![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgmulc2lem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for itgmulc2 25776: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2.1 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
itgmulc2.3 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) |
itgmulc2.4 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.5 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
itgmulc2.6 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
itgmulc2.7 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2lem1 | โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | itgmulc2.5 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
2 | itgmulc2.7 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
3 | elrege0 13458 | . . . . . . . 8 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
4 | 1, 2, 3 | sylanbrc 581 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
5 | 0e0icopnf 13462 | . . . . . . . 8 โข 0 โ (0[,)+โ) | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โ (0[,)+โ)) |
7 | 4, 6 | ifclda 4560 | . . . . . 6 โข (๐ โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
8 | 7 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
9 | 8 | fmpttd 7118 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)):โโถ(0[,)+โ)) |
10 | itgmulc2.3 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | |
11 | 1, 2 | iblpos 25735 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ))) |
12 | 10, 11 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ)) |
13 | 12 | simprd 494 | . . . 4 โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ) |
14 | itgmulc2.4 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
15 | itgmulc2.6 | . . . . 5 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
16 | elrege0 13458 | . . . . 5 โข (๐ถ โ (0[,)+โ) โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) | |
17 | 14, 15, 16 | sylanbrc 581 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ (0[,)+โ)) |
18 | 9, 13, 17 | itg2mulc 25690 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
19 | reex 11224 | . . . . . . 7 โข โ โ V | |
20 | 19 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ V) |
21 | 14 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ๐ถ โ โ) |
22 | fconstmpt 5735 | . . . . . . 7 โข (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ) | |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ)) |
24 | eqidd 2726 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) | |
25 | 20, 21, 8, 23, 24 | offval2 7699 | . . . . 5 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
26 | ovif2 7513 | . . . . . . 7 โข (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) | |
27 | itgmulc2.1 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
28 | 27 | mul01d 11438 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
29 | 28 | adantr 479 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
30 | 29 | ifeq2d 4545 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
31 | 26, 30 | eqtrid 2777 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
32 | 31 | mpteq2dva 5244 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
33 | 25, 32 | eqtrd 2765 | . . . 4 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
34 | 33 | fveq2d 6894 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
35 | 18, 34 | eqtr3d 2767 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
36 | 1, 10, 2 | itgposval 25738 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
37 | 36 | oveq2d 7429 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
38 | 14 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
39 | 38, 1 | remulcld 11269 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
40 | itgmulc2.2 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
41 | 27, 40, 10 | iblmulc2 25773 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ ๐ฟ1) |
42 | 15 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ถ) |
43 | 38, 1, 42, 2 | mulge0d 11816 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
44 | 39, 41, 43 | itgposval 25738 | . 2 โข (๐ โ โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
45 | 35, 37, 44 | 3eqtr4d 2775 | 1 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3463 ifcif 4525 {csn 4625 class class class wbr 5144 โฆ cmpt 5227 ร cxp 5671 โcfv 6543 (class class class)co 7413 โf cof 7677 โcc 11131 โcr 11132 0cc0 11133 ยท cmul 11138 +โcpnf 11270 โค cle 11274 [,)cico 13353 MblFncmbf 25556 โซ2citg2 25558 ๐ฟ1cibl 25559 โซcitg 25560 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cc 10453 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 ax-addf 11212 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-disj 5110 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-of 7679 df-ofr 7680 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-omul 8485 df-er 8718 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9381 df-fi 9429 df-sup 9460 df-inf 9461 df-oi 9528 df-dju 9919 df-card 9957 df-acn 9960 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-q 12958 df-rp 13002 df-xneg 13119 df-xadd 13120 df-xmul 13121 df-ioo 13355 df-ioc 13356 df-ico 13357 df-icc 13358 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-fl 13784 df-mod 13862 df-seq 13994 df-exp 14054 df-hash 14317 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-clim 15459 df-rlim 15460 df-sum 15660 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17398 df-topn 17399 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-topgen 17419 df-pt 17420 df-prds 17423 df-xrs 17478 df-qtop 17483 df-imas 17484 df-xps 17486 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-submnd 18735 df-mulg 19023 df-cntz 19267 df-cmn 19736 df-psmet 21270 df-xmet 21271 df-met 21272 df-bl 21273 df-mopn 21274 df-cnfld 21279 df-top 22809 df-topon 22826 df-topsp 22848 df-bases 22862 df-cn 23144 df-cnp 23145 df-cmp 23304 df-tx 23479 df-hmeo 23672 df-xms 24239 df-ms 24240 df-tms 24241 df-cncf 24811 df-ovol 25406 df-vol 25407 df-mbf 25561 df-itg1 25562 df-itg2 25563 df-ibl 25564 df-itg 25565 df-0p 25612 |
This theorem is referenced by: itgmulc2lem2 25775 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |