Theorem itggt0cn 36003

Description: itggt0 25113 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 10296. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itggt0cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
itggt0cn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0cn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
itggt0cn.cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
itggt0cn	⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itggt0cn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
2		itggt0cn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 12881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ≤ 𝐵)
5		elrege0 13291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7		0e0icopnf 13295	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	ifclda 4512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
10	9	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
11	10	fmpttd 7049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
12	2	rpgt0d 12880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < 𝐵)
13		elioore 13214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		iftrue 4483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
16	15	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
17	16, 2	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
19	18	fvmpt2 6946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
20	14, 17, 19	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
21	20, 16	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
22	12, 21	breqtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
23	22	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
24		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
25		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
26		nffvmpt1 6840	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
27	24, 25, 26	nfbr 5143	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
28		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)
29		fveq2 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
30	29	breq2d 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)))
31	27, 28, 30	cbvralw 3286	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
32	23, 31	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
33	32	r19.21bi 3231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
34		ioossre 13245	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
35		resmpt 5981	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
37	15	mpteq2ia 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
38	36, 37	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
39		itggt0cn.cn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
40	38, 39	eqeltrid 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
41	1, 11, 33, 40	itg2gt0cn 35988	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
42		itggt0cn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
43	3, 42, 4	itgposval 25065	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
44	41, 43	breqtrrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062   ⊆ wss 3901  ifcif 4477   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  ℝcr 10975  0cc0 10976  +∞cpnf 11111   < clt 11114   ≤ cle 11115  ℝ⁺crp 12835  (,)cioo 13184  [,)cico 13186  –cn→ccncf 24144  ∫₂citg2 24885  𝐿¹cibl 24886  ∫citg 24887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-ofr 7600  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-rest 17230  df-topgen 17251  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-top 22148  df-topon 22165  df-bases 22201  df-cmp 22643  df-cncf 24146  df-ovol 24733  df-vol 24734  df-mbf 24888  df-itg1 24889  df-itg2 24890  df-ibl 24891  df-itg 24892  df-0p 24939

This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  36004