MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flval3 13851
Description: An alternate way to define the floor function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem flval3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4089 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℤ
2 zssre 12617 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 4004 . . . 4 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ)
5 breq1 5150 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
6 flcl 13831 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
7 flle 13835 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
85, 6, 7elrabd 3696 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴})
98ne0d 4347 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅)
10 reflcl 13832 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑧𝐴))
1211elrab 3694 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝐴))
13 flge 13841 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1413biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1514expimpd 453 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1612, 15biimtrid 242 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} → 𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
1716ralrimiv 3142 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴))
18 brralrspcev 5207 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧𝑦)
1910, 17, 18syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧𝑦)
204, 9, 19, 8suprubd 12227 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
21 suprleub 12231 . . . 4 ((({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧𝑦) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
224, 9, 19, 10, 21syl31anc 1372 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}𝑧 ≤ (⌊‘𝐴)))
2317, 22mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))
244, 9, 19suprcld 12228 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2510, 24letri3d 11400 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ (⌊‘𝐴))))
2620, 23, 25mpbir2and 713 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cfv 6562  supcsup 9477  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  cz 12610  cfl 13826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fl 13828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator