Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem2 23867
 Description: Lemma for uniioombl 23873. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombllem2.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
uniioombllem2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐹   𝑥,𝐺,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧   𝑥,𝐻,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑇,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12130 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 eqid 2795 . . 3 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))
3 1zzd 11862 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
4 eqidd 2796 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) = (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
5 uniioombl.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7 uniioombl.3 . . . . . . . . . 10 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8 uniioombl.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
9 uniioombl.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
10 uniioombl.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
11 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
12 uniioombl.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
13 uniioombl.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
14 uniioombl.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14uniioombllem2a 23866 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,))
16 uniioombllem2.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
18 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
1918ioorf 23857 . . . . . . . . . . 11 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
2120feqmptd 6601 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐾 = (𝑦 ∈ ran (,) ↦ (𝐾𝑦)))
22 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) → (𝐾𝑦) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
2315, 17, 21, 22fmptco 6754 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
24 inss2 4126 . . . . . . . . . . 11 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
25 inss2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
2611ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2725, 26sseldi 3887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ))
28 1st2nd2 7584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝐽) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐺𝐽) = ⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
3029fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩))
31 df-ov 7019 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝐽)), (2nd ‘(𝐺𝐽))⟩)
3230, 31syl6eqr 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) = ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))))
33 ioossre 12648 . . . . . . . . . . . 12 ((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽))) ⊆ ℝ
3432, 33syl6eqss 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ)
3532fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))))
36 ovolfcl 23750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
3711, 36sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))))
38 ovolioo 23852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝐽)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝐽))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝐽))(,)(2nd ‘(𝐺𝐽)))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
4035, 39eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) = ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))))
4137simp2d 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐺𝐽)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 10916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((2nd ‘(𝐺𝐽)) − (1st ‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ)
45 ovolsscl 23770 . . . . . . . . . . 11 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4624, 34, 44, 45mp3an2i 1458 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ)
4818ioorcl 23861 . . . . . . . . 9 (((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) ∧ (vol*‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ℝ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4915, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
5023, 49fmpt3d 6743 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
51 eqid 2795 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))
5251ovolfsf 23755 . . . . . . 7 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5350, 52syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)):ℕ⟶(0[,)+∞))
5453ffvelrnda 6716 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞))
55 elrege0 12692 . . . . 5 ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
5654, 55sylib 219 . . . 4 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛)))
5756simpld 495 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛) ∈ ℝ)
5856simprd 496 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))‘𝑛))
5923fveq1d 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧))
60 fvex 6551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V
61 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6261fvmpt2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6360, 62mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6459, 63sylan9eq 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐻)‘𝑧) = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
6564fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
6618ioorinv 23860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ran (,) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
6715, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
6865, 67eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
6968ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
70 2fveq3 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
71 2fveq3 6543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((,)‘(𝐹𝑧)) = ((,)‘(𝐹𝑥)))
7271ineq1d 4108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7370, 72eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ↔ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
7473rspccva 3558 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑧)) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
7569, 74sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) = (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
76 inss1 4125 . . . . . . . . . 10 (((,)‘(𝐹𝑥)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥))
7775, 76syl6eqss 3942 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7877ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)))
796adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
80 disjss2 4933 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)) ⊆ ((,)‘(𝐹𝑥)) → (Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥))))
8178, 79, 80sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘((𝐾𝐻)‘𝑥)))
8250, 81, 2uniioovol 23863 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
8367mpteq2dva 5055 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))
84 rexpssxrxp 10532 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8525, 84sstri 3898 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8685, 49sseldi 3887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) ∈ (ℝ* × ℝ*))
87 ioof 12685 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
8988feqmptd 6601 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (,) = (𝑦 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ ((,)‘𝑦)))
90 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))) → ((,)‘𝑦) = ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))))
9186, 23, 89, 90fmptco 6754 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((,)‘(𝐾‘(((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽)))))))
9283, 91, 173eqtr4d 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = 𝐻)
9392rneqd 5690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
9493unieqd 4755 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = ran 𝐻)
95 fvex 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,)‘(𝐹𝑧)) ∈ V
9695inex1 5112 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V
9716fvmpt2 6645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ V) → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
9896, 97mpan2 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))))
99 incom 4099 . . . . . . . . . . . 12 (((,)‘(𝐹𝑧)) ∩ ((,)‘(𝐺𝐽))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
10098, 99syl6eq 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))))
101100iuneq2i 4845 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧)))
102 iunin2 4892 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℕ (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
103101, 102eqtri 2819 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
10415, 16fmptd 6741 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻:ℕ⟶ran (,))
105104ffnd 6383 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐻 Fn ℕ)
106 fniunfv 6871 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (𝐻𝑧) = ran 𝐻)
108103, 107syl5eqr 2845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = ran 𝐻)
1095adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
110 fvco3 6627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
111109, 110sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ((,)‘(𝐹𝑧)))
112111iuneq2dv 4848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)))
113 ffn 6382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11487, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
115 fss 6395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
116109, 85, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
117 fnfco 6411 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
118114, 116, 117sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ)
119 fniunfv 6871 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹) Fn ℕ → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = ran ((,) ∘ 𝐹))
121120, 8syl6eqr 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ (((,) ∘ 𝐹)‘𝑧) = 𝐴)
122112, 121eqtr3d 2833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧)) = 𝐴)
123122ineq2d 4109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝑧 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑧))) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
12494, 108, 1233eqtr2d 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran ((,) ∘ (𝐾𝐻)) = (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴))
125124fveq2d 6542 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘ ran ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
12682, 125eqtr3d 2833 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
127 inss1 4125 . . . . . 6 (((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽))
128 ovolsscl 23770 . . . . . 6 (((((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴) ⊆ ((,)‘(𝐺𝐽)) ∧ ((,)‘(𝐺𝐽)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝐽))) ∈ ℝ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
129127, 34, 44, 128mp3an2i 1458 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
130126, 129eqeltrd 2883 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13151, 2ovolsf 23756 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
13250, 131syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))):ℕ⟶(0[,)+∞))
133132frnd 6389 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ (0[,)+∞))
134 icossxr 12671 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
135133, 134syl6ss 3901 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ*)
136132ffnd 6383 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ)
137 fnfvelrn 6713 . . . . . . 7 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
138136, 137sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
139 supxrub 12567 . . . . . 6 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
140135, 138, 139syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝜑𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
141140ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ))
142 brralrspcev 5022 . . . 4 ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
143130, 141, 142syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥)
1441, 2, 3, 4, 57, 58, 143isumsup2 15034 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⇝ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
14551ovolfs2 23855 . . . . 5 ((𝐾𝐻):ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
14650, 145syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)))
147 coass 5993 . . . . 5 ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻)))
14892coeq2d 5619 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾𝐻))) = (vol* ∘ 𝐻))
149147, 148syl5eq 2843 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
150146, 149eqtrd 2831 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
151150seqeq3d 13227 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)))
152 rge0ssre 12694 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
153133, 152syl6ss 3901 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ)
154 1nn 11497 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
155132fdmd 6391 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ℕ)
156154, 155syl5eleqr 2890 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → 1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))))
157156ne0d 4221 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
158 dm0rn0 5679 . . . . . 6 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) = ∅)
159158necon3bii 3036 . . . . 5 (dom seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
160157, 159sylib 219 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅)
161 breq1 4965 . . . . . . . 8 (𝑧 = (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
162161ralrn 6719 . . . . . . 7 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
163136, 162syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
164163rexbidv 3260 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))‘𝑦) ≤ 𝑥))
165143, 164mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥)
166 supxrre 12570 . . . 4 ((ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻)))𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
167153, 160, 165, 166syl3anc 1364 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ))
168167, 126eqtr3d 2833 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ (𝐾𝐻))), ℝ, < ) = (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
169144, 151, 1683brtr3d 4993 1 ((𝜑𝐽 ∈ ℕ) → seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*‘(((,)‘(𝐺𝐽)) ∩ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  ifcif 4381  𝒫 cpw 4453  ⟨cop 4478  ∪ cuni 4745  ∪ ciun 4825  Disj wdisj 4930   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041   × cxp 5441  dom cdm 5443  ran crn 5444   ∘ ccom 5447   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  1st c1st 7543  2nd c2nd 7544  supcsup 8750  infcinf 8751  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  +∞cpnf 10518  ℝ*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522   − cmin 10717  ℕcn 11486  ℝ+crp 12239  (,)cioo 12588  [,)cico 12590  seqcseq 13219  abscabs 14427   ⇝ cli 14675  vol*covol 23746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cmp 21679  df-ovol 23748  df-vol 23749 This theorem is referenced by:  uniioombllem6  23872
 Copyright terms: Public domain W3C validator