![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgmulc2lem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for itgmulc2 25350: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2.1 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
itgmulc2.3 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) |
itgmulc2.4 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.5 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
itgmulc2.6 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
itgmulc2.7 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2lem1 | โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | itgmulc2.5 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
2 | itgmulc2.7 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
3 | elrege0 13430 | . . . . . . . 8 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
4 | 1, 2, 3 | sylanbrc 583 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
5 | 0e0icopnf 13434 | . . . . . . . 8 โข 0 โ (0[,)+โ) | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โ (0[,)+โ)) |
7 | 4, 6 | ifclda 4563 | . . . . . 6 โข (๐ โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
8 | 7 | adantr 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
9 | 8 | fmpttd 7114 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)):โโถ(0[,)+โ)) |
10 | itgmulc2.3 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | |
11 | 1, 2 | iblpos 25309 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ))) |
12 | 10, 11 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ)) |
13 | 12 | simprd 496 | . . . 4 โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ) |
14 | itgmulc2.4 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
15 | itgmulc2.6 | . . . . 5 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
16 | elrege0 13430 | . . . . 5 โข (๐ถ โ (0[,)+โ) โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) | |
17 | 14, 15, 16 | sylanbrc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ (0[,)+โ)) |
18 | 9, 13, 17 | itg2mulc 25264 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
19 | reex 11200 | . . . . . . 7 โข โ โ V | |
20 | 19 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ V) |
21 | 14 | adantr 481 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ๐ถ โ โ) |
22 | fconstmpt 5738 | . . . . . . 7 โข (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ) | |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ)) |
24 | eqidd 2733 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) | |
25 | 20, 21, 8, 23, 24 | offval2 7689 | . . . . 5 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
26 | ovif2 7506 | . . . . . . 7 โข (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) | |
27 | itgmulc2.1 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
28 | 27 | mul01d 11412 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
29 | 28 | adantr 481 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
30 | 29 | ifeq2d 4548 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
31 | 26, 30 | eqtrid 2784 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
32 | 31 | mpteq2dva 5248 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
33 | 25, 32 | eqtrd 2772 | . . . 4 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
34 | 33 | fveq2d 6895 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
35 | 18, 34 | eqtr3d 2774 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
36 | 1, 10, 2 | itgposval 25312 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
37 | 36 | oveq2d 7424 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
38 | 14 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
39 | 38, 1 | remulcld 11243 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
40 | itgmulc2.2 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
41 | 27, 40, 10 | iblmulc2 25347 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ ๐ฟ1) |
42 | 15 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ถ) |
43 | 38, 1, 42, 2 | mulge0d 11790 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
44 | 39, 41, 43 | itgposval 25312 | . 2 โข (๐ โ โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
45 | 35, 37, 44 | 3eqtr4d 2782 | 1 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 Vcvv 3474 ifcif 4528 {csn 4628 class class class wbr 5148 โฆ cmpt 5231 ร cxp 5674 โcfv 6543 (class class class)co 7408 โf cof 7667 โcc 11107 โcr 11108 0cc0 11109 ยท cmul 11114 +โcpnf 11244 โค cle 11248 [,)cico 13325 MblFncmbf 25130 โซ2citg2 25132 ๐ฟ1cibl 25133 โซcitg 25134 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cc 10429 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 ax-addf 11188 ax-mulf 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-disj 5114 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-of 7669 df-ofr 7670 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8146 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-oadd 8469 df-omul 8470 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-dju 9895 df-card 9933 df-acn 9936 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-q 12932 df-rp 12974 df-xneg 13091 df-xadd 13092 df-xmul 13093 df-ioo 13327 df-ioc 13328 df-ico 13329 df-icc 13330 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-fl 13756 df-mod 13834 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-clim 15431 df-rlim 15432 df-sum 15632 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17367 df-topn 17368 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-topgen 17388 df-pt 17389 df-prds 17392 df-xrs 17447 df-qtop 17452 df-imas 17453 df-xps 17455 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-submnd 18671 df-mulg 18950 df-cntz 19180 df-cmn 19649 df-psmet 20935 df-xmet 20936 df-met 20937 df-bl 20938 df-mopn 20939 df-cnfld 20944 df-top 22395 df-topon 22412 df-topsp 22434 df-bases 22448 df-cn 22730 df-cnp 22731 df-cmp 22890 df-tx 23065 df-hmeo 23258 df-xms 23825 df-ms 23826 df-tms 23827 df-cncf 24393 df-ovol 24980 df-vol 24981 df-mbf 25135 df-itg1 25136 df-itg2 25137 df-ibl 25138 df-itg 25139 df-0p 25186 |
This theorem is referenced by: itgmulc2lem2 25349 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |