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Theorem iblabslem 25578
Description: Lemma for iblabs 25579. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
iblabs.3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
iblabs.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabslem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabslem
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
2 iblabs.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
43iblrelem 25541 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 25387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 25281 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
10 rembl 25290 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
12 iftrue 4534 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
1312adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
143recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1514abscld 15388 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 4127 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
1817adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
19 iffalse 4537 . . . . 5 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
2112mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
22 absf 15289 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
2322a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2423, 14cofmpt 7132 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))))
2521, 24eqtr4id 2790 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) = (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))))
2614fmpttd 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
27 ax-resscn 11171 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
28 ssid 4004 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
29 cncfss 24640 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
3027, 28, 29mp2an 689 . . . . . . . 8 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
31 abscncf 24642 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3230, 31sselii 3979 . . . . . . 7 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3332a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
34 cncombf 25408 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
356, 26, 33, 34syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
3625, 35eqeltrd 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
379, 11, 16, 20, 36mbfss 25396 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
381, 37eqeltrid 2836 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
39 reex 11205 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
41 ifan 4581 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0)
42 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
43 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
443, 42, 43sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
45 max1 13169 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
4642, 3, 45sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
47 elrege0 13436 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)))
4844, 46, 47sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
49 0e0icopnf 13440 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
5148, 50ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
5241, 51eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
54 ifan 4581 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)
553renegcld 11646 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
56 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
5755, 42, 56sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
58 max1 13169 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
5942, 55, 58sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
60 elrege0 13436 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
6157, 59, 60sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
6261, 50ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
6354, 62eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
6463adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
65 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)))
66 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
6740, 53, 64, 65, 66offval2 7694 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
6841, 54oveq12i 7424 . . . . . . . . 9 (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0))
69 max0add 15262 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
703, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
71 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
73 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
7572, 74oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
7670, 75, 133eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
7776ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
78 00id 11394 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
79 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
80 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
8179, 80oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (0 + 0))
8278, 81, 193eqtr4a 2797 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
8377, 82pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
8468, 83eqtrid 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
8584mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
8667, 85eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
871, 86eqtr4id 2790 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
8887fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
8952adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
9041, 79eqtrid 2783 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
9118, 90syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
92 ibar 528 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))))
9392ifbid 4551 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
9493mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
953, 6mbfpos 25401 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
9694, 95eqeltrrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 89, 91, 96mbfss 25396 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
9853fmpttd 7116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
995simp2d 1142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
10063adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
10154, 80eqtrid 2783 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
10218, 101syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
103 ibar 528 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (0 ≀ -(πΉβ€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅))))
104103ifbid 4551 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))
105104mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))
1063, 6mbfneg 25400 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -(πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
10755, 106mbfpos 25401 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
108105, 107eqeltrrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
1099, 11, 100, 102, 108mbfss 25396 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
11064fmpttd 7116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
1115simp3d 1143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
11297, 98, 99, 109, 110, 111itg2add 25510 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
11388, 112eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
11499, 111readdcld 11248 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
11638, 115jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117  +∞cpnf 11250   ≀ cle 11254  -cneg 11450  [,)cico 13331  abscabs 15186  β€“cnβ†’ccncf 24617  volcvol 25213  MblFncmbf 25364  βˆ«2citg2 25366  πΏ1cibl 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-0p 25420
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