Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnuz 12813 |
. . . . 5
β’ β =
(β€β₯β1) |
2 | | 1zzd 12541 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β 1 β
β€) |
3 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . 7
β’ (π β 1 β
β€) |
4 | | nnnn0 12427 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β π β
β0) |
5 | | climcnds.4 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β (πΊβπ) = ((2βπ) Β· (πΉβ(2βπ)))) |
6 | | 2nn 12233 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 2 β
β |
7 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β0) |
8 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((2
β β β§ π
β β0) β (2βπ) β β) |
9 | 6, 7, 8 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β0) β
(2βπ) β
β) |
10 | 9 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β
(2βπ) β
β) |
11 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (2βπ) β (πΉβπ) = (πΉβ(2βπ))) |
12 | 11 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (2βπ) β ((πΉβπ) β β β (πΉβ(2βπ)) β β)) |
13 | | climcnds.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β (πΉβπ) β β) |
14 | 13 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ β β (πΉβπ) β β) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β0) β
βπ β β
(πΉβπ) β β) |
16 | 12, 15, 9 | rspcdva 3585 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β (πΉβ(2βπ)) β
β) |
17 | 10, 16 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β
((2βπ) Β· (πΉβ(2βπ))) β
β) |
18 | 5, 17 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β (πΊβπ) β β) |
19 | 4, 18 | sylan2 594 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (πΊβπ) β β) |
20 | 1, 3, 19 | serfre 13944 |
. . . . . 6
β’ (π β seq1( + , πΊ):ββΆβ) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β seq1( + ,
πΊ):ββΆβ) |
22 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
23 | 22, 1 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β π β
(β€β₯β1)) |
24 | | nnz 12527 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β π β
β€) |
25 | 24 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π β β€) |
26 | | uzid 12785 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β€ β π β
(β€β₯βπ)) |
27 | | peano2uz 12833 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π + 1) β
(β€β₯βπ)) |
28 | 25, 26, 27 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (π + 1) β
(β€β₯βπ)) |
29 | | simpl 484 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π) |
30 | | elfznn 13477 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (1...(π + 1)) β π β β) |
31 | 29, 30, 19 | syl2an 597 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (1...(π + 1))) β (πΊβπ) β β) |
32 | | simpll 766 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β π) |
33 | | elfz1eq 13459 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π + 1)...(π + 1)) β π = (π + 1)) |
34 | 33 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β π = (π + 1)) |
35 | | nnnn0 12427 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β π β
β0) |
36 | | peano2nn0 12460 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β0
β (π + 1) β
β0) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β (π + 1) β
β0) |
38 | 37 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β (π + 1) β
β0) |
39 | 34, 38 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β π β β0) |
40 | 9 | nnnn0d 12480 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β0) β
(2βπ) β
β0) |
41 | 40 | nn0ge0d 12483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β 0 β€
(2βπ)) |
42 | 11 | breq2d 5122 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (2βπ) β (0 β€ (πΉβπ) β 0 β€ (πΉβ(2βπ)))) |
43 | | climcnds.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€ (πΉβπ)) |
44 | 43 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ β β 0 β€ (πΉβπ)) |
45 | 44 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β0) β
βπ β β 0
β€ (πΉβπ)) |
46 | 42, 45, 9 | rspcdva 3585 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β 0 β€
(πΉβ(2βπ))) |
47 | 10, 16, 41, 46 | mulge0d 11739 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β 0 β€
((2βπ) Β· (πΉβ(2βπ)))) |
48 | 47, 5 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β 0 β€
(πΊβπ)) |
49 | 32, 39, 48 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β 0 β€ (πΊβπ)) |
50 | 23, 28, 31, 49 | sermono 13947 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (seq1( + , πΊ)βπ) β€ (seq1( + , πΊ)β(π + 1))) |
51 | 50 | adantlr 714 |
. . . . 5
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΊ)βπ) β€ (seq1( + , πΊ)β(π + 1))) |
52 | | 2re 12234 |
. . . . . . 7
β’ 2 β
β |
53 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
54 | 13 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (πΉβπ) β β) |
55 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β seq1( + ,
πΉ) β dom β
) |
56 | 1, 2, 53, 54, 55 | isumrecl 15657 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β Ξ£π β β (πΉβπ) β β) |
57 | | remulcl 11143 |
. . . . . . 7
β’ ((2
β β β§ Ξ£π β β (πΉβπ) β β) β (2 Β·
Ξ£π β β
(πΉβπ)) β β) |
58 | 52, 56, 57 | sylancr 588 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β (2 Β·
Ξ£π β β
(πΉβπ)) β β) |
59 | 21 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΊ)βπ) β
β) |
60 | 1, 3, 13 | serfre 13944 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β seq1( + , πΉ):ββΆβ) |
61 | 60 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β seq1( +
, πΉ):ββΆβ) |
62 | 35 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β π β
β0) |
63 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((2
β β β§ π
β β0) β (2βπ) β β) |
64 | 6, 62, 63 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
(2βπ) β
β) |
65 | 61, 64 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)β(2βπ)) β
β) |
66 | | remulcl 11143 |
. . . . . . . . 9
β’ ((2
β β β§ (seq1( + , πΉ)β(2βπ)) β β) β (2 Β· (seq1(
+ , πΉ)β(2βπ))) β
β) |
67 | 52, 65, 66 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (2
Β· (seq1( + , πΉ)β(2βπ))) β β) |
68 | 58 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (2
Β· Ξ£π β
β (πΉβπ)) β
β) |
69 | | climcnds.3 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (πΉβ(π + 1)) β€ (πΉβπ)) |
70 | 13, 43, 69, 5 | climcndslem2 15742 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (seq1( + , πΊ)βπ) β€ (2 Β· (seq1( + , πΉ)β(2βπ)))) |
71 | 70 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΊ)βπ) β€ (2 Β· (seq1( + ,
πΉ)β(2βπ)))) |
72 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β (1...(2βπ))) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
73 | 64, 1 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
(2βπ) β
(β€β₯β1)) |
74 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β π) |
75 | | elfznn 13477 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (1...(2βπ)) β π β β) |
76 | 13 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β (πΉβπ) β β) |
77 | 74, 75, 76 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β (1...(2βπ))) β (πΉβπ) β β) |
78 | 72, 73, 77 | fsumser 15622 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
Ξ£π β
(1...(2βπ))(πΉβπ) = (seq1( + , πΉ)β(2βπ))) |
79 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β 1 β
β€) |
80 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
(1...(2βπ)) β
Fin) |
81 | 75 | ssriv 3953 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(1...(2βπ))
β β |
82 | 81 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
(1...(2βπ)) β
β) |
83 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β β) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
84 | 13 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β β) β (πΉβπ) β β) |
85 | 43 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β β) β 0 β€
(πΉβπ)) |
86 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β seq1( +
, πΉ) β dom β
) |
87 | 1, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86 | isumless 15737 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
Ξ£π β
(1...(2βπ))(πΉβπ) β€ Ξ£π β β (πΉβπ)) |
88 | 78, 87 | eqbrtrrd 5134 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)β(2βπ)) β€ Ξ£π β β (πΉβπ)) |
89 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β
Ξ£π β β
(πΉβπ) β β) |
90 | | 2rp 12927 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 2 β
β+ |
91 | 90 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β 2 β
β+) |
92 | 65, 89, 91 | lemul2d 13008 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β ((seq1(
+ , πΉ)β(2βπ)) β€ Ξ£π β β (πΉβπ) β (2 Β· (seq1( + , πΉ)β(2βπ))) β€ (2 Β·
Ξ£π β β
(πΉβπ)))) |
93 | 88, 92 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (2
Β· (seq1( + , πΉ)β(2βπ))) β€ (2 Β· Ξ£π β β (πΉβπ))) |
94 | 59, 67, 68, 71, 93 | letrd 11319 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΊ)βπ) β€ (2 Β· Ξ£π β β (πΉβπ))) |
95 | 94 | ralrimiva 3144 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β βπ β β (seq1( + , πΊ)βπ) β€ (2 Β· Ξ£π β β (πΉβπ))) |
96 | | brralrspcev 5170 |
. . . . . 6
β’ (((2
Β· Ξ£π β
β (πΉβπ)) β β β§
βπ β β
(seq1( + , πΊ)βπ) β€ (2 Β· Ξ£π β β (πΉβπ))) β βπ₯ β β βπ β β (seq1( + , πΊ)βπ) β€ π₯) |
97 | 58, 95, 96 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β βπ₯ β β βπ β β (seq1( + , πΊ)βπ) β€ π₯) |
98 | 1, 2, 21, 51, 97 | climsup 15561 |
. . . 4
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β seq1( + ,
πΊ) β sup(ran seq1( +
, πΊ), β, <
)) |
99 | | climrel 15381 |
. . . . 5
β’ Rel
β |
100 | 99 | releldmi 5908 |
. . . 4
β’ (seq1( +
, πΊ) β sup(ran seq1(
+ , πΊ), β, < )
β seq1( + , πΊ) β
dom β ) |
101 | 98, 100 | syl 17 |
. . 3
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β seq1( + ,
πΊ) β dom β
) |
102 | | nn0uz 12812 |
. . . . 5
β’
β0 = (β€β₯β0) |
103 | | 1nn0 12436 |
. . . . . 6
β’ 1 β
β0 |
104 | 103 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β 1 β
β0) |
105 | 18 | recnd 11190 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β (πΊβπ) β β) |
106 | 102, 104,
105 | iserex 15548 |
. . . 4
β’ (π β (seq0( + , πΊ) β dom β β
seq1( + , πΊ) β dom
β )) |
107 | 106 | biimpar 479 |
. . 3
β’ ((π β§ seq1( + , πΊ) β dom β ) β seq0( + ,
πΊ) β dom β
) |
108 | 101, 107 | syldan 592 |
. 2
β’ ((π β§ seq1( + , πΉ) β dom β ) β seq0( + ,
πΊ) β dom β
) |
109 | | 1zzd 12541 |
. . . 4
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β 1 β
β€) |
110 | 60 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β seq1( + ,
πΉ):ββΆβ) |
111 | | elfznn 13477 |
. . . . . . 7
β’ (π β (1...(π + 1)) β π β β) |
112 | 29, 111, 13 | syl2an 597 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (1...(π + 1))) β (πΉβπ) β β) |
113 | | simpll 766 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β π) |
114 | | peano2nn 12172 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
115 | 114 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π + 1) β β) |
116 | | elfz1eq 13459 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π + 1)...(π + 1)) β π = (π + 1)) |
117 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π + 1) β (π β β β (π + 1) β β)) |
118 | 117 | biimparc 481 |
. . . . . . . 8
β’ (((π + 1) β β β§ π = (π + 1)) β π β β) |
119 | 115, 116,
118 | syl2an 597 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β π β β) |
120 | 113, 119,
43 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...(π + 1))) β 0 β€ (πΉβπ)) |
121 | 23, 28, 112, 120 | sermono 13947 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β (seq1( + , πΉ)βπ) β€ (seq1( + , πΉ)β(π + 1))) |
122 | 121 | adantlr 714 |
. . . 4
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)βπ) β€ (seq1( + , πΉ)β(π + 1))) |
123 | | 0zd 12518 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β 0 β
β€) |
124 | | eqidd 2738 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β0)
β (πΊβπ) = (πΊβπ)) |
125 | 18 | adantlr 714 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β0)
β (πΊβπ) β
β) |
126 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β seq0( + ,
πΊ) β dom β
) |
127 | 102, 123,
124, 125, 126 | isumrecl 15657 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β Ξ£π β β0
(πΊβπ) β β) |
128 | 110 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)βπ) β
β) |
129 | | 0zd 12518 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β 0 β
β€) |
130 | 102, 129,
18 | serfre 13944 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β seq0( + , πΊ):β0βΆβ) |
131 | 130 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β seq0( + ,
πΊ):β0βΆβ) |
132 | | ffvelcdm 7037 |
. . . . . . . 8
β’ ((seq0( +
, πΊ):β0βΆβ β§
π β
β0) β (seq0( + , πΊ)βπ) β β) |
133 | 131, 35, 132 | syl2an 597 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq0( +
, πΊ)βπ) β
β) |
134 | 127 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
Ξ£π β
β0 (πΊβπ) β β) |
135 | 110 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β seq1( +
, πΉ):ββΆβ) |
136 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β π β
β) |
137 | 24 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β π β
β€) |
138 | 37 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (π + 1) β
β0) |
139 | 138 | nn0red 12481 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (π + 1) β
β) |
140 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((2
β β β§ (π +
1) β β0) β (2β(π + 1)) β β) |
141 | 6, 138, 140 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
(2β(π + 1)) β
β) |
142 | 141 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
(2β(π + 1)) β
β) |
143 | | 2z 12542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ 2 β
β€ |
144 | | uzid 12785 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (2 β
β€ β 2 β (β€β₯β2)) |
145 | 143, 144 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 2 β
(β€β₯β2) |
146 | | bernneq3 14141 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((2
β (β€β₯β2) β§ (π + 1) β β0) β
(π + 1) < (2β(π + 1))) |
147 | 145, 138,
146 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (π + 1) < (2β(π + 1))) |
148 | 139, 142,
147 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (π + 1) β€ (2β(π + 1))) |
149 | 137 | peano2zd 12617 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (π + 1) β
β€) |
150 | 141 | nnzd 12533 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
(2β(π + 1)) β
β€) |
151 | | eluz 12784 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π + 1) β β€ β§
(2β(π + 1)) β
β€) β ((2β(π
+ 1)) β (β€β₯β(π + 1)) β (π + 1) β€ (2β(π + 1)))) |
152 | 149, 150,
151 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
((2β(π + 1)) β
(β€β₯β(π + 1)) β (π + 1) β€ (2β(π + 1)))) |
153 | 148, 152 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
(2β(π + 1)) β
(β€β₯β(π + 1))) |
154 | | eluzp1m1 12796 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β β€ β§
(2β(π + 1)) β
(β€β₯β(π + 1))) β ((2β(π + 1)) β 1) β
(β€β₯βπ)) |
155 | 137, 153,
154 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
((2β(π + 1)) β
1) β (β€β₯βπ)) |
156 | | eluznn 12850 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β β β§
((2β(π + 1)) β
1) β (β€β₯βπ)) β ((2β(π + 1)) β 1) β
β) |
157 | 136, 155,
156 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
((2β(π + 1)) β
1) β β) |
158 | 135, 157 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)β((2β(π + 1)) β 1)) β
β) |
159 | 23 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β π β
(β€β₯β1)) |
160 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β π) |
161 | | elfznn 13477 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (1...((2β(π + 1)) β 1)) β π β
β) |
162 | 160, 161,
13 | syl2an 597 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β (1...((2β(π + 1)) β 1))) β
(πΉβπ) β β) |
163 | 114 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (π + 1) β
β) |
164 | | elfzuz 13444 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β ((π + 1)...((2β(π + 1)) β 1)) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
165 | | eluznn 12850 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π + 1) β β β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π β β) |
166 | 163, 164,
165 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...((2β(π + 1)) β 1))) β π β β) |
167 | 160, 166,
43 | syl2an2r 684 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β ((π + 1)...((2β(π + 1)) β 1))) β 0 β€ (πΉβπ)) |
168 | 159, 155,
162, 167 | sermono 13947 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)βπ) β€ (seq1( + , πΉ)β((2β(π + 1)) β
1))) |
169 | 35 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β π β
β0) |
170 | 13, 43, 69, 5 | climcndslem1 15741 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β (seq1( +
, πΉ)β((2β(π + 1)) β 1)) β€ (seq0( +
, πΊ)βπ)) |
171 | 160, 169,
170 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)β((2β(π + 1)) β 1)) β€ (seq0( +
, πΊ)βπ)) |
172 | 128, 158,
133, 168, 171 | letrd 11319 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)βπ) β€ (seq0( + , πΊ)βπ)) |
173 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β (0...π)) β (πΊβπ) = (πΊβπ)) |
174 | 169, 102 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β π β
(β€β₯β0)) |
175 | | elfznn0 13541 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (0...π) β π β β0) |
176 | 160, 175,
105 | syl2an 597 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β (0...π)) β (πΊβπ) β β) |
177 | 173, 174,
176 | fsumser 15622 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
Ξ£π β (0...π)(πΊβπ) = (seq0( + , πΊ)βπ)) |
178 | | 0zd 12518 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β 0 β
β€) |
179 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
(0...π) β
Fin) |
180 | 175 | ssriv 3953 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0...π) β
β0 |
181 | 180 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
(0...π) β
β0) |
182 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β β0)
β (πΊβπ) = (πΊβπ)) |
183 | 18 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β β0)
β (πΊβπ) β
β) |
184 | 48 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β§ π β β0)
β 0 β€ (πΊβπ)) |
185 | | simplr 768 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β seq0( +
, πΊ) β dom β
) |
186 | 102, 178,
179, 181, 182, 183, 184, 185 | isumless 15737 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β
Ξ£π β (0...π)(πΊβπ) β€ Ξ£π β β0 (πΊβπ)) |
187 | 177, 186 | eqbrtrrd 5134 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq0( +
, πΊ)βπ) β€ Ξ£π β β0 (πΊβπ)) |
188 | 128, 133,
134, 172, 187 | letrd 11319 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β§ π β β) β (seq1( +
, πΉ)βπ) β€ Ξ£π β β0 (πΊβπ)) |
189 | 188 | ralrimiva 3144 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β βπ β β (seq1( + , πΉ)βπ) β€ Ξ£π β β0 (πΊβπ)) |
190 | | brralrspcev 5170 |
. . . . 5
β’
((Ξ£π β
β0 (πΊβπ) β β β§ βπ β β (seq1( + , πΉ)βπ) β€ Ξ£π β β0 (πΊβπ)) β βπ₯ β β βπ β β (seq1( + , πΉ)βπ) β€ π₯) |
191 | 127, 189,
190 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β βπ₯ β β βπ β β (seq1( + , πΉ)βπ) β€ π₯) |
192 | 1, 109, 110, 122, 191 | climsup 15561 |
. . 3
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β seq1( + ,
πΉ) β sup(ran seq1( +
, πΉ), β, <
)) |
193 | 99 | releldmi 5908 |
. . 3
β’ (seq1( +
, πΉ) β sup(ran seq1(
+ , πΉ), β, < )
β seq1( + , πΉ) β
dom β ) |
194 | 192, 193 | syl 17 |
. 2
β’ ((π β§ seq0( + , πΊ) β dom β ) β seq1( + ,
πΉ) β dom β
) |
195 | 108, 194 | impbida 800 |
1
β’ (π β (seq1( + , πΉ) β dom β β
seq0( + , πΊ) β dom
β )) |