MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem1 25196
Description: Lemma for itgmulc2 25198: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgmulc2.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgmulc2.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
itgmulc2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3 elrege0 13371 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
41, 2, 3sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5 0e0icopnf 13375 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
74, 6ifclda 4521 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
98fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
10 itgmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
111, 2iblpos 25157 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
1210, 11mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1312simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
14 itgmulc2.4 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 itgmulc2.6 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
16 elrege0 13371 . . . . 5 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
189, 13, 17itg2mulc 25112 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
19 reex 11142 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
2114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5694 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
24 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2520, 21, 8, 23, 24offval2 7637 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
26 ovif2 7455 . . . . . . 7 (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0))
27 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2827mul01d 11354 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · 0) = 0)
3029ifeq2d 4506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3126, 30eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3231mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3325, 32eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3433fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
3518, 34eqtr3d 2778 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
361, 10, 2itgposval 25160 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
3736oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
3814adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3938, 1remulcld 11185 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
40 itgmulc2.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
4127, 40, 10iblmulc2 25195 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
4215adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
4338, 1, 42, 2mulge0d 11732 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐶 · 𝐵))
4439, 41, 43itgposval 25160 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
4535, 37, 443eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  cle 11190  [,)cico 13266  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  25197
  Copyright terms: Public domain W3C validator