MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flval3 13535
Description: An alternate way to define the floor function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem flval3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4013 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℤ
2 zssre 12326 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3930 . . . 4 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ)
5 breq1 5077 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
6 flcl 13515 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
7 flle 13519 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
85, 6, 7elrabd 3626 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴})
98ne0d 4269 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅)
10 reflcl 13516 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 breq1 5077 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑧𝐴))
1211elrab 3624 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝐴))
13 flge 13525 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1413biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1514expimpd 454 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1612, 15syl5bi 241 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1716ralrimiv 3102 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴))
18 brralrspcev 5134 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧𝑦)
1910, 17, 18syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧𝑦)
204, 9, 19, 8suprubd 11937 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
21 suprleub 11941 . . . 4 ((({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧𝑦) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
224, 9, 19, 10, 21syl31anc 1372 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
2317, 22mpbird 256 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))
244, 9, 19suprcld 11938 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2510, 24letri3d 11117 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))))
2620, 23, 25mpbir2and 710 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074  cfv 6433  supcsup 9199  cr 10870   < clt 11009  cle 11010  cz 12319  cfl 13510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fl 13512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator