Theorem meaiuninc2 43121

Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
meaiuninc2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
meaiuninc2.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiuninc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiuninc2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiuninc2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiuninc2.i	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
6		meaiuninc2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		meaiuninc2.x	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
8	7	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵)
9		brralrspcev 5090	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
10	6, 8, 9	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
11		meaiuninc2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	meaiuninc 43120	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231   ⇝ cli 14833  Meascmea 43088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-salg 42951  df-sumge0 43002  df-mea 43089

This theorem is referenced by:  meaiininclem  43125  vonioolem2  43320