MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabslem 25208
Description: Lemma for iblabs 25209. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
iblabs.3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
iblabs.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabslem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabslem
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
2 iblabs.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
43iblrelem 25171 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 25017 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 24911 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
10 rembl 24920 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
12 iftrue 4497 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
1312adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
143recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1514abscld 15328 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 4092 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
1817adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
19 iffalse 4500 . . . . 5 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
2112mpteq2ia 5213 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
22 absf 15229 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
2322a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2423, 14cofmpt 7083 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))))
2521, 24eqtr4id 2796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) = (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))))
2614fmpttd 7068 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚)
27 ax-resscn 11115 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
28 ssid 3971 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
29 cncfss 24278 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
3027, 28, 29mp2an 691 . . . . . . . 8 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
31 abscncf 24280 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3230, 31sselii 3946 . . . . . . 7 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3332a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
34 cncombf 25038 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
356, 26, 33, 34syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
3625, 35eqeltrd 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
379, 11, 16, 20, 36mbfss 25026 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
381, 37eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
39 reex 11149 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
41 ifan 4544 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0)
42 0re 11164 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
43 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
443, 42, 43sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
45 max1 13111 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
4642, 3, 45sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
47 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)))
4844, 46, 47sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
49 0e0icopnf 13382 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
5148, 50ifclda 4526 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
5241, 51eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
5352adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
54 ifan 4544 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)
553renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
56 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
5755, 42, 56sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
58 max1 13111 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
5942, 55, 58sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
60 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
6157, 59, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
6261, 50ifclda 4526 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
6354, 62eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
6463adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
65 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)))
66 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
6740, 53, 64, 65, 66offval2 7642 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
6841, 54oveq12i 7374 . . . . . . . . 9 (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0))
69 max0add 15202 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
703, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
71 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
73 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
7572, 74oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
7670, 75, 133eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
7776ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
78 00id 11337 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
79 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
80 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
8179, 80oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (0 + 0))
8278, 81, 193eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
8377, 82pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
8468, 83eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
8584mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
8667, 85eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
871, 86eqtr4id 2796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
8887fveq2d 6851 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
8952adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
9041, 79eqtrid 2789 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
9118, 90syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
92 ibar 530 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))))
9392ifbid 4514 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
9493mpteq2ia 5213 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
953, 6mbfpos 25031 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
9694, 95eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 89, 91, 96mbfss 25026 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
9853fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
995simp2d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
10063adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
10154, 80eqtrid 2789 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
10218, 101syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
103 ibar 530 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (0 ≀ -(πΉβ€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅))))
104103ifbid 4514 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))
105104mpteq2ia 5213 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))
1063, 6mbfneg 25030 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -(πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
10755, 106mbfpos 25031 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
108105, 107eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
1099, 11, 100, 102, 108mbfss 25026 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
11064fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
1115simp3d 1145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
11297, 98, 99, 109, 110, 111itg2add 25140 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
11388, 112eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
11499, 111readdcld 11191 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2838 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
11638, 115jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197  -cneg 11393  [,)cico 13273  abscabs 15126  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«2citg2 24996  πΏ1cibl 24997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  iblabs  25209
  Copyright terms: Public domain W3C validator