Theorem rpnnen1lem2 12370

Description: Lemma for rpnnen1 12376. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem2	⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2	1	ssrab3 4056	. 2 ⊢ 𝑇 ⊆ ℤ
3		nnre 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
4		remulcl 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
5	4	ancoms 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
7		btwnz 12078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
8	7	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
10		zre 11979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
11	10	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
12		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		nngt0 11662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
14	3, 13	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
16		ltdivmul 11509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
17	11, 12, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
18	17	rexbidva 3296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
19	9, 18	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
20		rabn0 4338	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
21	19, 20	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
22	1	neeq1i 3080	. . . 4 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
23	21, 22	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
24	1	rabeq2i 3487	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
25	3	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
26	25, 12, 4	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
27		ltle 10723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
28	11, 26, 27	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
29	17, 28	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
30	29	impr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
31	24, 30	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
32	31	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
33		brralrspcev 5118	. . . 4 ⊢ (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
34	6, 32, 33	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
35		suprzcl 12056	. . 3 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℤ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
36	2, 23, 34, 35	mp3an2i 1462	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
37	2, 36	sseldi 3964	1 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem3  12372  rpnnen1lem5  12374