Theorem flval3 13781

Description: An alternate way to define the floor function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
flval3	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem flval3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4070	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℤ
2		zssre 12564	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3	1, 2	sstri 3984	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℝ)
5		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
6		flcl 13761	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
7		flle 13765	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
8	5, 6, 7	elrabd 3678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})
9	8	ne0d 4328	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ≠ ∅)
10		reflcl 13762	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		breq1 5142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑧 ≤ 𝐴))
12	11	elrab 3676	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝐴))
13		flge 13771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ 𝐴 ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
14	13	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ 𝐴 → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
15	14	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≤ 𝐴) → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
16	12, 15	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
17	16	ralrimiv 3137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴))
18		brralrspcev 5199	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ 𝑦)
19	10, 17, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ 𝑦)
20	4, 9, 19, 8	suprubd 12175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ))
21		suprleub 12179	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
22	4, 9, 19, 10, 21	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
23	17, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))
24	4, 9, 19	suprcld 12176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	10, 24	letri3d 11355	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))))
26	20, 23, 25	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  supcsup 9432  ℝcr 11106   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℤcz 12557  ⌊cfl 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fl 13758

This theorem is referenced by: (None)