MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp3 26850
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp3.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
rlimcnp3.r ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
rlimcnp3.s (𝑦 = (1 / π‘₯) β†’ 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
rlimcnp3.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
rlimcnp3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ if(π‘₯ = 0, 𝐢, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3
StepHypRef Expression
1 ssidd 4000 . 2 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,)+∞))
2 0e0icopnf 13438 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
4 rpssre 12984 . . 3 ℝ+ βŠ† ℝ
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6 rlimcnp3.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 rlimcnp3.r . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
8 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
9 rpreccl 13003 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
109adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1110rpred 13019 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1210rpge0d 13023 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑦))
13 elrege0 13434 . . . 4 ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 𝑦)))
1411, 12, 13sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
158, 142thd 265 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
16 rlimcnp3.s . 2 (𝑦 = (1 / π‘₯) β†’ 𝑆 = 𝑅)
17 rlimcnp3.j . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
18 rlimcnp3.k . 2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))
191, 3, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 18rlimcnp2 26849 1 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ if(π‘₯ = 0, 𝐢, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11246   ≀ cle 11250   / cdiv 11872  β„+crp 12977  [,)cico 13329   β‡π‘Ÿ crli 15433   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21236   CnP ccnp 23080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rlim 15437  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cnp 23083
This theorem is referenced by:  efrlim  26852  efrlimOLD  26853
  Copyright terms: Public domain W3C validator