MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem1 24359
Description: Lemma for itgmulc2 24361: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgmulc2.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgmulc2.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
itgmulc2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3 elrege0 12830 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
41, 2, 3sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5 0e0icopnf 12834 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
74, 6ifclda 4497 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
98fmpttd 6871 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
10 itgmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
111, 2iblpos 24320 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
1210, 11mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1312simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
14 itgmulc2.4 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 itgmulc2.6 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
16 elrege0 12830 . . . . 5 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
189, 13, 17itg2mulc 24275 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
19 reex 10616 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
2114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5607 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
24 eqidd 2819 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2520, 21, 8, 23, 24offval2 7415 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
26 ovif2 7241 . . . . . . 7 (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0))
27 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2827mul01d 10827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · 0) = 0)
3029ifeq2d 4482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3126, 30syl5eq 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3231mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3325, 32eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3433fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
3518, 34eqtr3d 2855 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
361, 10, 2itgposval 24323 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
3736oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
3814adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3938, 1remulcld 10659 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
40 itgmulc2.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
4127, 40, 10iblmulc2 24358 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
4215adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
4338, 1, 42, 2mulge0d 11205 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐶 · 𝐵))
4439, 41, 43itgposval 24323 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
4535, 37, 443eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  cle 10664  [,)cico 12728  MblFncmbf 24142  2citg2 24144  𝐿1cibl 24145  citg 24146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  24360
  Copyright terms: Public domain W3C validator