![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgmulc2lem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for itgmulc2 25214: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2.1 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
itgmulc2.3 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) |
itgmulc2.4 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.5 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
itgmulc2.6 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
itgmulc2.7 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2lem1 | โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | itgmulc2.5 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
2 | itgmulc2.7 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
3 | elrege0 13377 | . . . . . . . 8 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
4 | 1, 2, 3 | sylanbrc 584 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
5 | 0e0icopnf 13381 | . . . . . . . 8 โข 0 โ (0[,)+โ) | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โ (0[,)+โ)) |
7 | 4, 6 | ifclda 4522 | . . . . . 6 โข (๐ โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
8 | 7 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
9 | 8 | fmpttd 7064 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)):โโถ(0[,)+โ)) |
10 | itgmulc2.3 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | |
11 | 1, 2 | iblpos 25173 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ))) |
12 | 10, 11 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ)) |
13 | 12 | simprd 497 | . . . 4 โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ) |
14 | itgmulc2.4 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
15 | itgmulc2.6 | . . . . 5 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
16 | elrege0 13377 | . . . . 5 โข (๐ถ โ (0[,)+โ) โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) | |
17 | 14, 15, 16 | sylanbrc 584 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ (0[,)+โ)) |
18 | 9, 13, 17 | itg2mulc 25128 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
19 | reex 11147 | . . . . . . 7 โข โ โ V | |
20 | 19 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ V) |
21 | 14 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ๐ถ โ โ) |
22 | fconstmpt 5695 | . . . . . . 7 โข (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ) | |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ)) |
24 | eqidd 2734 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) | |
25 | 20, 21, 8, 23, 24 | offval2 7638 | . . . . 5 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
26 | ovif2 7456 | . . . . . . 7 โข (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) | |
27 | itgmulc2.1 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
28 | 27 | mul01d 11359 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
29 | 28 | adantr 482 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
30 | 29 | ifeq2d 4507 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
31 | 26, 30 | eqtrid 2785 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
32 | 31 | mpteq2dva 5206 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
33 | 25, 32 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
34 | 33 | fveq2d 6847 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
35 | 18, 34 | eqtr3d 2775 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
36 | 1, 10, 2 | itgposval 25176 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
37 | 36 | oveq2d 7374 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
38 | 14 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
39 | 38, 1 | remulcld 11190 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
40 | itgmulc2.2 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
41 | 27, 40, 10 | iblmulc2 25211 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ ๐ฟ1) |
42 | 15 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ถ) |
43 | 38, 1, 42, 2 | mulge0d 11737 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
44 | 39, 41, 43 | itgposval 25176 | . 2 โข (๐ โ โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
45 | 35, 37, 44 | 3eqtr4d 2783 | 1 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3444 ifcif 4487 {csn 4587 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 ร cxp 5632 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โf cof 7616 โcc 11054 โcr 11055 0cc0 11056 ยท cmul 11061 +โcpnf 11191 โค cle 11195 [,)cico 13272 MblFncmbf 24994 โซ2citg2 24996 ๐ฟ1cibl 24997 โซcitg 24998 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9582 ax-cc 10376 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 ax-addf 11135 ax-mulf 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-iin 4958 df-disj 5072 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7618 df-ofr 7619 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-supp 8094 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-2o 8414 df-oadd 8417 df-omul 8418 df-er 8651 df-map 8770 df-pm 8771 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9309 df-fi 9352 df-sup 9383 df-inf 9384 df-oi 9451 df-dju 9842 df-card 9880 df-acn 9883 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-z 12505 df-dec 12624 df-uz 12769 df-q 12879 df-rp 12921 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13274 df-ioc 13275 df-ico 13276 df-icc 13277 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-fl 13703 df-mod 13781 df-seq 13913 df-exp 13974 df-hash 14237 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-clim 15376 df-rlim 15377 df-sum 15577 df-struct 17024 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-starv 17153 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-ip 17156 df-tset 17157 df-ple 17158 df-ds 17160 df-unif 17161 df-hom 17162 df-cco 17163 df-rest 17309 df-topn 17310 df-0g 17328 df-gsum 17329 df-topgen 17330 df-pt 17331 df-prds 17334 df-xrs 17389 df-qtop 17394 df-imas 17395 df-xps 17397 df-mre 17471 df-mrc 17472 df-acs 17474 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-submnd 18607 df-mulg 18878 df-cntz 19102 df-cmn 19569 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-cnfld 20813 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-cmp 22754 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-cncf 24257 df-ovol 24844 df-vol 24845 df-mbf 24999 df-itg1 25000 df-itg2 25001 df-ibl 25002 df-itg 25003 df-0p 25050 |
This theorem is referenced by: itgmulc2lem2 25213 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |