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Theorem climcnds 15803
Description: The Cauchy condensation test. If π‘Ž(π‘˜) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Ξ£π‘˜ ∈ β„•π‘Ž(π‘˜) converges iff Σ𝑛 ∈ β„•02↑𝑛 Β· π‘Ž(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcnds (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12869 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
3 1zzd 12597 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5 climcnds.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
6 2nn 12289 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
7 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
8 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
96, 7, 8sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
109nnred 12231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(2↑𝑛)))
1211eleq1d 2812 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
13 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1612, 15, 9rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
185, 17eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
194, 18sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
201, 3, 19serfre 14002 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„)
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
2322, 1eleqtrdi 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 nnz 12583 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2524adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
26 uzid 12841 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
27 peano2uz 12889 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
29 simpl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
30 elfznn 13536 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3129, 30, 19syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
32 simpll 764 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ πœ‘)
33 elfz1eq 13518 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
35 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
36 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
3837ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
3934, 38eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
409nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
4140nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (2↑𝑛))
4211breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
43 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4443ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4642, 45, 9rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(2↑𝑛)))
4710, 16, 41, 46mulge0d 11795 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
4847, 5breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘›))
4932, 39, 48syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5023, 28, 31, 49sermono 14005 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)))
5150adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)))
52 2re 12290 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
53 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
5413adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
55 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
561, 2, 53, 54, 55isumrecl 15717 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
57 remulcl 11197 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5852, 56, 57sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5921ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
601, 3, 13serfre 14002 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
6235adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
63 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
646, 62, 63sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
6561, 64ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
66 remulcl 11197 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6752, 65, 66sylancr 586 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6858adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
69 climcnds.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7013, 43, 69, 5climcndslem2 15802 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))
7170adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))
72 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
7364, 1eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
74 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
75 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7613recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7774, 75, 76syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7872, 73, 77fsumser 15682 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))
79 1zzd 12597 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
80 fzfid 13944 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
8175ssriv 3981 . . . . . . . . . . . 12 (1...(2↑𝑗)) βŠ† β„•
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑𝑗)) βŠ† β„•)
83 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
8413ad4ant14 749 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8543ad4ant14 749 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
86 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
871, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86isumless 15797 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))
8878, 87eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))
8956adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
90 2rp 12985 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
9265, 89, 91lemul2d 13066 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))))
9388, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)))
9459, 67, 68, 71, 93letrd 11375 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)))
9594ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)))
96 brralrspcev 5201 . . . . . 6 (((2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
9758, 95, 96syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
981, 2, 21, 51, 97climsup 15622 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
99 climrel 15442 . . . . 5 Rel ⇝
10099releldmi 5941 . . . 4 (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10198, 100syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
102 nn0uz 12868 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
103 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
104103a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
10518recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
106102, 104, 105iserex 15609 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
107106biimpar 477 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108101, 107syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
109 1zzd 12597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
11060adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
111 elfznn 13536 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11229, 111, 13syl2an 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑗 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
113 simpll 764 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ πœ‘)
114 peano2nn 12228 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
115114adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
116 elfz1eq 13518 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ = (𝑗 + 1))
117 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↔ (𝑗 + 1) ∈ β„•))
118117biimparc 479 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
119115, 116, 118syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
120113, 119, 43syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
12123, 28, 112, 120sermono 14005 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
122121adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
123 0zd 12574 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ 0 ∈ β„€)
124 eqidd 2727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
12518adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
126 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127102, 123, 124, 125, 126isumrecl 15717 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
128110ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
129 0zd 12574 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
130102, 129, 18serfre 14002 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐺):β„•0βŸΆβ„)
131130adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺):β„•0βŸΆβ„)
132 ffvelcdm 7077 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐺):β„•0βŸΆβ„ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
133131, 35, 132syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
134127adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
135110adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
136 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
13724adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
13837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
139138nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
140 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„• ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
1416, 138, 140sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
142141nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
143 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
144 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
146 bernneq3 14199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
147145, 138, 146sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
148139, 142, 147ltled 11366 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
149137peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„€)
150141nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€)
151 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 1) ∈ β„€ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
152149, 150, 151syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
153148, 152mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)))
154 eluzp1m1 12852 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
155137, 153, 154syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
156 eluznn 12906 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„• ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„•)
157136, 155, 156syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„•)
158135, 157ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
15923adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
160 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
161 elfznn 13536 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
162160, 161, 13syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
163114adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
164 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)))
165 eluznn 12906 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
166163, 164, 165syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
167160, 166, 43syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
168159, 155, 162, 167sermono 14005 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)))
16935adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
17013, 43, 69, 5climcndslem1 15801 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
171160, 169, 170syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
172128, 158, 133, 168, 171letrd 11375 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
173 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
174169, 102eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
175 elfznn0 13600 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...𝑗) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
176160, 175, 105syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
177173, 174, 176fsumser 15682 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(πΊβ€˜π‘›) = (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
178 0zd 12574 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
179 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (0...𝑗) ∈ Fin)
180175ssriv 3981 . . . . . . . . . 10 (0...𝑗) βŠ† β„•0
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (0...𝑗) βŠ† β„•0)
182 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
18318ad4ant14 749 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
18448ad4ant14 749 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘›))
185 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
186102, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185isumless 15797 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(πΊβ€˜π‘›) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
187177, 186eqbrtrrd 5165 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
188128, 133, 134, 172, 187letrd 11375 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
189188ralrimiva 3140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
190 brralrspcev 5201 . . . . 5 ((Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
191127, 189, 190syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
1921, 109, 110, 122, 191climsup 15622 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
19399releldmi 5941 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194192, 193syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195108, 194impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  harmonic  15811  zetacvg  26902
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