MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddlem1 25210
Description: Lemma for itgadd 25212. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgadd.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11192 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 itgadd.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
5 itgadd.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 itgadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
7 itgadd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
84, 5, 6, 7ibladd 25208 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9 itgadd.7 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 itgadd.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
111, 2, 9, 10addge0d 11739 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
123, 8, 11itgposval 25183 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
131, 5, 9itgposval 25183 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
142, 7, 10itgposval 25183 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
1513, 14oveq12d 7379 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
161, 9iblpos 25180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
175, 16mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1817simpld 496 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1918, 1mbfdm2 25024 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
20 mblss 24918 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
22 rembl 24927 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24 elrege0 13380 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
251, 9, 24sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 13384 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4525 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30 eldifn 4091 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
3130adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
3231iffalsed 4501 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33 iftrue 4496 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3433mpteq2ia 5212 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
3534, 18eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3621, 23, 29, 32, 35mbfss 25033 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3728adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
3837fmpttd 7067 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
3917simprd 497 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
40 elrege0 13380 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
412, 10, 40sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
4241, 27ifclda 4525 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4342adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4431iffalsed 4501 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
45 iftrue 4496 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4645mpteq2ia 5212 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
472, 10iblpos 25180 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
487, 47mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
4948simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
5046, 49eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5121, 23, 43, 44, 50mbfss 25033 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5242adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
5352fmpttd 7067 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
5448simprd 497 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
5536, 38, 39, 51, 53, 54itg2add 25147 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
56 reex 11150 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
58 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
59 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
6057, 37, 52, 58, 59offval2 7641 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
6133, 45oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
62 iftrue 4496 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
6361, 62eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
64 iffalse 4499 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
65 iffalse 4499 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6664, 65oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
67 00id 11338 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
6866, 67eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
69 iffalse 4499 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
7068, 69eqtr4d 2776 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7163, 70pm2.61i 182 . . . . . 6 (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
7271mpteq2i 5214 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7360, 72eqtrdi 2789 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
7473fveq2d 6850 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7515, 55, 743eqtr2d 2779 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7612, 75eqtr4d 2776 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cdif 3911  wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109  cmpt 5192  dom cdm 5637  cfv 6500  (class class class)co 7361  f cof 7619  cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062  +∞cpnf 11194  cle 11198  [,)cico 13275  volcvol 24850  MblFncmbf 25001  2citg2 25003  𝐿1cibl 25004  citg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  25211
  Copyright terms: Public domain W3C validator