MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgambdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgambdd 26989
Description: The log-Gamma function is bounded on the region ๐‘ˆ. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgambdd (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
Distinct variable groups:   ๐บ,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
2 lgamgulm.u . . . . 5 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
3 lgamgulm.g . . . . 5 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
41, 2, 3lgamgulm2 26988 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
54simprd 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
6 eqid 2728 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 26986 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq1( โˆ˜f + , ๐บ) โˆˆ dom (โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ) โˆง (seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)))
87simprd 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ))
95, 8mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)
101nnrpd 13054 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
1211relogcld 26577 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐‘…) โˆˆ โ„)
13 pire 26413 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
1413a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
1512, 14readdcld 11281 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) โˆˆ โ„)
16 simpr 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1715, 16readdcld 11281 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1817adantrr 715 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
194simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2019adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2120r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2221abscld 15423 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
2411adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
2524relogcld 26577 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜๐‘…) โˆˆ โ„)
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
2725, 26readdcld 11281 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) โˆˆ โ„)
281, 2lgamgulmlem1 26981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โІ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ˆ โІ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
3029sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
3130eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3230dmgmn0 26978 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
3331, 32logcld 26524 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
3421, 33addcld 11271 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
3534abscld 15423 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โˆˆ โ„)
3627, 35readdcld 11281 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
3736adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
3817ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3933abscld 15423 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
4039, 35readdcld 11281 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
4133negcld 11596 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ -(logโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
4221, 41abs2difd 15444 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜-(logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆ’ -(logโ€˜๐‘ง))))
4333absnegd 15436 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜-(logโ€˜๐‘ง)) = (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)))
4443oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜-(logโ€˜๐‘ง))) = ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง))))
4521, 33subnegd 11616 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆ’ -(logโ€˜๐‘ง)) = ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))
4645fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆ’ -(logโ€˜๐‘ง))) = (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
4742, 44, 463brtr3d 5183 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
4822, 39, 35lesubadd2d 11851 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ†” (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))))
4947, 48mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
5031, 32absrpcld 15435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„+)
5150relogcld 26577 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
5251recnd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
5352abscld 15423 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) โˆˆ โ„)
5453, 26readdcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€) โˆˆ โ„)
55 abslogle 26572 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€))
5631, 32, 55syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€))
57 df-neg 11485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(logโ€˜๐‘…) = (0 โˆ’ (logโ€˜๐‘…))
58 log1 26539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (logโ€˜1) = 0
5958oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…)) = (0 โˆ’ (logโ€˜๐‘…))
6057, 59eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(logโ€˜๐‘…) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…))
61 1rp 13018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„+
62 relogdiv 26547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(1 / ๐‘…)) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…)))
6361, 24, 62sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(1 / ๐‘…)) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…)))
6460, 63eqtr4id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ -(logโ€˜๐‘…) = (logโ€˜(1 / ๐‘…)))
65 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ง + ๐‘˜) = (๐‘ง + 0))
6665fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ = 0 โ†’ (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ง + 0)))
6766breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + 0))))
68 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ง))
6968breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘…))
70 fvoveq1 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))
7170breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7271ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7369, 72anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))))
7473, 2elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))))
7574simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7675adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7776simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))
78 0nn0 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„•0
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
8067, 77, 79rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + 0)))
8131addridd 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘ง + 0) = ๐‘ง)
8281fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง + 0)) = (absโ€˜๐‘ง))
8380, 82breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜๐‘ง))
8424rpreccld 13066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (1 / ๐‘…) โˆˆ โ„+)
8584, 50logled 26581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜๐‘ง) โ†” (logโ€˜(1 / ๐‘…)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))))
8683, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(1 / ๐‘…)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)))
8764, 86eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ -(logโ€˜๐‘…) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)))
8876simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘…)
8950, 24logled 26581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โ†” (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (logโ€˜๐‘…)))
9088, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (logโ€˜๐‘…))
9151, 25absled 15417 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (logโ€˜๐‘…) โ†” (-(logโ€˜๐‘…) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โˆง (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (logโ€˜๐‘…))))
9287, 90, 91mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (logโ€˜๐‘…))
9353, 25, 26, 92leadd1dd 11866 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€) โ‰ค ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€))
9439, 54, 27, 56, 93letrd 11409 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€))
9539, 27, 35, 94leadd1dd 11866 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
9622, 40, 36, 49, 95letrd 11409 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
9796adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
9835adantr 479 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โˆˆ โ„)
99 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
10027adantr 479 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) โˆˆ โ„)
101 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)
10298, 99, 100, 101leadd2dd 11867 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ))
10323, 37, 38, 97, 102letrd 11409 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ))
104103ex 411 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ)))
105104ralimdva 3164 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ)))
106105impr 453 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ))
107 brralrspcev 5212 . . 3 (((((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
10818, 106, 107syl2anc 582 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
1099, 108rexlimddv 3158 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  {crab 3430   โˆ– cdif 3946   โІ wss 3949  ifcif 4532   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆ˜f cof 7689  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„+crp 13014  seqcseq 14006  โ†‘cexp 14066  abscabs 15221  ฯ€cpi 16050  โ‡๐‘ขculm 26332  logclog 26508  log ฮ“clgam 26968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-tan 16055  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-ulm 26333  df-log 26510  df-cxp 26511  df-lgam 26971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator