Theorem itggt0cn 36553

Description: itggt0 25360 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 10429. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itggt0cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
itggt0cn.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0cn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
itggt0cn.cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
itggt0cn	⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itggt0cn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
2		itggt0cn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 13019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ≤ 𝐵)
5		elrege0 13430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7		0e0icopnf 13434	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
9	6, 8	ifclda 4563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
11	10	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
12	2	rpgt0d 13018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < 𝐵)
13		elioore 13353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		iftrue 4534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) = 𝐵)
17	16, 2	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
18		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
19	18	fvmpt2 7009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
20	14, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
21	20, 16	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
22	12, 21	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
23	22	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
24		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
25		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
26		nffvmpt1 6902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
27	24, 25, 26	nfbr 5195	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦)
28		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)
29		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
30	29	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥)))
31	27, 28, 30	cbvralw 3303	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑥))
32	23, 31	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
33	32	r19.21bi 3248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))‘𝑦))
34		ioossre 13384	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
35		resmpt 6037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))
37	15	mpteq2ia 5251	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
38	36, 37	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
39		itggt0cn.cn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
40	38, 39	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0)) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
41	1, 11, 33, 40	itg2gt0cn 36538	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
42		itggt0cn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
43	3, 42, 4	itgposval 25312	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌), 𝐵, 0))))
44	41, 43	breqtrrd 5176	1 ⊢ (𝜑 → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)𝐵 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℝ⁺crp 12973  (,)cioo 13323  [,)cico 13325  –cn→ccncf 24391  ∫₂citg2 25132  𝐿¹cibl 25133  ∫citg 25134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139  df-0p 25186

This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  36554