Theorem climcnds 15899

Description: The Cauchy condensation test. If 𝑎(𝑘) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Σ𝑘 ∈ ℕ𝑎(𝑘) converges iff Σ𝑛 ∈ ℕ₀2↑𝑛 · 𝑎(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcnds.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
climcnds.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climcnds.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
climcnds	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcnds

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12674	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3		1zzd 12674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		nnnn0 12560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5		climcnds.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6		2nn 12366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
10	9	nnred 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
12	11	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
13		climcnds.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16	12, 15, 9	rspcdva 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
17	10, 16	remulcld 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
18	5, 17	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
19	4, 18	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
20	1, 3, 19	serfre 14082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
23	22, 1	eleqtrdi 2854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
24		nnz 12660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
26		uzid 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
27		peano2uz 12966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
29		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
30		elfznn 13613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
31	29, 30, 19	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
32		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
33		elfz1eq 13595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
35		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
36		peano2nn0 12593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
39	34, 38	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
40	9	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
41	40	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2↑𝑛))
42	11	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (2↑𝑛) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
43		climcnds.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
44	43	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
46	42, 45, 9	rspcdva 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛)))
47	10, 16, 41, 46	mulge0d 11867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
48	47, 5	breqtrrd 5194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑛))
49	32, 39, 48	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐺‘𝑛))
50	23, 28, 31, 49	sermono 14085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
51	50	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
52		2re 12367	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
53		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
54	13	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
55		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
56	1, 2, 53, 54, 55	isumrecl 15813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57		remulcl 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
58	52, 56, 57	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
59	21	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
60	1, 3, 13	serfre 14082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
61	60	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
62	35	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
63		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
64	6, 62, 63	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
65	61, 64	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
66		remulcl 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
67	52, 65, 66	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
68	58	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
69		climcnds.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
70	13, 43, 69, 5	climcndslem2 15898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
71	70	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
72		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
73	64, 1	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ (ℤ≥‘1))
74		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
75		elfznn 13613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	13	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
78	72, 73, 77	fsumser 15778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)))
79		1zzd 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
80		fzfid 14024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
81	75	ssriv 4012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ)
83		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
84	13	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
85	43	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
86		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
87	1, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86	isumless 15893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))
88	78, 87	eqbrtrrd 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))
89	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
90		2rp 13062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
92	65, 89, 91	lemul2d 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))))
93	88, 92	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)))
94	59, 67, 68, 71, 93	letrd 11447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)))
95	94	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)))
96		brralrspcev 5226	. . . . . 6 ⊢ (((2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
97	58, 95, 96	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
98	1, 2, 21, 51, 97	climsup 15718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
99		climrel 15538	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
100	99	releldmi 5973	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
101	98, 100	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
102		nn0uz 12945	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
103		1nn0 12569	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
104	103	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
105	18	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
106	102, 104, 105	iserex 15705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
107	106	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108	101, 107	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
109		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
110	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
111		elfznn 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
112	29, 111, 13	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
113		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
114		peano2nn 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
115	114	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
116		elfz1eq 13595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
117		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℕ))
118	117	biimparc 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
119	115, 116, 118	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
120	113, 119, 43	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
121	23, 28, 112, 120	sermono 14085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
122	121	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
123		0zd 12651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 0 ∈ ℤ)
124		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
125	18	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
126		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
127	102, 123, 124, 125, 126	isumrecl 15813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
128	110	ffvelcdmda 7118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
129		0zd 12651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
130	102, 129, 18	serfre 14082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
131	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
132		ffvelcdm 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
133	131, 35, 132	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
134	127	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
135	110	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
136		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
137	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
138	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
139	138	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
140		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
141	6, 138, 140	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
142	141	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
143		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
144		uzid 12918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
146		bernneq3 14280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
147	145, 138, 146	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
148	139, 142, 147	ltled 11438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
149	137	peano2zd 12750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
150	141	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
151		eluz 12917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
152	149, 150, 151	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
153	148, 152	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
154		eluzp1m1 12929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
155	137, 153, 154	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
156		eluznn 12983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
157	136, 155, 156	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
158	135, 157	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
159	23	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
160		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
161		elfznn 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
162	160, 161, 13	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
163	114	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
164		elfzuz 13580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
165		eluznn 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
166	163, 164, 165	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
167	160, 166, 43	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
168	159, 155, 162, 167	sermono 14085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
169	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
170	13, 43, 69, 5	climcndslem1 15897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
171	160, 169, 170	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
172	128, 158, 133, 168, 171	letrd 11447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
173		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
174	169, 102	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
175		elfznn0 13677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
176	160, 175, 105	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
177	173, 174, 176	fsumser 15778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺‘𝑛) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
178		0zd 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
179		fzfid 14024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ∈ Fin)
180	175	ssriv 4012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝑗) ⊆ ℕ0
181	180	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ⊆ ℕ0)
182		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
183	18	ad4ant14 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
184	48	ad4ant14 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑛))
185		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
186	102, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185	isumless 15893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺‘𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
187	177, 186	eqbrtrrd 5190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
188	128, 133, 134, 172, 187	letrd 11447	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
189	188	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
190		brralrspcev 5226	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
191	127, 189, 190	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
192	1, 109, 110, 122, 191	climsup 15718	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
193	99	releldmi 5973	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194	192, 193	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
195	108, 194	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  seqcseq 14052  ↑cexp 14112   ⇝ cli 15530  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  harmonic  15907  zetacvg  27076