Theorem rlimcnp3 27098

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp3.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp3.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp3	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3968	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
2		0e0icopnf 13485	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
4		rpssre 13024	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6		rlimcnp3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimcnp3.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
8		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9		rpreccl 13044	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 13060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
12	10	rpge0d 13064	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑦))
13		elrege0 13481	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑦)))
14	11, 12, 13	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15	8, 14	2thd 268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
16		rlimcnp3.s	. 2 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
17		rlimcnp3.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
18		rlimcnp3.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
19	1, 3, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 18	rlimcnp2 27097	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  +∞cpnf 11240   ≤ cle 11244   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 13016  [,)cico 13374   ⇝_𝑟 crli 15536   ↾_t crest 17473  TopOpenctopn 17474  ℂ_fldccnfld 21491   CnP ccnp 23351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-rlim 15540  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-rest 17475  df-topn 17476  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-cnp 23354

This theorem is referenced by:  efrlim  27100