Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc2 42771
 Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc2.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc2.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc2.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc2.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
meaiuninc2.x ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵)
meaiuninc2.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc2 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiuninc2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc2.e . 2 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiuninc2.i . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
6 meaiuninc2.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 meaiuninc2.x . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵)
87ralrimiva 3185 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵)
9 brralrspcev 5129 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
106, 8, 9syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
11 meaiuninc2.s . 2 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
121, 2, 3, 4, 5, 10, 11meaiuninc 42770 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939  ∪ ciun 4922   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   ≤ cle 10679  ℤcz 11984  ℤ≥cuz 12246   ⇝ cli 14844  Meascmea 42738 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-acn 9374  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-salg 42601  df-sumge0 42652  df-mea 42739 This theorem is referenced by:  meaiininclem  42775  vonioolem2  42970
 Copyright terms: Public domain W3C validator