MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem2 24111
Description: Lemma for uniioombl 24117. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombllem2.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
uniioombllem2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐹   𝑥,𝐺,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧   𝑥,𝐻,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑇,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12269 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 eqid 2818 . . 3 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))
3 1zzd 12001 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
4 eqidd 2819 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) = (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
5 uniioombl.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7 uniioombl.3 . . . . . . . . . 10 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8 uniioombl.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
9 uniioombl.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
10 uniioombl.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
11 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
12 uniioombl.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
13 uniioombl.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
14 uniioombl.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14uniioombllem2a 24110 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,))
16 uniioombllem2.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
18 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
1918ioorf 24101 . . . . . . . . . . 11 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
2120feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑦 ∈ ran (,) ↦ (𝐾𝑦)))
22 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) → (𝐾𝑦) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
2315, 17, 21, 22fmptco 6883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
24 inss2 4203 . . . . . . . . . . 11 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
25 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
2611ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2725, 26sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ))
28 1st2nd2 7717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
3029fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩))
31 df-ov 7148 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
3230, 31syl6eqr 2871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))))
33 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . 12 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) ⊆ ℝ
3432, 33eqsstrdi 4018 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ)
3532fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))))
36 ovolfcl 23994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
3711, 36sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
38 ovolioo 24096 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
4035, 39eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
4137simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
45 ovolsscl 24014 . . . . . . . . . . 11 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4624, 34, 44, 45mp3an2i 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4818ioorcl 24105 . . . . . . . . 9 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) ∧ (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4915, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
5023, 49fmpt3d 6872 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
51 eqid 2818 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))
5251ovolfsf 23999 . . . . . . 7 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5350, 52syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5453ffvelrnda 6843 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞))
55 elrege0 12830 . . . . 5 ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
5654, 55sylib 219 . . . 4 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
5756simpld 495 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ)
5856simprd 496 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
5923fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧))
60 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V
61 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6261fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6360, 62mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6459, 63sylan9eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6564fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
6618ioorinv 24104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
6715, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
6865, 67eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
6968ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
70 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
71 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘(𝐹𝑧)) = ((,)‘(𝐹𝑥)))
7271ineq1d 4185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7370, 72eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ↔ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
7473rspccva 3619 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7569, 74sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
76 inss1 4202 . . . . . . . . . 10 (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥))
7775, 76eqsstrdi 4018 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7877ralrimiva 3179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
796adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
80 disjss2 5025 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)) → (Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥))))
8178, 79, 80sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
8250, 81, 2uniioovol 24107 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
8367mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
84 rexpssxrxp 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8525, 84sstri 3973 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8685, 49sseldi 3962 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ (ℝ* × ℝ*))
87 ioof 12823 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
8988feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,) = (𝑦 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ ((,)‘𝑦)))
90 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) → ((,)‘𝑦) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
9186, 23, 89, 90fmptco 6883 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))))
9283, 91, 173eqtr4d 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = 𝐻)
9392rneqd 5801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
9493unieqd 4840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
95 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,)‘(𝐹𝑧)) ∈ V
9695inex1 5212 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V
9716fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V) → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
9896, 97mpan2 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
99 incom 4175 . . . . . . . . . . . 12 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
10098, 99syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))))
101100iuneq2i 4931 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
102 iunin2 4984 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
103101, 102eqtri 2841 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
10415, 16fmptd 6870 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻:ℕ⟶ran (,))
105104ffnd 6508 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 Fn ℕ)
106 fniunfv 6997 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
108103, 107syl5eqr 2867 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = ran 𝐻)
1095adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
110 fvco3 6753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
111109, 110sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
112111iuneq2dv 4934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
113 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11487, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
115 fss 6520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
116109, 85, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
117 fnfco 6536 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
118114, 116, 117sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
119 fniunfv 6997 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
121120, 8syl6eqr 2871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝐴)
122112, 121eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)) = 𝐴)
123122ineq2d 4186 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
12494, 108, 1233eqtr2d 2859 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
125124fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
12682, 125eqtr3d 2855 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
127 inss1 4202 . . . . . 6 (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
128 ovolsscl 24014 . . . . . 6 (((((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
129127, 34, 44, 128mp3an2i 1457 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
130126, 129eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13151, 2ovolsf 24000 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
13250, 131syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
133132frnd 6514 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ (0[,)+∞))
134 icossxr 12809 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
135133, 134sstrdi 3976 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ*)
136132ffnd 6508 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ)
137 fnfvelrn 6840 . . . . . . 7 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
138136, 137sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
139 supxrub 12705 . . . . . 6 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
140135, 138, 139syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
141140ralrimiva 3179 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
142 brralrspcev 5117 . . . 4 ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
143130, 141, 142syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
1441, 2, 3, 4, 57, 58, 143isumsup2 15189 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⇝ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
14551ovolfs2 24099 . . . . 5 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
14650, 145syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
147 coass 6111 . . . . 5 ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻)))
14892coeq2d 5726 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol* ∘ 𝐻))
149147, 148syl5eq 2865 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
150146, 149eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
151150seqeq3d 13365 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)))
152 rge0ssre 12832 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
153133, 152sstrdi 3976 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ)
154 1nn 11637 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
155132fdmd 6516 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ℕ)
156154, 155eleqtrrid 2917 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
157156ne0d 4298 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
158 dm0rn0 5788 . . . . . 6 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅)
159158necon3bii 3065 . . . . 5 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
160157, 159sylib 219 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
161 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑧 = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
162161ralrn 6846 . . . . . . 7 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
163136, 162syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
164163rexbidv 3294 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
165143, 164mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥)
166 supxrre 12708 . . . 4 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
167153, 160, 165, 166syl3anc 1363 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
168167, 126eqtr3d 2855 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
169144, 151, 1683brtr3d 5088 1 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535  cop 4563   cuni 4830   ciun 4910  Disj wdisj 5022   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  ccom 5552   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1st c1st 7676  2nd c2nd 7677  supcsup 8892  infcinf 8893  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  seqcseq 13357  abscabs 14581  cli 14829  vol*covol 23990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-ovol 23992  df-vol 23993
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  24116
  Copyright terms: Public domain W3C validator