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Theorem climcnds 15743
Description: The Cauchy condensation test. If π‘Ž(π‘˜) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Ξ£π‘˜ ∈ β„•π‘Ž(π‘˜) converges iff Σ𝑛 ∈ β„•02↑𝑛 Β· π‘Ž(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcnds (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12813 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12541 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
3 1zzd 12541 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5 climcnds.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
6 2nn 12233 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
7 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
8 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
96, 7, 8sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
109nnred 12175 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(2↑𝑛)))
1211eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
13 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1612, 15, 9rspcdva 3585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11192 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
185, 17eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
194, 18sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
201, 3, 19serfre 13944 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„)
2120adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„)
22 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
2322, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 nnz 12527 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
26 uzid 12785 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
27 peano2uz 12833 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
29 simpl 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
30 elfznn 13477 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3129, 30, 19syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
32 simpll 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ πœ‘)
33 elfz1eq 13459 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
3433adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
35 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
36 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
3934, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
409nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•0)
4140nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (2↑𝑛))
4211breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
43 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4443ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4642, 45, 9rspcdva 3585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(2↑𝑛)))
4710, 16, 41, 46mulge0d 11739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
4847, 5breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘›))
4932, 39, 48syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5023, 28, 31, 49sermono 13947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)))
5150adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)))
52 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
53 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
5413adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
55 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
561, 2, 53, 54, 55isumrecl 15657 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
57 remulcl 11143 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5852, 56, 57sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5921ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
601, 3, 13serfre 13944 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
6235adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
63 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
646, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
6561, 64ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
66 remulcl 11143 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6752, 65, 66sylancr 588 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6858adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
69 climcnds.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7013, 43, 69, 5climcndslem2 15742 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))
7170adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))
72 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
7364, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
74 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
75 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7613recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7774, 75, 76syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7872, 73, 77fsumser 15622 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))
79 1zzd 12541 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
80 fzfid 13885 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
8175ssriv 3953 . . . . . . . . . . . 12 (1...(2↑𝑗)) βŠ† β„•
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑𝑗)) βŠ† β„•)
83 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
8413ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8543ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
86 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
871, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86isumless 15737 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))
8878, 87eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))
8956adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
90 2rp 12927 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
9265, 89, 91lemul2d 13008 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))))
9388, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)))
9459, 67, 68, 71, 93letrd 11319 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)))
9594ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)))
96 brralrspcev 5170 . . . . . 6 (((2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
9758, 95, 96syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
981, 2, 21, 51, 97climsup 15561 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
99 climrel 15381 . . . . 5 Rel ⇝
10099releldmi 5908 . . . 4 (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10198, 100syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
102 nn0uz 12812 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
103 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
104103a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
10518recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
106102, 104, 105iserex 15548 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
107106biimpar 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108101, 107syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
109 1zzd 12541 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
11060adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
111 elfznn 13477 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11229, 111, 13syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑗 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
113 simpll 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ πœ‘)
114 peano2nn 12172 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
115114adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
116 elfz1eq 13459 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ = (𝑗 + 1))
117 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↔ (𝑗 + 1) ∈ β„•))
118117biimparc 481 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ = (𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
119115, 116, 118syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
120113, 119, 43syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
12123, 28, 112, 120sermono 13947 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
122121adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
123 0zd 12518 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ 0 ∈ β„€)
124 eqidd 2738 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
12518adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
126 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127102, 123, 124, 125, 126isumrecl 15657 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
128110ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
129 0zd 12518 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
130102, 129, 18serfre 13944 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐺):β„•0βŸΆβ„)
131130adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq0( + , 𝐺):β„•0βŸΆβ„)
132 ffvelcdm 7037 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐺):β„•0βŸΆβ„ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
133131, 35, 132syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
134127adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
135110adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
136 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
13724adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
13837adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
139138nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
140 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„• ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
1416, 138, 140sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
142141nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
143 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
144 uzid 12785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
146 bernneq3 14141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
147145, 138, 146sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
148139, 142, 147ltled 11310 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
149137peano2zd 12617 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„€)
150141nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€)
151 eluz 12784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 1) ∈ β„€ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
152149, 150, 151syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
153148, 152mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)))
154 eluzp1m1 12796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
155137, 153, 154syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
156 eluznn 12850 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„• ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„•)
157136, 155, 156syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„•)
158135, 157ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
15923adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
160 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
161 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
162160, 161, 13syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
163114adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
164 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)))
165 eluznn 12850 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
166163, 164, 165syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
167160, 166, 43syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
168159, 155, 162, 167sermono 13947 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)))
16935adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
17013, 43, 69, 5climcndslem1 15741 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
171160, 169, 170syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
172128, 158, 133, 168, 171letrd 11319 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
173 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
174169, 102eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
175 elfznn0 13541 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...𝑗) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
176160, 175, 105syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
177173, 174, 176fsumser 15622 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(πΊβ€˜π‘›) = (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—))
178 0zd 12518 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
179 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (0...𝑗) ∈ Fin)
180175ssriv 3953 . . . . . . . . . 10 (0...𝑗) βŠ† β„•0
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (0...𝑗) βŠ† β„•0)
182 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
18318ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
18448ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘›))
185 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
186102, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185isumless 15737 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(πΊβ€˜π‘›) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
187177, 186eqbrtrrd 5134 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq0( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
188128, 133, 134, 172, 187letrd 11319 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
189188ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›))
190 brralrspcev 5170 . . . . 5 ((Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑛 ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
191127, 189, 190syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
1921, 109, 110, 122, 191climsup 15561 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
19399releldmi 5908 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194192, 193syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195108, 194impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  harmonic  15751  zetacvg  26380
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