Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnclem1 36136
Description: Lemma for itgaddnc 36138; cf. itgaddlem1 25187. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
itgaddnclem.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgaddnclem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgaddnclem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgaddnclem.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgaddnclem1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnclem1
StepHypRef Expression
1 itgaddnclem.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgaddnclem.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11184 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 ibladdnc.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
5 ibladdnc.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 ibladdnc.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
7 ibladdnc.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
8 ibladdnc.m . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
94, 5, 6, 7, 8ibladdnc 36135 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
10 itgaddnclem.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
11 itgaddnclem.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
121, 2, 10, 11addge0d 11731 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
133, 9, 12itgposval 25160 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
141, 5, 10itgposval 25160 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
152, 7, 11itgposval 25160 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
1614, 15oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
17 iblmbf 25132 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
185, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1918, 4mbfdm2 25001 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
20 mblss 24895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
22 rembl 24904 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24 elrege0 13371 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
251, 10, 24sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 13375 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4521 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30 eldifn 4087 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
32 iffalse 4495 . . . . . 6 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
34 iftrue 4492 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3534mpteq2ia 5208 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
3635, 18eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3721, 23, 29, 33, 36mbfss 25010 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3828adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
3938fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
401, 10iblpos 25157 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
415, 40mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
4241simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
43 elrege0 13371 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
442, 11, 43sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
4544, 27ifclda 4521 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4746fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
482, 11iblpos 25157 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
497, 48mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
5049simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
5137, 39, 42, 47, 50itg2addnc 36132 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
52 reex 11142 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
54 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
55 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
5653, 38, 46, 54, 55offval2 7637 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
57 iftrue 4492 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
5834, 57oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
59 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
6058, 59eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
61 iffalse 4495 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6232, 61oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
63 00id 11330 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
6462, 63eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
65 iffalse 4495 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
6664, 65eqtr4d 2779 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
6760, 66pm2.61i 182 . . . . . 6 (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
6867mpteq2i 5210 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
6956, 68eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
7069fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7116, 51, 703eqtr2d 2782 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7213, 71eqtr4d 2779 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  cle 11190  [,)cico 13266  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  36137
  Copyright terms: Public domain W3C validator