Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itggt0 24450
 Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
itggt0.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itggt0 (𝜑 → 0 < ∫𝐴𝐵 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24374 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itggt0.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53, 4mbfdm2 24244 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
6 itggt0.1 . . 3 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
74rpred 12423 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
84rpge0d 12427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
9 elrege0 12836 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
107, 8, 9sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
11 0e0icopnf 12840 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
1310, 12ifclda 4462 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
1514fmpttd 6860 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
16 mblss 24138 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
175, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
18 rembl 24147 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
2013adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
21 eldifn 4058 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
2221adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
2322iffalsed 4439 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
24 iftrue 4434 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2524mpteq2ia 5124 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
2625, 3eqeltrid 2897 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
2717, 19, 20, 23, 26mbfss 24253 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
284rpgt0d 12426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < 𝐵)
2917sselda 3918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3024adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3130, 4eqeltrd 2893 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
32 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3332fvmpt2 6760 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3429, 31, 33syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3534, 30eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
3628, 35breqtrrd 5061 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
3736ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
38 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑥0
39 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑥 <
40 nffvmpt1 6660 . . . . . . 7 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦)
4138, 39, 40nfbr 5080 . . . . . 6 𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦)
42 nfv 1915 . . . . . 6 𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥)
43 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
4443breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥)))
4541, 42, 44cbvralw 3390 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
4637, 45sylibr 237 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦))
4746r19.21bi 3176 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦))
485, 6, 15, 27, 47itg2gt0 24367 . 2 (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
497, 1, 8itgposval 24402 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5048, 49breqtrrd 5061 1 (𝜑 → 0 < ∫𝐴𝐵 d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  +∞cpnf 10665   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℝ+crp 12381  [,)cico 12732  volcvol 24070  MblFncmbf 24221  ∫2citg2 24223  𝐿1cibl 24224  ∫citg 24225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cmp 21995  df-cncf 23486  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226  df-itg1 24227  df-itg2 24228  df-ibl 24229  df-itg 24230  df-0p 24277 This theorem is referenced by:  ftc1lem4  24645  fdvposlt  31978
 Copyright terms: Public domain W3C validator