MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2lem1 25212
Description: Lemma for itgmulc2 25214: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
itgmulc2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
itgmulc2.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
itgmulc2.6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
itgmulc2.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3 elrege0 13377 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
41, 2, 3sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
5 0e0icopnf 13381 . . . . . . . 8 0 โˆˆ (0[,)+โˆž)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ (0[,)+โˆž))
74, 6ifclda 4522 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
87adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
98fmpttd 7064 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
10 itgmulc2.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
111, 2iblpos 25173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)))
1210, 11mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
1312simprd 497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
14 itgmulc2.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15 itgmulc2.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
16 elrege0 13377 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
1714, 15, 16sylanbrc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (0[,)+โˆž))
189, 13, 17itg2mulc 25128 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
19 reex 11147 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
2114adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
22 fconstmpt 5695 . . . . . . 7 (โ„ ร— {๐ถ}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ถ)
2322a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— {๐ถ}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ถ))
24 eqidd 2734 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
2520, 21, 8, 23, 24offval2 7638 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
26 ovif2 7456 . . . . . . 7 (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0))
27 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2827mul01d 11359 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท 0) = 0)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท 0) = 0)
3029ifeq2d 4507 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), (๐ถ ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))
3126, 30eqtrid 2785 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))
3231mpteq2dva 5206 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ถ ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))
3325, 32eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0)))
3433fveq2d 6847 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜((โ„ ร— {๐ถ}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
3518, 34eqtr3d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
361, 10, 2itgposval 25176 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
3736oveq2d 7374 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (๐ถ ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
3814adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3938, 1remulcld 11190 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
40 itgmulc2.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
4127, 40, 10iblmulc2 25211 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
4215adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
4338, 1, 42, 2mulge0d 11737 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
4439, 41, 43itgposval 25176 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ถ ยท ๐ต), 0))))
4535, 37, 443eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆ˜f cof 7616  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191   โ‰ค cle 11195  [,)cico 13272  MblFncmbf 24994  โˆซ2citg2 24996  ๐ฟ1cibl 24997  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator