MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem2 24788
Description: Lemma for uniioombl 24794. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombllem2.h 𝐻 = (𝑧 ∈ β„• ↦ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
uniioombllem2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑧   π‘₯,𝐻,𝑧   π‘₯,𝐽,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝐸(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12663 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 eqid 2736 . . 3 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))
3 1zzd 12393 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
4 eqidd 2737 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›) = (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›))
5 uniioombl.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
6 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7 uniioombl.3 . . . . . . . . . 10 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
8 uniioombl.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
9 uniioombl.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
10 uniioombl.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
11 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
12 uniioombl.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
13 uniioombl.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
14 uniioombl.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14uniioombllem2a 24787 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ran (,))
16 uniioombllem2.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑧 ∈ β„• ↦ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐻 = (𝑧 ∈ β„• ↦ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
18 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
1918ioorf 24778 . . . . . . . . . . 11 𝐾:ran (,)⟢( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐾:ran (,)⟢( ≀ ∩ (ℝ* Γ— ℝ*)))
2120feqmptd 6865 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐾 = (𝑦 ∈ ran (,) ↦ (πΎβ€˜π‘¦)))
22 fveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) β†’ (πΎβ€˜π‘¦) = (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
2315, 17, 21, 22fmptco 7029 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))))
24 inss2 4169 . . . . . . . . . . 11 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))
25 inss2 4169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
2611ffvelcdmda 6989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π½) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2725, 26sselid 3924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π½) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
28 1st2nd2 7898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π½) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΊβ€˜π½) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π½)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))⟩)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π½) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π½)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))⟩)
3029fveq2d 6804 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π½)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))⟩))
31 df-ov 7306 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΊβ€˜π½))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π½))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π½)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))⟩)
3230, 31eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π½))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π½))))
33 ioossre 13182 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜(πΊβ€˜π½))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π½))) βŠ† ℝ
3432, 33eqsstrdi 3980 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) βŠ† ℝ)
3532fveq2d 6804 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π½))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π½)))))
36 ovolfcl 24671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))))
3711, 36sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))))
38 ovolioo 24773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π½))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π½)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π½))))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π½))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π½)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π½))))
4035, 39eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π½))))
4137simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π½)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11445 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π½)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ℝ)
45 ovolsscl 24691 . . . . . . . . . . 11 (((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∧ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ ℝ)
4624, 34, 44, 45mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ ℝ)
4818ioorcl 24782 . . . . . . . . 9 (((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ran (,) ∧ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ ℝ) β†’ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4915, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
5023, 49fmpt3d 7018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
51 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))
5251ovolfsf 24676 . . . . . . 7 ((𝐾 ∘ 𝐻):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
5350, 52syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
5453ffvelcdmda 6989 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›) ∈ (0[,)+∞))
55 elrege0 13228 . . . . 5 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›)))
5654, 55sylib 217 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›)))
5756simpld 496 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
5856simprd 497 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))β€˜π‘›))
5923fveq1d 6802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))β€˜π‘§))
60 fvex 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ V
61 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
6261fvmpt2 6914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ β„• ∧ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))β€˜π‘§) = (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
6360, 62mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ β„• β†’ ((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))β€˜π‘§) = (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
6459, 63sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§) = (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
6564fveq2d 6804 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§)) = ((,)β€˜(πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))))
6618ioorinv 24781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ran (,) β†’ ((,)β€˜(πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
6715, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜(πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
6865, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
6968ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„• ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
70 2fveq3 6805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§)) = ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)))
71 2fveq3 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7271ineq1d 4151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
7370, 72eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ↔ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
7473rspccva 3565 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘§ ∈ β„• ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘§)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
7569, 74sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
76 inss1 4168 . . . . . . . . . 10 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯))
7775, 76eqsstrdi 3980 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7877ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
796adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
80 disjss2 5049 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)) βŠ† ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯))))
8178, 79, 80sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜((𝐾 ∘ 𝐻)β€˜π‘₯)))
8250, 81, 2uniioovol 24784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ))
8367mpteq2dva 5181 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ β„• ↦ ((,)β€˜(πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))
84 rexpssxrxp 11062 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
8525, 84sstri 3935 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
8685, 49sselid 3924 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) ∈ (ℝ* Γ— ℝ*))
87 ioof 13221 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ)
8988feqmptd 6865 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (,) = (𝑦 ∈ (ℝ* Γ— ℝ*) ↦ ((,)β€˜π‘¦)))
90 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))) β†’ ((,)β€˜π‘¦) = ((,)β€˜(πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))))
9186, 23, 89, 90fmptco 7029 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝑧 ∈ β„• ↦ ((,)β€˜(πΎβ€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)))))))
9283, 91, 173eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = 𝐻)
9392rneqd 5855 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ran ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = ran 𝐻)
9493unieqd 4858 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = βˆͺ ran 𝐻)
95 fvex 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ V
9695inex1 5250 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ V
9716fvmpt2 6914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ β„• ∧ (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ V) β†’ (π»β€˜π‘§) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
9896, 97mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘§) = (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))))
99 incom 4141 . . . . . . . . . . . 12 (((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
10098, 99eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„• β†’ (π»β€˜π‘§) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
101100iuneq2i 4952 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (π»β€˜π‘§) = βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
102 iunin2 5007 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
103101, 102eqtri 2764 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (π»β€˜π‘§) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
10415, 16fmptd 7016 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐻:β„•βŸΆran (,))
105104ffnd 6627 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐻 Fn β„•)
106 fniunfv 7148 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (π»β€˜π‘§) = βˆͺ ran 𝐻)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (π»β€˜π‘§) = βˆͺ ran 𝐻)
108103, 107eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§))) = βˆͺ ran 𝐻)
1095adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
110 fvco3 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
111109, 110sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
112111iuneq2dv 4955 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = βˆͺ 𝑧 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
113 ffn 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
11487, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
115 fss 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
116109, 85, 115sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
117 fnfco 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
118114, 116, 117sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((,) ∘ 𝐹) Fn β„•)
119 fniunfv 7148 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
121120, 8eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐴)
122112, 121eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§)) = 𝐴)
123122ineq2d 4152 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ βˆͺ 𝑧 ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴))
12494, 108, 1233eqtr2d 2782 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴))
125124fveq2d 6804 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)))
12682, 125eqtr3d 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ) = (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)))
127 inss1 4168 . . . . . 6 (((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π½))
128 ovolsscl 24691 . . . . . 6 (((((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴) βŠ† ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∧ ((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π½))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
129127, 34, 44, 128mp3an2i 1466 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
130126, 129eqeltrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13151, 2ovolsf 24677 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∘ 𝐻):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
13250, 131syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
133132frnd 6634 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) βŠ† (0[,)+∞))
134 icossxr 13206 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
135133, 134sstrdi 3938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) βŠ† ℝ*)
136132ffnd 6627 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) Fn β„•)
137 fnfvelrn 6986 . . . . . . 7 ((seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) Fn β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))))
138136, 137sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))))
139 supxrub 13100 . . . . . 6 ((ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) βŠ† ℝ* ∧ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ))
140135, 138, 139syl2an2r 683 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ))
141140ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ))
142 brralrspcev 5141 . . . 4 ((sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ π‘₯)
143130, 141, 142syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ π‘₯)
1441, 2, 3, 4, 57, 58, 143isumsup2 15599 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) ⇝ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ, < ))
14551ovolfs2 24776 . . . . 5 ((𝐾 ∘ 𝐻):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))
14650, 145syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))
147 coass 6179 . . . . 5 ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))
14892coeq2d 5780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (vol* ∘ ((,) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = (vol* ∘ 𝐻))
149147, 148eqtrid 2788 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((vol* ∘ (,)) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
150146, 149eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)) = (vol* ∘ 𝐻))
151150seqeq3d 13771 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)))
152 rge0ssre 13230 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
153133, 152sstrdi 3938 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) βŠ† ℝ)
154 1nn 12026 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
155132fdmd 6637 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ dom seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = β„•)
156154, 155eleqtrrid 2844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ dom seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))))
157156ne0d 4275 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ dom seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) β‰  βˆ…)
158 dm0rn0 5842 . . . . . 6 (dom seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = βˆ… ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) = βˆ…)
159158necon3bii 2994 . . . . 5 (dom seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) β‰  βˆ… ↔ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) β‰  βˆ…)
160157, 159sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) β‰  βˆ…)
161 breq1 5084 . . . . . . . 8 (𝑧 = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
162161ralrn 6992 . . . . . . 7 (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
163136, 162syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
164163rexbidv 3172 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))β€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
165143, 164mpbird 258 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))𝑧 ≀ π‘₯)
166 supxrre 13103 . . . 4 ((ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) βŠ† ℝ ∧ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻)))𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ, < ))
167153, 160, 165, 166syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ, < ))
168167, 126eqtr3d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝐾 ∘ 𝐻))), ℝ, < ) = (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)))
169144, 151, 1683brtr3d 5112 1 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (vol* ∘ 𝐻)) ⇝ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π½)) ∩ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3437   ∩ cin 3891   βŠ† wss 3892  βˆ…c0 4262  ifcif 4465  π’« cpw 4539  βŸ¨cop 4571  βˆͺ cuni 4844  βˆͺ ciun 4931  Disj wdisj 5046   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164   Γ— cxp 5594  dom cdm 5596  ran crn 5597   ∘ ccom 5600   Fn wfn 6449  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  1st c1st 7857  2nd c2nd 7858  supcsup 9239  infcinf 9240  β„cr 10912  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916  +∞cpnf 11048  β„*cxr 11050   < clt 11051   ≀ cle 11052   βˆ’ cmin 11247  β„•cn 12015  β„+crp 12772  (,)cioo 13121  [,)cico 13123  seqcseq 13763  abscabs 14986   ⇝ cli 15234  vol*covol 24667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-disj 5047  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-dju 9699  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ioo 13125  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-rest 17174  df-topgen 17195  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-top 22084  df-topon 22101  df-bases 22137  df-cmp 22579  df-ovol 24669  df-vol 24670
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  24793
  Copyright terms: Public domain W3C validator