Theorem rlimcnp3 26904

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp3.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp3.s	⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp3	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
2		0e0icopnf 13358	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
4		rpssre 12898	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6		rlimcnp3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimcnp3.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9		rpreccl 12918	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpred 12934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
12	10	rpge0d 12938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑦))
13		elrege0 13354	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑦)))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15	8, 14	2thd 265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
16		rlimcnp3.s	. 2 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
17		rlimcnp3.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
18		rlimcnp3.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
19	1, 3, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 18	rlimcnp2 26903	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  +∞cpnf 11143   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℝ⁺crp 12890  [,)cico 13247   ⇝_𝑟 crli 15392   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291   CnP ccnp 23140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-rlim 15396  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cnp 23143

This theorem is referenced by:  efrlim  26906  efrlimOLD  26907