MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcnds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcnds 15887
Description: The Cauchy condensation test. If 𝑎(𝑘) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Σ𝑘 ∈ ℕ𝑎(𝑘) converges iff Σ𝑛 ∈ ℕ02↑𝑛 · 𝑎(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcnds (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 1zzd 12648 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 climcnds.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6 2nn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
96, 7, 8sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
109nnred 12281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
1211eleq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
13 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1612, 15, 9rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
185, 17eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
194, 18sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
201, 3, 19serfre 14072 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
2322, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
24 nnz 12634 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2524adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
26 uzid 12893 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
27 peano2uz 12943 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
29 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
30 elfznn 13593 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3129, 30, 19syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
32 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
33 elfz1eq 13575 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
35 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
36 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3837ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
3934, 38eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
409nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
4140nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2↑𝑛))
4211breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑𝑛) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
43 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
4443ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹𝑘))
4642, 45, 9rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛)))
4710, 16, 41, 46mulge0d 11840 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
4847, 5breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
4932, 39, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
5023, 28, 31, 49sermono 14075 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
5150adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
52 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
53 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5413adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
55 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
561, 2, 53, 54, 55isumrecl 15801 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 remulcl 11240 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5852, 56, 57sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5921ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
601, 3, 13serfre 14072 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
6235adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
63 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
646, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
6561, 64ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
66 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6752, 65, 66sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
6858adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 climcnds.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
7013, 43, 69, 5climcndslem2 15886 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
7170adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
72 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7364, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ (ℤ‘1))
74 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
75 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7613recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7774, 75, 76syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7872, 73, 77fsumser 15766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)))
79 1zzd 12648 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
80 fzfid 14014 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
8175ssriv 3987 . . . . . . . . . . . 12 (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ)
83 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
8413ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8543ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
86 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
871, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86isumless 15881 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
8878, 87eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))
8956adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
90 2rp 13039 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
9265, 89, 91lemul2d 13121 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))))
9388, 92mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9459, 67, 68, 71, 93letrd 11418 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
9594ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)))
96 brralrspcev 5203 . . . . . 6 (((2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
9758, 95, 96syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
981, 2, 21, 51, 97climsup 15706 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
99 climrel 15528 . . . . 5 Rel ⇝
10099releldmi 5959 . . . 4 (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10198, 100syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
102 nn0uz 12920 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
103 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
104103a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10518recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
106102, 104, 105iserex 15693 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
107106biimpar 477 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108101, 107syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
109 1zzd 12648 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
11060adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
111 elfznn 13593 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11229, 111, 13syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
113 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
114 peano2nn 12278 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
115114adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
116 elfz1eq 13575 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
117 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℕ))
118117biimparc 479 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
119115, 116, 118syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
120113, 119, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
12123, 28, 112, 120sermono 14075 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
122121adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
123 0zd 12625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 0 ∈ ℤ)
124 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
12518adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
126 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127102, 123, 124, 125, 126isumrecl 15801 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
128110ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
129 0zd 12625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
130102, 129, 18serfre 14072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
131130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
132 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
133131, 35, 132syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
134127adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
135110adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
136 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
13724adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
13837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
139138nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
140 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
1416, 138, 140sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
142141nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
143 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
144 uzid 12893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘2)
146 bernneq3 14270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
147145, 138, 146sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
148139, 142, 147ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
149137peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
150141nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
151 eluz 12892 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
152149, 150, 151syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
153148, 152mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
154 eluzp1m1 12904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
155137, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗))
156 eluznn 12960 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ𝑗)) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
157136, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
158135, 157ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
15923adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
160 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
161 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
162160, 161, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
163114adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
164 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
165 eluznn 12960 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
166163, 164, 165syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
167160, 166, 43syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
168159, 155, 162, 167sermono 14075 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
16935adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
17013, 43, 69, 5climcndslem1 15885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
171160, 169, 170syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
172128, 158, 133, 168, 171letrd 11418 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
173 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
174169, 102eleqtrdi 2851 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
175 elfznn0 13660 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
176160, 175, 105syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
177173, 174, 176fsumser 15766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
178 0zd 12625 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
179 fzfid 14014 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ∈ Fin)
180175ssriv 3987 . . . . . . . . . 10 (0...𝑗) ⊆ ℕ0
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ⊆ ℕ0)
182 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
18318ad4ant14 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
18448ad4ant14 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑛))
185 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
186102, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185isumless 15881 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
187177, 186eqbrtrrd 5167 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
188128, 133, 134, 172, 187letrd 11418 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
189188ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛))
190 brralrspcev 5203 . . . . 5 ((Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
191127, 189, 190syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
1921, 109, 110, 122, 191climsup 15706 . . 3 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
19399releldmi 5959 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194192, 193syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195108, 194impbida 801 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  harmonic  15895  zetacvg  27058
  Copyright terms: Public domain W3C validator