Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itggt0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itggt0cn 34999
Description: itggt0 24422 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 9831. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0cn.1 (𝜑𝑋 < 𝑌)
itggt0cn.2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0cn.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
itggt0cn.cn (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itggt0cn (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0cn.1 . . 3 (𝜑𝑋 < 𝑌)
2 itggt0cn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32rpred 12406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ)
42rpge0d 12410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ≤ 𝐵)
5 elrege0 12819 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
63, 4, 5sylanbrc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7 0e0icopnf 12823 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
96, 8ifclda 4473 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
109adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
1110fmpttd 6851 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
122rpgt0d 12409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < 𝐵)
13 elioore 12743 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 iftrue 4445 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
1615adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
1716, 2eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
18 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
1918fvmpt2 6751 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
2014, 17, 19syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
2120, 16eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
2212, 21breqtrrd 5066 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
2322ralrimiva 3169 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
24 nfcv 2973 . . . . . . 7 𝑥0
25 nfcv 2973 . . . . . . 7 𝑥 <
26 nffvmpt1 6653 . . . . . . 7 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
2724, 25, 26nfbr 5085 . . . . . 6 𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
28 nfv 1915 . . . . . 6 𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)
29 fveq2 6642 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
3029breq2d 5050 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)))
3127, 28, 30cbvralw 3417 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
3223, 31sylibr 236 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
3332r19.21bi 3195 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
34 ioossre 12773 . . . . . 6 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
35 resmpt 5877 . . . . . 6 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)))
3634, 35ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
3715mpteq2ia 5129 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
3836, 37eqtri 2843 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
39 itggt0cn.cn . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
4038, 39eqeltrid 2915 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
411, 11, 33, 40itg2gt0cn 34984 . 2 (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
42 itggt0cn.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
433, 42, 4itgposval 24374 . 2 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
4441, 43breqtrrd 5066 1 (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wss 3909  ifcif 4439   class class class wbr 5038  cmpt 5118  cres 5529  cfv 6327  (class class class)co 7129  cc 10509  cr 10510  0cc0 10511  +∞cpnf 10646   < clt 10649  cle 10650  +crp 12364  (,)cioo 12713  [,)cico 12715  cnccncf 23456  2citg2 24195  𝐿1cibl 24196  citg 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589  ax-addf 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-disj 5004  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-ofr 7384  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fi 8849  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-dju 9304  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-q 12324  df-rp 12365  df-xneg 12482  df-xadd 12483  df-xmul 12484  df-ioo 12717  df-ico 12719  df-icc 12720  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-fl 13142  df-mod 13218  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-rlim 14822  df-sum 15019  df-rest 16671  df-topgen 16692  df-psmet 20509  df-xmet 20510  df-met 20511  df-bl 20512  df-mopn 20513  df-top 21474  df-topon 21491  df-bases 21526  df-cmp 21967  df-cncf 23458  df-ovol 24043  df-vol 24044  df-mbf 24198  df-itg1 24199  df-itg2 24200  df-ibl 24201  df-itg 24202  df-0p 24249
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  35000
  Copyright terms: Public domain W3C validator