MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem3 15279
Description: Lemma for 01sqrex 15284. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑆   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem3
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.1 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 ssrab2 4089 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ+
3 rpssre 13039 . . . . 5 + ⊆ ℝ
42, 3sstri 4004 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ
51, 4eqsstri 4029 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
65a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
7 01sqrexlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
81, 701sqrexlem2 15278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴𝑆)
98ne0d 4347 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ≠ ∅)
10 1re 11258 . . 3 1 ∈ ℝ
111, 701sqrexlem1 15277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1)
12 brralrspcev 5207 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧)
1310, 11, 12sylancr 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧)
146, 9, 133jca 1127 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151  1c1 11153   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  +crp 13031  cexp 14098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099
This theorem is referenced by:  01sqrexlem4  15280  01sqrexlem5  15281  01sqrexlem6  15282  01sqrexlem7  15283
  Copyright terms: Public domain W3C validator