MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcnds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcnds 15736
Description: The Cauchy condensation test. If 𝑎(𝑘) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Σ𝑘 ∈ ℕ𝑎(𝑘) converges iff Σ𝑛 ∈ ℕ02↑𝑛 · 𝑎(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcnds (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 1zzd 12534 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 climcnds.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6 2nn 12226 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
96, 7, 8sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
109nnred 12168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
1211eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
13 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1612, 15, 9rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
185, 17eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
194, 18sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
201, 3, 19serfre 13937 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
22 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
2322, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
24 nnz 12520 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
26 uzid 12778 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
27 peano2uz 12826 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
29 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
30 elfznn 13470 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3129, 30, 19syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
32 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
33 elfz1eq 13452 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
35 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
36 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3934, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
409nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
4140nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2↑𝑛))
4211breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑𝑛) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
43 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
4443ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4642, 45, 9rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛)))
4710, 16, 41, 46mulge0d 11732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
4847, 5breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
4932, 39, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
5023, 28, 31, 49sermono 13940 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
5150adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
52 2re 12227 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
53 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5413adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
55 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
561, 2, 53, 54, 55isumrecl 15650 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 remulcl 11136 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5852, 56, 57sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5921ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
601, 3, 13serfre 13937 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6235adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
63 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
646, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
6561, 64ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
66 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6752, 65, 66sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6858adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 climcnds.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
7013, 43, 69, 5climcndslem2 15735 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
7170adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
72 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7364, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ (ℤ‘1))
74 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
75 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7613recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7774, 75, 76syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7872, 73, 77fsumser 15615 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)))
79 1zzd 12534 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
80 fzfid 13878 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
8175ssriv 3948 . . . . . . . . . . . 12 (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ)
83 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
8413ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8543ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
86 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
871, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86isumless 15730 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
8878, 87eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
8956adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
90 2rp 12920 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9265, 89, 91lemul2d 13001 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
9388, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9459, 67, 68, 71, 93letrd 11312 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9594ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
96 brralrspcev 5165 . . . . . 6 (((2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
9758, 95, 96syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
981, 2, 21, 51, 97climsup 15554 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
99 climrel 15374 . . . . 5 Rel ⇝
10099releldmi 5903 . . . 4 (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10198, 100syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
102 nn0uz 12805 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
103 1nn0 12429 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
104103a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10518recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
106102, 104, 105iserex 15541 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
107106biimpar 478 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108101, 107syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
109 1zzd 12534 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
11060adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
111 elfznn 13470 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11229, 111, 13syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
113 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
114 peano2nn 12165 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
115114adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
116 elfz1eq 13452 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
117 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℕ))
118117biimparc 480 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
119115, 116, 118syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
120113, 119, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
12123, 28, 112, 120sermono 13940 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
122121adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
123 0zd 12511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 0 ∈ ℤ)
124 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
12518adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
126 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127102, 123, 124, 125, 126isumrecl 15650 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
128110ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
129 0zd 12511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
130102, 129, 18serfre 13937 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
131130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
132 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
133131, 35, 132syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
134127adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
135110adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
136 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
13724adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
13837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
140 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
1416, 138, 140sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
142141nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
143 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
144 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘2)
146 bernneq3 14134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
147145, 138, 146sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
148139, 142, 147ltled 11303 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
149137peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
150141nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
151 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
152149, 150, 151syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
153148, 152mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
154 eluzp1m1 12789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
155137, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
156 eluznn 12843 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗)) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
157136, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
158135, 157ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
15923adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
160 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
161 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
162160, 161, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
163114adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
164 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
165 eluznn 12843 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
166163, 164, 165syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
167160, 166, 43syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
168159, 155, 162, 167sermono 13940 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
16935adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17013, 43, 69, 5climcndslem1 15734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
171160, 169, 170syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
172128, 158, 133, 168, 171letrd 11312 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
173 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
174169, 102eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
175 elfznn0 13534 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
176160, 175, 105syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
177173, 174, 176fsumser 15615 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
178 0zd 12511 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
179 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ∈ Fin)
180175ssriv 3948 . . . . . . . . . 10 (0...𝑗) ⊆ ℕ0
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ⊆ ℕ0)
182 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
18318ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
18448ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
185 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
186102, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185isumless 15730 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
187177, 186eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
188128, 133, 134, 172, 187letrd 11312 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
189188ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
190 brralrspcev 5165 . . . . 5 ((Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
191127, 189, 190syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
1921, 109, 110, 122, 191climsup 15554 . . 3 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
19399releldmi 5903 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194192, 193syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195108, 194impbida 799 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  harmonic  15744  zetacvg  26364
  Copyright terms: Public domain W3C validator