MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabslem 24131
Description: Lemma for iblabs 24132. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabs.3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabs.4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabs.5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabslem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabslem
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabs.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 24094 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 23941 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 23835 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 23844 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
12 iftrue 4356 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1312adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
143recnd 10468 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1514abscld 14657 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrd 2867 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 3995 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4359 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 absf 14558 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
2322, 14cofmpt 6717 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))))
2412mpteq2ia 5018 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2523, 24syl6reqr 2834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))))
2614fmpttd 6702 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℂ)
27 ax-resscn 10392 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
28 ssid 3880 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
29 cncfss 23210 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
3027, 28, 29mp2an 679 . . . . . . . 8 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
31 abscncf 23212 . . . . . . . 8 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3230, 31sselii 3856 . . . . . . 7 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34 cncombf 23962 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
356, 26, 33, 34syl3anc 1351 . . . . 5 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
3625, 35eqeltrd 2867 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
379, 11, 16, 20, 36mbfss 23950 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
381, 37syl5eqel 2871 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
39 reex 10426 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
41 ifan 4401 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
42 0re 10441 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
43 ifcl 4394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
443, 42, 43sylancl 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
45 max1 12395 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
4642, 3, 45sylancr 578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
47 elrege0 12658 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
4844, 46, 47sylanbrc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
49 0e0icopnf 12662 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5148, 50ifclda 4384 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
5241, 51syl5eqel 2871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
5352adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
54 ifan 4401 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
553renegcld 10868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
56 ifcl 4394 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
5755, 42, 56sylancl 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
58 max1 12395 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
5942, 55, 58sylancr 578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
60 elrege0 12658 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
6157, 59, 60sylanbrc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
6261, 50ifclda 4384 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
6354, 62syl5eqel 2871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
6463adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
65 eqidd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
66 eqidd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
6740, 53, 64, 65, 66offval2 7244 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
6841, 54oveq12i 6988 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
69 max0add 14531 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
703, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
71 iftrue 4356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
7271adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
73 iftrue 4356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
7473adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
7572, 74oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
7670, 75, 133eqtr4d 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
7776ex 405 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
78 00id 10615 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
79 iffalse 4359 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
80 iffalse 4359 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
8179, 80oveq12d 6994 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
8278, 81, 193eqtr4a 2841 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8377, 82pm2.61d1 173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8468, 83syl5eq 2827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
8584mpteq2dv 5023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
8667, 85eqtrd 2815 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
8786, 1syl6reqr 2834 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
8887fveq2d 6503 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
8952adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
9041, 79syl5eq 2827 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
9118, 90syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
92 ibar 521 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
9392ifbid 4372 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
9493mpteq2ia 5018 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
953, 6mbfpos 23955 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
9694, 95syl5eqelr 2872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 89, 91, 96mbfss 23950 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
9853fmpttd 6702 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
995simp2d 1123 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
10063adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
10154, 80syl5eq 2827 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = 0)
10218, 101syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = 0)
103 ibar 521 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ -(𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵))))
104103ifbid 4372 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
105104mpteq2ia 5018 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
1063, 6mbfneg 23954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -(𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
10755, 106mbfpos 23955 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
108105, 107syl5eqelr 2872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1099, 11, 100, 102, 108mbfss 23950 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
11064fmpttd 6702 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1115simp3d 1124 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
11297, 98, 99, 109, 110, 111itg2add 24063 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
11388, 112eqtrd 2815 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
11499, 111readdcld 10469 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2867 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
11638, 115jca 504 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3416  cdif 3827  wss 3830  ifcif 4350   class class class wbr 4929  cmpt 5008  dom cdm 5407  ccom 5411  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑓 cof 7225  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335   + caddc 10338  +∞cpnf 10471  cle 10475  -cneg 10671  [,)cico 12556  abscabs 14454  cnccncf 23187  volcvol 23767  MblFncmbf 23918  2citg2 23920  𝐿1cibl 23921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cc 9655  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-ovol 23768  df-vol 23769  df-mbf 23923  df-itg1 23924  df-itg2 23925  df-ibl 23926  df-0p 23974
This theorem is referenced by:  iblabs  24132
  Copyright terms: Public domain W3C validator