Theorem meaiuninc2 47695

Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
meaiuninc2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
meaiuninc2.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc2.i	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
6		meaiuninc2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		meaiuninc2.x	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
8	7	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
9		brralrspcev 5168	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
11		meaiuninc2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	meaiuninc 47694	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  1c1 11225   + caddc 11227   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989   ⇝ cli 15677  Meascmea 47662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-xadd 13266  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-salg 47522  df-sumge0 47576  df-mea 47663

This theorem is used by:  meaiininclem  47699  vonioolem2  47894