Theorem itggt0cn 37697

Description: itggt0 25879 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 10475. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itggt0cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
itggt0cn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0cn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
itggt0cn.cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
itggt0cn	⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itggt0cn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
2		itggt0cn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 13081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ≤ 𝐵)
5		elrege0 13494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7		0e0icopnf 13498	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	ifclda 4561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
11	10	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
12	2	rpgt0d 13080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < 𝐵)
13		elioore 13417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		iftrue 4531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
17	16, 2	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
19	18	fvmpt2 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
20	14, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
21	20, 16	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
22	12, 21	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
23	22	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
24		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
25		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
26		nffvmpt1 6917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
27	24, 25, 26	nfbr 5190	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
28		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)
29		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
30	29	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)))
31	27, 28, 30	cbvralw 3306	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
32	23, 31	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
33	32	r19.21bi 3251	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
34		ioossre 13448	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
35		resmpt 6055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
37	15	mpteq2ia 5245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
38	36, 37	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
39		itggt0cn.cn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
40	38, 39	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
41	1, 11, 33, 40	itg2gt0cn 37682	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
42		itggt0cn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
43	3, 42, 4	itgposval 25831	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
44	41, 43	breqtrrd 5171	1 ⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  –cn→ccncf 24902  ∫₂citg2 25651  𝐿¹cibl 25652  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  37698