Theorem flval3 13813

Description: An alternate way to define the floor function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
flval3	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem flval3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4075	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℤ
2		zssre 12596	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3	1, 2	sstri 3989	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℝ)
5		breq1 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
6		flcl 13793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
7		flle 13797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
8	5, 6, 7	elrabd 3684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})
9	8	ne0d 4336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ≠ ∅)
10		reflcl 13794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑧 ≤ 𝐴))
12	11	elrab 3682	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝐴))
13		flge 13803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ 𝐴 ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
14	13	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ 𝐴 → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
15	14	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝐴) → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
16	12, 15	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
17	16	ralrimiv 3142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴))
18		brralrspcev 5208	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ 𝑦)
19	10, 17, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ 𝑦)
20	4, 9, 19, 8	suprubd 12207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ))
21		suprleub 12211	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
22	4, 9, 19, 10, 21	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
23	17, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))
24	4, 9, 19	suprcld 12208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	10, 24	letri3d 11387	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))))
26	20, 23, 25	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3429   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  supcsup 9464  ℝcr 11138   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℤcz 12589  ⌊cfl 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fl 13790

This theorem is referenced by: (None)