Theorem rlimcnp3 26469

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp3.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp3.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp3	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4005	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
2		0e0icopnf 13434	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
4		rpssre 12980	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6		rlimcnp3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimcnp3.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9		rpreccl 12999	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 13015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
12	10	rpge0d 13019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑦))
13		elrege0 13430	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑦)))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15	8, 14	2thd 264	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
16		rlimcnp3.s	. 2 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
17		rlimcnp3.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
18		rlimcnp3.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
19	1, 3, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 18	rlimcnp2 26468	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11244   ≤ cle 11248   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 12973  [,)cico 13325   ⇝_𝑟 crli 15428   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  ℂ_fldccnfld 20943   CnP ccnp 22728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-rlim 15432  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cnp 22731

This theorem is referenced by:  efrlim  26471