Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem1 24441
 Description: Lemma for itgmulc2 24443: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgmulc2.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgmulc2.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
itgmulc2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3 elrege0 12841 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
41, 2, 3sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5 0e0icopnf 12845 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
74, 6ifclda 4484 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
98fmpttd 6870 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
10 itgmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
111, 2iblpos 24402 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
1210, 11mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1312simprd 499 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
14 itgmulc2.4 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 itgmulc2.6 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
16 elrege0 12841 . . . . 5 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
1714, 15, 16sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
189, 13, 17itg2mulc 24357 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
19 reex 10626 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
2114adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5601 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
24 eqidd 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2520, 21, 8, 23, 24offval2 7420 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
26 ovif2 7245 . . . . . . 7 (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0))
27 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2827mul01d 10837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
2928adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · 0) = 0)
3029ifeq2d 4469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3126, 30syl5eq 2871 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3231mpteq2dva 5147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3325, 32eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3433fveq2d 6665 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
3518, 34eqtr3d 2861 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
361, 10, 2itgposval 24405 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
3736oveq2d 7165 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
3814adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3938, 1remulcld 10669 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
40 itgmulc2.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
4127, 40, 10iblmulc2 24440 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
4215adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
4338, 1, 42, 2mulge0d 11215 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐶 · 𝐵))
4439, 41, 43itgposval 24405 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
4535, 37, 443eqtr4d 2869 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ifcif 4450  {csn 4550   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘f cof 7401  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540  +∞cpnf 10670   ≤ cle 10674  [,)cico 12737  MblFncmbf 24224  ∫2citg2 24226  𝐿1cibl 24227  ∫citg 24228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280 This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  24442
 Copyright terms: Public domain W3C validator