  cr 11115  0cc0 11116   + caddc 11119  +∞cpnf 11252  cle 11256  [,)cico 13333  volcvol 25311  MblFncmbf 25462  2citg2 25464  𝐿1cibl 25465  citg 25466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-top 22715  df-topon 22732  df-bases 22768  df-cmp 23210  df-ovol 25312  df-vol 25313  df-mbf 25467  df-itg1 25468  df-itg2 25469  df-ibl 25470  df-itg 25471  df-0p 25518
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  25672
  Copyright terms: Public domain W3C validator