Theorem 01sqrexlem3 15283

Description: Lemma for 01sqrex 15288. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑆   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		ssrab2 4036	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ+
3		rpssre 13012	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3948	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ
5	1, 4	eqsstri 3985	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
7		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
8	1, 7	01sqrexlem2 15282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)
9	8	ne0d 4297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ≠ ∅)
10		1re 11196	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	1, 7	01sqrexlem1 15281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)
12		brralrspcev 5164	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧)
13	10, 11, 12	sylancr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧)
14	6, 9, 13	3jca 1144	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  supcsup 9388  ℝcr 11087  1c1 11089   < clt 11231   ≤ cle 11232  2c2 12283  ℝ⁺crp 13004  ↑cexp 14085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 14026  df-exp 14086

This theorem is referenced by:  01sqrexlem4  15284  01sqrexlem5  15285  01sqrexlem6  15286  01sqrexlem7  15287