MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgambdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgambdd 26919
Description: The log-Gamma function is bounded on the region ๐‘ˆ. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgambdd (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
Distinct variable groups:   ๐บ,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
2 lgamgulm.u . . . . 5 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
3 lgamgulm.g . . . . 5 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
41, 2, 3lgamgulm2 26918 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
54simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
6 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 26916 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq1( โˆ˜f + , ๐บ) โˆˆ dom (โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ) โˆง (seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)))
87simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( โˆ˜f + , ๐บ)(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ))
95, 8mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)
101nnrpd 13017 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
1211relogcld 26507 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐‘…) โˆˆ โ„)
13 pire 26343 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
1413a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
1512, 14readdcld 11244 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) โˆˆ โ„)
16 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1715, 16readdcld 11244 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1817adantrr 714 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
194simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2120r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2221abscld 15386 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
2411adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
2524relogcld 26507 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜๐‘…) โˆˆ โ„)
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
2725, 26readdcld 11244 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) โˆˆ โ„)
281, 2lgamgulmlem1 26911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โІ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ˆ โІ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
3029sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
3130eldifad 3955 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3230dmgmn0 26908 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
3331, 32logcld 26454 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
3421, 33addcld 11234 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
3534abscld 15386 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โˆˆ โ„)
3627, 35readdcld 11244 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
3817ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3933abscld 15386 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
4039, 35readdcld 11244 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
4133negcld 11559 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ -(logโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
4221, 41abs2difd 15407 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜-(logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆ’ -(logโ€˜๐‘ง))))
4333absnegd 15399 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜-(logโ€˜๐‘ง)) = (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)))
4443oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜-(logโ€˜๐‘ง))) = ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง))))
4521, 33subnegd 11579 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆ’ -(logโ€˜๐‘ง)) = ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))
4645fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆ’ -(logโ€˜๐‘ง))) = (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
4742, 44, 463brtr3d 5172 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
4822, 39, 35lesubadd2d 11814 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โˆ’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ†” (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))))
4947, 48mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
5031, 32absrpcld 15398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„+)
5150relogcld 26507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
5251recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
5352abscld 15386 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) โˆˆ โ„)
5453, 26readdcld 11244 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€) โˆˆ โ„)
55 abslogle 26502 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€))
5631, 32, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€))
57 df-neg 11448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(logโ€˜๐‘…) = (0 โˆ’ (logโ€˜๐‘…))
58 log1 26469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (logโ€˜1) = 0
5958oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…)) = (0 โˆ’ (logโ€˜๐‘…))
6057, 59eqtr4i 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(logโ€˜๐‘…) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…))
61 1rp 12981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„+
62 relogdiv 26477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(1 / ๐‘…)) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…)))
6361, 24, 62sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(1 / ๐‘…)) = ((logโ€˜1) โˆ’ (logโ€˜๐‘…)))
6460, 63eqtr4id 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ -(logโ€˜๐‘…) = (logโ€˜(1 / ๐‘…)))
65 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ง + ๐‘˜) = (๐‘ง + 0))
6665fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ = 0 โ†’ (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ง + 0)))
6766breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + 0))))
68 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ง))
6968breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘…))
70 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))
7170breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7271ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7369, 72anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))))
7473, 2elrab2 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))))
7574simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜))))
7776simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + ๐‘˜)))
78 0nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„•0
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
8067, 77, 79rspcdva 3607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ง + 0)))
8131addridd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘ง + 0) = ๐‘ง)
8281fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง + 0)) = (absโ€˜๐‘ง))
8380, 82breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜๐‘ง))
8424rpreccld 13029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (1 / ๐‘…) โˆˆ โ„+)
8584, 50logled 26511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜๐‘ง) โ†” (logโ€˜(1 / ๐‘…)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))))
8683, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(1 / ๐‘…)) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)))
8764, 86eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ -(logโ€˜๐‘…) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)))
8876simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘…)
8950, 24logled 26511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜๐‘ง) โ‰ค ๐‘… โ†” (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (logโ€˜๐‘…)))
9088, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (logโ€˜๐‘…))
9151, 25absled 15380 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (logโ€˜๐‘…) โ†” (-(logโ€˜๐‘…) โ‰ค (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โˆง (logโ€˜(absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (logโ€˜๐‘…))))
9287, 90, 91mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) โ‰ค (logโ€˜๐‘…))
9353, 25, 26, 92leadd1dd 11829 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜(absโ€˜๐‘ง))) + ฯ€) โ‰ค ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€))
9439, 54, 27, 56, 93letrd 11372 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€))
9539, 27, 35, 94leadd1dd 11829 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜(logโ€˜๐‘ง)) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
9622, 40, 36, 49, 95letrd 11372 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
9835adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โˆˆ โ„)
99 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
10027adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ ((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) โˆˆ โ„)
101 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)
10298, 99, 100, 101leadd2dd 11830 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ))
10323, 37, 38, 97, 102letrd 11372 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ))
104103ex 412 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ((absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ)))
105104ralimdva 3161 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ)))
106105impr 454 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ))
107 brralrspcev 5201 . . 3 (((((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘…) + ฯ€) + ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
10818, 106, 107syl2anc 583 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
1099, 108rexlimddv 3155 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (absโ€˜(log ฮ“โ€˜๐‘ง)) โ‰ค ๐‘Ÿ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆ˜f cof 7664  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„+crp 12977  seqcseq 13969  โ†‘cexp 14029  abscabs 15184  ฯ€cpi 16013  โ‡๐‘ขculm 26262  logclog 26438  log ฮ“clgam 26898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-tan 16018  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-ulm 26263  df-log 26440  df-cxp 26441  df-lgam 26901
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator