MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem1 25735
Description: Lemma for itgmulc2 25737: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgmulc2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
itgmulc2.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
itgmulc2.6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
itgmulc2.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3 elrege0 13449 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
41, 2, 3sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
5 0e0icopnf 13453 . . . . . . . 8 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
74, 6ifclda 4559 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
87adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
98fmpttd 7119 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
10 itgmulc2.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
111, 2iblpos 25696 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)))
1210, 11mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
1312simprd 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
14 itgmulc2.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15 itgmulc2.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
16 elrege0 13449 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
1714, 15, 16sylanbrc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž))
189, 13, 17itg2mulc 25651 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
19 reex 11215 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
2114adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
22 fconstmpt 5734 . . . . . . 7 (โ„ ร— {๐ถ}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ถ)
2322a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {๐ถ}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ถ))
24 eqidd 2728 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
2520, 21, 8, 23, 24offval2 7697 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
26 ovif2 7512 . . . . . . 7 (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0))
27 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2827mul01d 11429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท 0) = 0)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท 0) = 0)
3029ifeq2d 4544 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))
3126, 30eqtrid 2779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))
3231mpteq2dva 5242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))
3325, 32eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))
3433fveq2d 6895 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
3518, 34eqtr3d 2769 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
361, 10, 2itgposval 25699 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
3736oveq2d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
3814adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3938, 1remulcld 11260 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
40 itgmulc2.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
4127, 40, 10iblmulc2 25734 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
4215adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
4338, 1, 42, 2mulge0d 11807 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
4439, 41, 43itgposval 25699 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
4535, 37, 443eqtr4d 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7675  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124   ยท cmul 11129  +โˆžcpnf 11261   โ‰ค cle 11265  [,)cico 13344  MblFncmbf 25517  โˆซ2citg2 25519  ๐ฟ1cibl 25520  โˆซcitg 25521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-itg 25526  df-0p 25573
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  25736
  Copyright terms: Public domain W3C validator