Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itggt0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itggt0cn 36003
Description: itggt0 25113 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 10296. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0cn.1 (𝜑𝑋 < 𝑌)
itggt0cn.2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0cn.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
itggt0cn.cn (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itggt0cn (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0cn.1 . . 3 (𝜑𝑋 < 𝑌)
2 itggt0cn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32rpred 12877 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ)
42rpge0d 12881 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ≤ 𝐵)
5 elrege0 13291 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
63, 4, 5sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7 0e0icopnf 13295 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
96, 8ifclda 4512 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
109adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
1110fmpttd 7049 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
122rpgt0d 12880 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < 𝐵)
13 elioore 13214 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 iftrue 4483 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
1615adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
1716, 2eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
18 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
1918fvmpt2 6946 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
2014, 17, 19syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
2120, 16eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
2212, 21breqtrrd 5124 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
2322ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
24 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥0
25 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥 <
26 nffvmpt1 6840 . . . . . . 7 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
2724, 25, 26nfbr 5143 . . . . . 6 𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
28 nfv 1917 . . . . . 6 𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)
29 fveq2 6829 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
3029breq2d 5108 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)))
3127, 28, 30cbvralw 3286 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
3223, 31sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
3332r19.21bi 3231 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
34 ioossre 13245 . . . . . 6 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
35 resmpt 5981 . . . . . 6 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)))
3634, 35ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
3715mpteq2ia 5199 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
3836, 37eqtri 2765 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
39 itggt0cn.cn . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
4038, 39eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
411, 11, 33, 40itg2gt0cn 35988 . 2 (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
42 itggt0cn.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
433, 42, 4itgposval 25065 . 2 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
4441, 43breqtrrd 5124 1 (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wss 3901  ifcif 4477   class class class wbr 5096  cmpt 5179  cres 5626  cfv 6483  (class class class)co 7341  cc 10974  cr 10975  0cc0 10976  +∞cpnf 11111   < clt 11114  cle 11115  +crp 12835  (,)cioo 13184  [,)cico 13186  cnccncf 24144  2citg2 24885  𝐿1cibl 24886  citg 24887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-ofr 7600  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-rest 17230  df-topgen 17251  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-top 22148  df-topon 22165  df-bases 22201  df-cmp 22643  df-cncf 24146  df-ovol 24733  df-vol 24734  df-mbf 24888  df-itg1 24889  df-itg2 24890  df-ibl 24891  df-itg 24892  df-0p 24939
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  36004
  Copyright terms: Public domain W3C validator