Theorem itgmulc2lem1 26152

Description: Lemma for itgmulc2 26154: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
itgmulc2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgmulc2.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
itgmulc2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2lem1	⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgmulc2.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3		elrege0 13585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5		0e0icopnf 13589	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
7	4, 6	ifclda 4518	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
9	8	fmpttd 7115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
10		itgmulc2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
11	1, 2	iblpos 26113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
12	10, 11	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
13	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
14		itgmulc2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15		itgmulc2.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
16		elrege0 13585	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
17	14, 15, 16	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
18	9, 13, 17	itg2mulc 26068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))))
19		reex 11291	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
21	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		fconstmpt 5713	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶)
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
24		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
25	20, 21, 8, 23, 24	offval2 7713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
26		ovif2 7519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0))
27		itgmulc2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
28	27	mul01d 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · 0) = 0)
30	29	ifeq2d 4503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
31	26, 30	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
32	31	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
33	25, 32	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
34	33	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
35	18, 34	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
36	1, 10, 2	itgposval 26116	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
37	36	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))))
38	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
39	38, 1	remulcld 11339	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
40		itgmulc2.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
41	27, 40, 10	iblmulc2 26151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
42	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
43	38, 1, 42, 2	mulge0d 11893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 · 𝐵))
44	39, 41, 43	itgposval 26116	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
45	35, 37, 44	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  [,)cico 13478  MblFncmbf 25935  ∫₂citg2 25937  𝐿¹cibl 25938  ∫citg 25939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-itg 25944  df-0p 25991

This theorem is used by:  itgmulc2lem2  26153