Theorem itgaddnclem1 38045

Description: Lemma for itgaddnc 38047; cf. itgaddlem1 25808. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
itgaddnclem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgaddnclem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgaddnclem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgaddnclem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgaddnclem1	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgaddnclem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgaddnclem.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		ibladdnc.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		ibladdnc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		ibladdnc.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		ibladdnc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
8		ibladdnc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
9	4, 5, 6, 7, 8	ibladdnc 38044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
10		itgaddnclem.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
11		itgaddnclem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
12	1, 2, 10, 11	addge0d 11717	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
13	3, 9, 12	itgposval 25781	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
14	1, 5, 10	itgposval 25781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
15	2, 7, 11	itgposval 25781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
16	14, 15	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
17		iblmbf 25752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
18	5, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
19	18, 4	mbfdm2 25622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20		mblss 25516	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
22		rembl 25525	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24		elrege0 13398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
25	1, 10, 24	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26		0e0icopnf 13402	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
28	25, 27	ifclda 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30		eldifn 4062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32		iffalse 4463	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
34		iftrue 4460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
35	34	mpteq2ia 5167	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
36	35, 18	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
37	21, 23, 29, 33, 36	mbfss 25631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
38	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
39	38	fmpttd 7056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
40	1, 10	iblpos 25778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
41	5, 40	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
42	41	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
43		elrege0 13398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
44	2, 11, 43	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
45	44, 27	ifclda 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
46	45	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
47	46	fmpttd 7056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
48	2, 11	iblpos 25778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
49	7, 48	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
50	49	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
51	37, 39, 42, 47, 50	itg2addnc 38041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
52		reex 11120	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
54		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
55		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
56	53, 38, 46, 54, 55	offval2 7640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
57		iftrue 4460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
58	34, 57	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
59		iftrue 4460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
60	58, 59	eqtr4d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
61		iffalse 4463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
62	32, 61	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
63		00id 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
64	62, 63	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
65		iffalse 4463	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
66	64, 65	eqtr4d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
67	60, 66	pm2.61i 183	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
68	67	mpteq2i 5168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
69	56, 68	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
70	69	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
71	16, 51, 70	3eqtr2d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
72	13, 71	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4454   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  volcvol 25448  MblFncmbf 25599  ∫₂citg2 25601  𝐿¹cibl 25602  ∫citg 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cmp 23370  df-ovol 25449  df-vol 25450  df-mbf 25604  df-itg1 25605  df-itg2 25606  df-ibl 25607  df-itg 25608  df-0p 25655

This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  38046