MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp3 26912
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp3.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
rlimcnp3.r ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
rlimcnp3.s (𝑦 = (1 / π‘₯) β†’ 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
rlimcnp3.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
rlimcnp3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ if(π‘₯ = 0, 𝐢, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3
StepHypRef Expression
1 ssidd 4003 . 2 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,)+∞))
2 0e0icopnf 13468 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
4 rpssre 13014 . . 3 ℝ+ βŠ† ℝ
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6 rlimcnp3.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 rlimcnp3.r . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
8 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
9 rpreccl 13033 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
109adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1110rpred 13049 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1210rpge0d 13053 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑦))
13 elrege0 13464 . . . 4 ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 𝑦)))
1411, 12, 13sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
158, 142thd 265 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
16 rlimcnp3.s . 2 (𝑦 = (1 / π‘₯) β†’ 𝑆 = 𝑅)
17 rlimcnp3.j . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
18 rlimcnp3.k . 2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))
191, 3, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 18rlimcnp2 26911 1 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↦ if(π‘₯ = 0, 𝐢, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)β€˜0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  +∞cpnf 11276   ≀ cle 11280   / cdiv 11902  β„+crp 13007  [,)cico 13359   β‡π‘Ÿ crli 15462   β†Ύt crest 17402  TopOpenctopn 17403  β„‚fldccnfld 21279   CnP ccnp 23142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-rlim 15466  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-rest 17404  df-topn 17405  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cnp 23145
This theorem is referenced by:  efrlim  26914  efrlimOLD  26915
  Copyright terms: Public domain W3C validator