Theorem meaiuninc2 47297

Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
meaiuninc2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
meaiuninc2.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc2.i	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
6		meaiuninc2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		meaiuninc2.x	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
8	7	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
9		brralrspcev 5169	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
11		meaiuninc2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	meaiuninc 47296	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   ⇝ cli 15573  Meascmea 47264

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-salg 47124  df-sumge0 47178  df-mea 47265

This theorem is used by:  meaiininclem  47301  vonioolem2  47496