MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabslem 23808
Description: Lemma for iblabs 23809. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabs.3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabs.4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabslem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabslem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabs.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 23771 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 23618 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 23512 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 23521 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
12 iftrue 4285 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1312adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
143recnd 10353 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1514abscld 14398 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrd 2885 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 3932 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4288 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 eqidd 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)))
22 absf 14300 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
2423feqmptd 6470 . . . . . . 7 (𝜑 → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
25 fveq2 6408 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (abs‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝐵)))
2614, 21, 24, 25fmptco 6619 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))))
2712mpteq2ia 4934 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2826, 27syl6reqr 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))))
2914fmpttd 6607 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℂ)
30 ax-resscn 10278 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
31 ssid 3820 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
32 cncfss 22915 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
3330, 31, 32mp2an 675 . . . . . . . 8 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
34 abscncf 22917 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3533, 34sselii 3795 . . . . . . 7 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
37 cncombf 23639 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
386, 29, 36, 37syl3anc 1483 . . . . 5 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
3928, 38eqeltrd 2885 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
409, 11, 16, 20, 39mbfss 23627 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
411, 40syl5eqel 2889 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
42 reex 10312 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
44 ifan 4330 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
45 0re 10327 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
46 ifcl 4323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
473, 45, 46sylancl 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
48 max1 12234 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
4945, 3, 48sylancr 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
50 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
5147, 49, 50sylanbrc 574 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
52 0e0icopnf 12502 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5451, 53ifclda 4313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
5544, 54syl5eqel 2889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
5655adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
57 ifan 4330 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
583renegcld 10742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
59 ifcl 4323 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
6058, 45, 59sylancl 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
61 max1 12234 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
6245, 58, 61sylancr 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
63 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
6460, 62, 63sylanbrc 574 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
6564, 53ifclda 4313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
6657, 65syl5eqel 2889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
6766adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
68 eqidd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
69 eqidd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
7043, 56, 67, 68, 69offval2 7144 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
7144, 57oveq12i 6886 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
72 max0add 14273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
74 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
7574adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
76 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
7776adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
7875, 77oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
7973, 78, 133eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8079ex 399 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
81 00id 10496 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
82 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
83 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
8482, 83oveq12d 6892 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
8581, 84, 193eqtr4a 2866 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8680, 85pm2.61d1 172 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8771, 86syl5eq 2852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8887mpteq2dv 4939 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
8970, 88eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
9089, 1syl6reqr 2859 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
9190fveq2d 6412 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
9255adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
9344, 82syl5eq 2852 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
9418, 93syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
95 ibar 520 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
9695ifbid 4301 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
9796mpteq2ia 4934 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
983, 6mbfpos 23632 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
9997, 98syl5eqelr 2890 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1009, 11, 92, 94, 99mbfss 23627 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
10156fmpttd 6607 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1025simp2d 1166 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
10366adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
10457, 83syl5eq 2852 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = 0)
10518, 104syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = 0)
106 ibar 520 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ -(𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵))))
107106ifbid 4301 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
108107mpteq2ia 4934 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
1093, 6mbfneg 23631 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -(𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
11058, 109mbfpos 23632 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
111108, 110syl5eqelr 2890 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1129, 11, 103, 105, 111mbfss 23627 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
11367fmpttd 6607 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1145simp3d 1167 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
115100, 101, 102, 112, 113, 114itg2add 23740 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
11691, 115eqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
117102, 114readdcld 10354 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
118116, 117eqeltrd 2885 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
11941, 118jca 503 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  cdif 3766  wss 3769  ifcif 4279   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  ccom 5315  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  𝑓 cof 7125  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221   + caddc 10224  +∞cpnf 10356  cle 10360  -cneg 10552  [,)cico 12395  abscabs 14197  cnccncf 22892  volcvol 23444  MblFncmbf 23595  2citg2 23597  𝐿1cibl 23598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cc 9542  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-ofr 7128  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600  df-itg1 23601  df-itg2 23602  df-ibl 23603  df-0p 23651
This theorem is referenced by:  iblabs  23809
  Copyright terms: Public domain W3C validator