MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem1 24994
Description: Lemma for itgmulc2 24996: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgmulc2.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgmulc2.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
itgmulc2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3 elrege0 13184 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
41, 2, 3sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5 0e0icopnf 13188 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
74, 6ifclda 4496 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
98fmpttd 6991 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
10 itgmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
111, 2iblpos 24955 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
1210, 11mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1312simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
14 itgmulc2.4 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 itgmulc2.6 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
16 elrege0 13184 . . . . 5 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
189, 13, 17itg2mulc 24910 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
19 reex 10960 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
2114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5651 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
24 eqidd 2739 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2520, 21, 8, 23, 24offval2 7553 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
26 ovif2 7373 . . . . . . 7 (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0))
27 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2827mul01d 11172 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · 0) = 0)
3029ifeq2d 4481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3126, 30eqtrid 2790 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3231mpteq2dva 5176 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3325, 32eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3433fveq2d 6780 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
3518, 34eqtr3d 2780 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
361, 10, 2itgposval 24958 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
3736oveq2d 7293 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
3814adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3938, 1remulcld 11003 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
40 itgmulc2.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
4127, 40, 10iblmulc2 24993 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
4215adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
4338, 1, 42, 2mulge0d 11550 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐶 · 𝐵))
4439, 41, 43itgposval 24958 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
4535, 37, 443eqtr4d 2788 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3431  ifcif 4461  {csn 4563   class class class wbr 5076  cmpt 5159   × cxp 5589  cfv 6435  (class class class)co 7277  f cof 7531  cc 10867  cr 10868  0cc0 10869   · cmul 10874  +∞cpnf 11004  cle 11008  [,)cico 13079  MblFncmbf 24776  2citg2 24778  𝐿1cibl 24779  citg 24780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397  ax-cc 10189  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947  ax-addf 10948  ax-mulf 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-disj 5042  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-2o 8296  df-oadd 8299  df-omul 8300  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-fi 9168  df-sup 9199  df-inf 9200  df-oi 9267  df-dju 9657  df-card 9695  df-acn 9698  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-q 12687  df-rp 12729  df-xneg 12846  df-xadd 12847  df-xmul 12848  df-ioo 13081  df-ioc 13082  df-ico 13083  df-icc 13084  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-ovol 24626  df-vol 24627  df-mbf 24781  df-itg1 24782  df-itg2 24783  df-ibl 24784  df-itg 24785  df-0p 24832
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  24995
  Copyright terms: Public domain W3C validator