MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcnds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcnds 15883
Description: The Cauchy condensation test. If 𝑎(𝑘) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Σ𝑘 ∈ ℕ𝑎(𝑘) converges iff Σ𝑛 ∈ ℕ02↑𝑛 · 𝑎(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcnds (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12918 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12645 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 1zzd 12645 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 nnnn0 12530 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 climcnds.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6 2nn 12336 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 14111 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
96, 7, 8sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
109nnred 12278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
1211eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
13 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1612, 15, 9rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
185, 17eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
194, 18sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
201, 3, 19serfre 14068 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
2322, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
24 nnz 12631 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2524adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
26 uzid 12890 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
27 peano2uz 12940 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
29 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
30 elfznn 13589 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3129, 30, 19syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
32 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
33 elfz1eq 13571 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
35 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
36 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3837ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3934, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
409nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
4140nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2↑𝑛))
4211breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑𝑛) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
43 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
4443ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4642, 45, 9rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛)))
4710, 16, 41, 46mulge0d 11837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
4847, 5breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
4932, 39, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
5023, 28, 31, 49sermono 14071 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
5150adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
52 2re 12337 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
53 eqidd 2735 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5413adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
55 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
561, 2, 53, 54, 55isumrecl 15797 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 remulcl 11237 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5852, 56, 57sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5921ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
601, 3, 13serfre 14068 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6235adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
63 nnexpcl 14111 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
646, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
6561, 64ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
66 remulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6752, 65, 66sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6858adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 climcnds.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
7013, 43, 69, 5climcndslem2 15882 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
7170adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
72 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7364, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ (ℤ‘1))
74 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
75 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7613recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7774, 75, 76syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7872, 73, 77fsumser 15762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)))
79 1zzd 12645 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
80 fzfid 14010 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
8175ssriv 3998 . . . . . . . . . . . 12 (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ)
83 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
8413ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8543ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
86 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
871, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86isumless 15877 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
8878, 87eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
8956adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
90 2rp 13036 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9265, 89, 91lemul2d 13118 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
9388, 92mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9459, 67, 68, 71, 93letrd 11415 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9594ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
96 brralrspcev 5207 . . . . . 6 (((2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
9758, 95, 96syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
981, 2, 21, 51, 97climsup 15702 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
99 climrel 15524 . . . . 5 Rel ⇝
10099releldmi 5961 . . . 4 (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10198, 100syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
102 nn0uz 12917 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
103 1nn0 12539 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
104103a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10518recnd 11286 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
106102, 104, 105iserex 15689 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
107106biimpar 477 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108101, 107syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
109 1zzd 12645 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
11060adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
111 elfznn 13589 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11229, 111, 13syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
113 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
114 peano2nn 12275 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
115114adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
116 elfz1eq 13571 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
117 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℕ))
118117biimparc 479 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
119115, 116, 118syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
120113, 119, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
12123, 28, 112, 120sermono 14071 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
122121adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
123 0zd 12622 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 0 ∈ ℤ)
124 eqidd 2735 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
12518adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
126 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127102, 123, 124, 125, 126isumrecl 15797 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
128110ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
129 0zd 12622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
130102, 129, 18serfre 14068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
131130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
132 ffvelcdm 7100 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
133131, 35, 132syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
134127adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
135110adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
136 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
13724adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
13837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
140 nnexpcl 14111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
1416, 138, 140sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
142141nnred 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
143 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
144 uzid 12890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘2)
146 bernneq3 14266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
147145, 138, 146sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
148139, 142, 147ltled 11406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
149137peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
150141nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
151 eluz 12889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
152149, 150, 151syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
153148, 152mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
154 eluzp1m1 12901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
155137, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
156 eluznn 12957 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗)) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
157136, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
158135, 157ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
15923adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
160 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
161 elfznn 13589 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
162160, 161, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
163114adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
164 elfzuz 13556 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
165 eluznn 12957 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
166163, 164, 165syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
167160, 166, 43syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
168159, 155, 162, 167sermono 14071 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
16935adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17013, 43, 69, 5climcndslem1 15881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
171160, 169, 170syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
172128, 158, 133, 168, 171letrd 11415 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
173 eqidd 2735 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
174169, 102eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
175 elfznn0 13656 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
176160, 175, 105syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
177173, 174, 176fsumser 15762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
178 0zd 12622 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
179 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ∈ Fin)
180175ssriv 3998 . . . . . . . . . 10 (0...𝑗) ⊆ ℕ0
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ⊆ ℕ0)
182 eqidd 2735 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
18318ad4ant14 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
18448ad4ant14 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
185 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
186102, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185isumless 15877 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
187177, 186eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
188128, 133, 134, 172, 187letrd 11415 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
189188ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
190 brralrspcev 5207 . . . . 5 ((Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
191127, 189, 190syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
1921, 109, 110, 122, 191climsup 15702 . . 3 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
19399releldmi 5961 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194192, 193syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195108, 194impbida 801 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  seqcseq 14038  cexp 14098  cli 15516  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  harmonic  15891  zetacvg  27072
  Copyright terms: Public domain W3C validator