Theorem rlimcnp3 27185

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp3.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp3.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp3	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
2		0e0icopnf 13503	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
4		rpssre 13042	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6		rlimcnp3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimcnp3.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9		rpreccl 13062	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 13078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
12	10	rpge0d 13082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑦))
13		elrege0 13499	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑦)))
14	11, 12, 13	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15	8, 14	2thd 268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
16		rlimcnp3.s	. 2 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
17		rlimcnp3.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
18		rlimcnp3.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
19	1, 3, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 18	rlimcnp2 27184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118  +∞cpnf 11257   ≤ cle 11261   / cdiv 11888  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392   ⇝_𝑟 crli 15562   ↾_t crest 17497  TopOpenctopn 17498  ℂ_fldccnfld 21574   CnP ccnp 23434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-rlim 15566  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-rest 17499  df-topn 17500  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cnp 23437

This theorem is used by:  efrlim  27187