Theorem iblabslem 26148

Description: Lemma for iblabs 26149. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
iblabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabs.3	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
iblabs.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblabslem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
2		iblabs.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
3		iblabs.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
4	3	iblrelem 26111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
5	2, 4	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
6	5	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn)
7	6, 3	mbfdm2 25958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
8		mblss 25852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		rembl 25861	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
12		iftrue 4488	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
14	3	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
15	14	abscld 15606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
16	13, 15	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17		eldifn 4079	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
19		iffalse 4491	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = 0)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = 0)
21	12	mpteq2ia 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝐵)))
22		absf 15505	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
24	23, 14	cofmpt 7133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝐵))))
25	21, 24	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) = (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))))
26	14	fmpttd 7115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
27		ax-resscn 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		ssid 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
29		cncfss 25220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
30	27, 28, 29	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
31		abscncf 25222	. . . . . . . 8 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
32	30, 31	sselii 3928	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34		cncombf 25979	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) ∈ MblFn)
35	6, 26, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) ∈ MblFn)
36	25, 35	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
37	9, 11, 16, 20, 36	mbfss 25967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
38	1, 37	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
39		reex 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
41		ifan 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0)
42		0re 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
43		ifcl 4528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
44	3, 42, 43	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
45		max1 13315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
46	42, 3, 45	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
47		elrege0 13585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)))
48	44, 46, 47	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
49		0e0icopnf 13589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
51	48, 50	ifclda 4518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
52	41, 51	eqeltrid 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
53	52	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
54		ifan 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)
55	3	renegcld 11743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
56		ifcl 4528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
57	55, 42, 56	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
58		max1 13315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
59	42, 55, 58	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
60		elrege0 13585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)))
61	57, 59, 60	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
62	61, 50	ifclda 4518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
63	54, 62	eqeltrid 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
64	63	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
65		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)))
66		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))
67	40, 53, 64, 65, 66	offval2 7713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))))
68	41, 54	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0))
69		max0add 15477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
70	3, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
71		iftrue 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
73		iftrue 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
75	72, 74	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)))
76	70, 75, 13	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
77	76	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
78		00id 11485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
79		iffalse 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = 0)
80		iffalse 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = 0)
81	79, 80	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
82	78, 81, 19	3eqtr4a 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
83	77, 82	pm2.61d1 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
84	68, 83	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
85	84	mpteq2dv 5199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
86	67, 85	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
87	1, 86	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))))
88	87	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
89	52	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
90	41, 79	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = 0)
91	18, 90	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = 0)
92		ibar 538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (0 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵))))
93	92	ifbid 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))
94	93	mpteq2ia 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))
95	3, 6	mbfpos 25972	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
96	94, 95	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
97	9, 11, 89, 91, 96	mbfss 25967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
98	53	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
99	5	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
100	63	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
101	54, 80	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = 0)
102	18, 101	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = 0)
103		ibar 538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (0 ≤ -(𝐹‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵))))
104	103	ifbid 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))
105	104	mpteq2ia 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))
106	3, 6	mbfneg 25971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn)
107	55, 106	mbfpos 25972	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
108	105, 107	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
109	9, 11, 100, 102, 108	mbfss 25967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
110	64	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
111	5	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
112	97, 98, 99, 109, 110, 111	itg2add 26080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
113	88, 112	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
114	99, 111	readdcld 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
115	113, 114	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
116	38, 115	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  -cneg 11542  [,)cico 13478  abscabs 15401  –cn→ccncf 25197  volcvol 25784  MblFncmbf 25935  ∫₂citg2 25937  𝐿¹cibl 25938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-0p 25991

This theorem is used by:  iblabs  26149