Theorem iblabslem 25956

Description: Lemma for iblabs 25957. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
iblabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabs.3	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
iblabs.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblabslem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
2		iblabs.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
3		iblabs.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
4	3	iblrelem 25919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
5	2, 4	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
6	5	simp1d 1158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn)
7	6, 3	mbfdm2 25765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
8		mblss 25659	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		rembl 25668	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
12		iftrue 4498	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
14	3	recnd 11237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
15	14	abscld 15490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
16	13, 15	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17		eldifn 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
19		iffalse 4501	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = 0)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0) = 0)
21	12	mpteq2ia 5210	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝐵)))
22		absf 15389	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
24	23, 14	cofmpt 7129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝐵))))
25	21, 24	eqtr4id 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) = (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))))
26	14	fmpttd 7111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
27		ax-resscn 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		ssid 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
29		cncfss 25027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
30	27, 28, 29	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
31		abscncf 25029	. . . . . . . 8 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
32	30, 31	sselii 3942	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34		cncombf 25786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) ∈ MblFn)
35	6, 26, 33, 34	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))) ∈ MblFn)
36	25, 35	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
37	9, 11, 16, 20, 36	mbfss 25774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
38	1, 37	eqeltrid 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
39		reex 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
41		ifan 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0)
42		0re 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
43		ifcl 4538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
44	3, 42, 43	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
45		max1 13211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
46	42, 3, 45	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
47		elrege0 13481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)))
48	44, 46, 47	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
49		0e0icopnf 13485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
51	48, 50	ifclda 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
52	41, 51	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
53	52	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
54		ifan 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)
55	3	renegcld 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
56		ifcl 4538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
57	55, 42, 56	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
58		max1 13211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
59	42, 55, 58	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
60		elrege0 13481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)))
61	57, 59, 60	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
62	61, 50	ifclda 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
63	54, 62	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
64	63	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
65		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)))
66		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))
67	40, 53, 64, 65, 66	offval2 7695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))))
68	41, 54	oveq12i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0))
69		max0add 15361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
70	3, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹‘𝐵)))
71		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
72	71	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0))
73		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
74	73	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0))
75	72, 74	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)))
76	70, 75, 13	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
77	76	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
78		00id 11385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
79		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) = 0)
80		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0) = 0)
81	79, 80	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
82	78, 81, 19	3eqtr4a 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
83	77, 82	pm2.61d1 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0), 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
84	68, 83	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0))
85	84	mpteq2dv 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) + if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
86	67, 85	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐹‘𝐵)), 0)))
87	1, 86	eqtr4id 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))))
88	87	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
89	52	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
90	41, 79	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = 0)
91	18, 90	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0) = 0)
92		ibar 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (0 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵))))
93	92	ifbid 4516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))
94	93	mpteq2ia 5210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))
95	3, 6	mbfpos 25779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝐵), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
96	94, 95	eqeltrrid 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
97	9, 11, 89, 91, 96	mbfss 25774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
98	53	fmpttd 7111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
99	5	simp2d 1159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
100	63	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
101	54, 80	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = 0)
102	18, 101	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0) = 0)
103		ibar 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (0 ≤ -(𝐹‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵))))
104	103	ifbid 4516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))
105	104	mpteq2ia 5210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))
106	3, 6	mbfneg 25778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝐵)) ∈ MblFn)
107	55, 106	mbfpos 25779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝐵), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
108	105, 107	eqeltrrid 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
109	9, 11, 100, 102, 108	mbfss 25774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
110	64	fmpttd 7111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
111	5	simp3d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
112	97, 98, 99, 109, 110, 111	itg2add 25887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
113	88, 112	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))))
114	99, 111	readdcld 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)), (𝐹‘𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝐵)), -(𝐹‘𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
115	113, 114	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
116	38, 115	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2‘𝐺) ∈ ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   + caddc 11103  +∞cpnf 11240   ≤ cle 11244  -cneg 11442  [,)cico 13374  abscabs 15285  –cn→ccncf 25004  volcvol 25591  MblFncmbf 25742  ∫₂citg2 25744  𝐿¹cibl 25745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-cmp 23513  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-ovol 25592  df-vol 25593  df-mbf 25747  df-itg1 25748  df-itg2 25749  df-ibl 25750  df-0p 25798

This theorem is referenced by:  iblabs  25957