Theorem itgaddnclem1 35762

Description: Lemma for itgaddnc 35764; cf. itgaddlem1 24892. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
itgaddnclem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgaddnclem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgaddnclem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgaddnclem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgaddnclem1	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgaddnclem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgaddnclem.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		ibladdnc.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		ibladdnc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		ibladdnc.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		ibladdnc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
8		ibladdnc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
9	4, 5, 6, 7, 8	ibladdnc 35761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
10		itgaddnclem.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
11		itgaddnclem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
12	1, 2, 10, 11	addge0d 11481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
13	3, 9, 12	itgposval 24865	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
14	1, 5, 10	itgposval 24865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
15	2, 7, 11	itgposval 24865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
16	14, 15	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
17		iblmbf 24837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
18	5, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
19	18, 4	mbfdm2 24706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20		mblss 24600	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
22		rembl 24609	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24		elrege0 13115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
25	1, 10, 24	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26		0e0icopnf 13119	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
28	25, 27	ifclda 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30		eldifn 4058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
34		iftrue 4462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
35	34	mpteq2ia 5173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
36	35, 18	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
37	21, 23, 29, 33, 36	mbfss 24715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
38	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
39	38	fmpttd 6971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
40	1, 10	iblpos 24862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
41	5, 40	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
42	41	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
43		elrege0 13115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
44	2, 11, 43	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
45	44, 27	ifclda 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
47	46	fmpttd 6971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
48	2, 11	iblpos 24862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
49	7, 48	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
50	49	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
51	37, 39, 42, 47, 50	itg2addnc 35758	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
52		reex 10893	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
54		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
55		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
56	53, 38, 46, 54, 55	offval2 7531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
57		iftrue 4462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
58	34, 57	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
59		iftrue 4462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
60	58, 59	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
61		iffalse 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
62	32, 61	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
63		00id 11080	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
64	62, 63	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
65		iffalse 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
66	64, 65	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
67	60, 66	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
68	67	mpteq2i 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
69	56, 68	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
70	69	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
71	16, 51, 70	3eqtr2d 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
72	13, 71	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941  [,)cico 13010  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  ∫₂citg2 24685  𝐿¹cibl 24686  ∫citg 24687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739

This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  35763