Theorem 01sqrexlem3 15187

Description: Lemma for 01sqrex 15192. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑆   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		ssrab2 4069	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ+
3		rpssre 12977	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3983	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} ⊆ ℝ
5	1, 4	eqsstri 4008	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
7		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
8	1, 7	01sqrexlem2 15186	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)
9	8	ne0d 4327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ≠ ∅)
10		1re 11210	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	1, 7	01sqrexlem1 15185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)
12		brralrspcev 5198	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧)
13	10, 11, 12	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧)
14	6, 9, 13	3jca 1125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  {crab 3424   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  supcsup 9430  ℝcr 11104  1c1 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  01sqrexlem4  15188  01sqrexlem5  15189  01sqrexlem6  15190  01sqrexlem7  15191