![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgmulc2lem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for itgmulc2 25737: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2.1 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
itgmulc2.3 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) |
itgmulc2.4 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
itgmulc2.5 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
itgmulc2.6 | โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) |
itgmulc2.7 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
itgmulc2lem1 | โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | itgmulc2.5 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
2 | itgmulc2.7 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
3 | elrege0 13449 | . . . . . . . 8 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
4 | 1, 2, 3 | sylanbrc 582 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
5 | 0e0icopnf 13453 | . . . . . . . 8 โข 0 โ (0[,)+โ) | |
6 | 5 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โ (0[,)+โ)) |
7 | 4, 6 | ifclda 4559 | . . . . . 6 โข (๐ โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
8 | 7 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0) โ (0[,)+โ)) |
9 | 8 | fmpttd 7119 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)):โโถ(0[,)+โ)) |
10 | itgmulc2.3 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | |
11 | 1, 2 | iblpos 25696 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ))) |
12 | 10, 11 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ)) |
13 | 12 | simprd 495 | . . . 4 โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ) |
14 | itgmulc2.4 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
15 | itgmulc2.6 | . . . . 5 โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) | |
16 | elrege0 13449 | . . . . 5 โข (๐ถ โ (0[,)+โ) โ (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) | |
17 | 14, 15, 16 | sylanbrc 582 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ (0[,)+โ)) |
18 | 9, 13, 17 | itg2mulc 25651 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
19 | reex 11215 | . . . . . . 7 โข โ โ V | |
20 | 19 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ V) |
21 | 14 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ๐ถ โ โ) |
22 | fconstmpt 5734 | . . . . . . 7 โข (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ) | |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โ ร {๐ถ}) = (๐ฅ โ โ โฆ ๐ถ)) |
24 | eqidd 2728 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) | |
25 | 20, 21, 8, 23, 24 | offval2 7697 | . . . . 5 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
26 | ovif2 7512 | . . . . . . 7 โข (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) | |
27 | itgmulc2.1 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
28 | 27 | mul01d 11429 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
29 | 28 | adantr 480 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท 0) = 0) |
30 | 29 | ifeq2d 4544 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
31 | 26, 30 | eqtrid 2779 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)) |
32 | 31 | mpteq2dva 5242 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ (๐ถ ยท if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
33 | 25, 32 | eqtrd 2767 | . . . 4 โข (๐ โ ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))) |
34 | 33 | fveq2d 6895 | . . 3 โข (๐ โ (โซ2โ((โ ร {๐ถ}) โf ยท (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
35 | 18, 34 | eqtr3d 2769 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
36 | 1, 10, 2 | itgposval 25699 | . . 3 โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) |
37 | 36 | oveq2d 7430 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = (๐ถ ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))))) |
38 | 14 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
39 | 38, 1 | remulcld 11260 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
40 | itgmulc2.2 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
41 | 27, 40, 10 | iblmulc2 25734 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ ๐ฟ1) |
42 | 15 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ถ) |
43 | 38, 1, 42, 2 | mulge0d 11807 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
44 | 39, 41, 43 | itgposval 25699 | . 2 โข (๐ โ โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))) |
45 | 35, 37, 44 | 3eqtr4d 2777 | 1 โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 ifcif 4524 {csn 4624 class class class wbr 5142 โฆ cmpt 5225 ร cxp 5670 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โf cof 7675 โcc 11122 โcr 11123 0cc0 11124 ยท cmul 11129 +โcpnf 11261 โค cle 11265 [,)cico 13344 MblFncmbf 25517 โซ2citg2 25519 ๐ฟ1cibl 25520 โซcitg 25521 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-inf2 9650 ax-cc 10444 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 ax-addf 11203 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-disj 5108 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7677 df-ofr 7678 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8158 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-2o 8479 df-oadd 8482 df-omul 8483 df-er 8716 df-map 8836 df-pm 8837 df-ixp 8906 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9376 df-fi 9420 df-sup 9451 df-inf 9452 df-oi 9519 df-dju 9910 df-card 9948 df-acn 9951 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12489 df-z 12575 df-dec 12694 df-uz 12839 df-q 12949 df-rp 12993 df-xneg 13110 df-xadd 13111 df-xmul 13112 df-ioo 13346 df-ioc 13347 df-ico 13348 df-icc 13349 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-fl 13775 df-mod 13853 df-seq 13985 df-exp 14045 df-hash 14308 df-cj 15064 df-re 15065 df-im 15066 df-sqrt 15200 df-abs 15201 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15651 df-struct 17101 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-ress 17195 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17389 df-topn 17390 df-0g 17408 df-gsum 17409 df-topgen 17410 df-pt 17411 df-prds 17414 df-xrs 17469 df-qtop 17474 df-imas 17475 df-xps 17477 df-mre 17551 df-mrc 17552 df-acs 17554 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-submnd 18726 df-mulg 19008 df-cntz 19252 df-cmn 19721 df-psmet 21251 df-xmet 21252 df-met 21253 df-bl 21254 df-mopn 21255 df-cnfld 21260 df-top 22770 df-topon 22787 df-topsp 22809 df-bases 22823 df-cn 23105 df-cnp 23106 df-cmp 23265 df-tx 23440 df-hmeo 23633 df-xms 24200 df-ms 24201 df-tms 24202 df-cncf 24772 df-ovol 25367 df-vol 25368 df-mbf 25522 df-itg1 25523 df-itg2 25524 df-ibl 25525 df-itg 25526 df-0p 25573 |
This theorem is referenced by: itgmulc2lem2 25736 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |