Theorem iblabslem 24131

Description: Lemma for iblabs 24132. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
iblabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabs.3	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
iblabs.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblabslem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
2		iblabs.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
3		iblabs.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
4	3	iblrelem 24094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
5	2, 4	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
6	5	simp1d 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn)
7	6, 3	mbfdm2 23941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
8		mblss 23835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		rembl 23844	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
12		iftrue 4356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
13	12	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
14	3	recnd 10468	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
15	14	abscld 14657	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
16	13, 15	eqeltrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17		eldifn 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
19		iffalse 4359	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = 0)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = 0)
21		absf 14558	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
23	22, 14	cofmpt 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝐵))))
24	12	mpteq2ia 5018	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝐵)))
25	23, 24	syl6reqr 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) = (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))))
26	14	fmpttd 6702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
27		ax-resscn 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		ssid 3880	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
29		cncfss 23210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
30	27, 28, 29	mp2an 679	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
31		abscncf 23212	. . . . . . . 8 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
32	30, 31	sselii 3856	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34		cncombf 23962	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) ∈ MblFn)
35	6, 26, 33, 34	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) ∈ MblFn)
36	25, 35	eqeltrd 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
37	9, 11, 16, 20, 36	mbfss 23950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
38	1, 37	syl5eqel 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
39		reex 10426	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
41		ifan 4401	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0)
42		0re 10441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
43		ifcl 4394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
44	3, 42, 43	sylancl 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
45		max1 12395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
46	42, 3, 45	sylancr 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
47		elrege0 12658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)))
48	44, 46, 47	sylanbrc 575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
49		0e0icopnf 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
51	48, 50	ifclda 4384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
52	41, 51	syl5eqel 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
53	52	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
54		ifan 4401	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)
55	3	renegcld 10868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
56		ifcl 4394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
57	55, 42, 56	sylancl 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
58		max1 12395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
59	42, 55, 58	sylancr 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
60		elrege0 12658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)))
61	57, 59, 60	sylanbrc 575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
62	61, 50	ifclda 4384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
63	54, 62	syl5eqel 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
64	63	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
65		eqidd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)))
66		eqidd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))
67	40, 53, 64, 65, 66	offval2 7244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))))
68	41, 54	oveq12i 6988	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0))
69		max0add 14531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
70	3, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
71		iftrue 4356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
72	71	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
73		iftrue 4356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
74	73	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
75	72, 74	oveq12d 6994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)))
76	70, 75, 13	3eqtr4d 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
77	76	ex 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
78		00id 10615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
79		iffalse 4359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = 0)
80		iffalse 4359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = 0)
81	79, 80	oveq12d 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
82	78, 81, 19	3eqtr4a 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
83	77, 82	pm2.61d1 173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
84	68, 83	syl5eq 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
85	84	mpteq2dv 5023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
86	67, 85	eqtrd 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
87	86, 1	syl6reqr 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))))
88	87	fveq2d 6503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
89	52	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
90	41, 79	syl5eq 2827	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = 0)
91	18, 90	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = 0)
92		ibar 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (0 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵))))
93	92	ifbid 4372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))
94	93	mpteq2ia 5018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))
95	3, 6	mbfpos 23955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
96	94, 95	syl5eqelr 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
97	9, 11, 89, 91, 96	mbfss 23950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
98	53	fmpttd 6702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
99	5	simp2d 1123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
100	63	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
101	54, 80	syl5eq 2827	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = 0)
102	18, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = 0)
103		ibar 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (0 ≤ -(𝐹‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵))))
104	103	ifbid 4372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))
105	104	mpteq2ia 5018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))
106	3, 6	mbfneg 23954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn)
107	55, 106	mbfpos 23955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
108	105, 107	syl5eqelr 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
109	9, 11, 100, 102, 108	mbfss 23950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
110	64	fmpttd 6702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
111	5	simp3d 1124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
112	97, 98, 99, 109, 110, 111	itg2add 24063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
113	88, 112	eqtrd 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
114	99, 111	readdcld 10469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
115	113, 114	eqeltrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
116	38, 115	jca 504	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416   ∖ cdif 3827   ⊆ wss 3830  ifcif 4350   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  dom cdm 5407   ∘ ccom 5411  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∘_𝑓 cof 7225  ℂcc 10333  ℝcr 10334  0cc0 10335   + caddc 10338  +∞cpnf 10471   ≤ cle 10475  -cneg 10671  [,)cico 12556  abscabs 14454  –cn→ccncf 23187  volcvol 23767  MblFncmbf 23918  ∫₂citg2 23920  𝐿¹cibl 23921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cc 9655  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-ovol 23768  df-vol 23769  df-mbf 23923  df-itg1 23924  df-itg2 23925  df-ibl 23926  df-0p 23974

This theorem is referenced by:  iblabs  24132